高中人教A版 (2019)8.3 分类变量与列联表复习练习题

第八章8.3　列联表与独立性检验

8.3.1　分类变量与列联表　8.3.2　独立性检验

参考数据:χ2=,其中n=a+b+c+d.

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]为考察某种药物对某种疾病的治疗效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高堆积条形图,最能体现该药物对治疗该种疾病有效果的等高堆积条形图是(　　)

2.[探究点二]疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行,用于人体预防接种的生物制品,其前期研发过程中,一般都会进行动物保护测试,为了考察某种疫苗预防效果,在进行动物试验时,得到如下2×2列联表:

单位:只

零假设为H0:该种疫苗对传染病无效.现从试验动物中任取一只,取到已注射疫苗的动物概率为,则下列判断错误的是(　　)

A.已注射疫苗发病的动物数为10

B.从该试验未注射疫苗的动物中任取一只,发病的概率为

C.能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为该疫苗有效

D.该疫苗的有效率为75%

3.[探究点二·2023福建厦门一中期末](多选题)某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和SO2浓度之间的关系,环境监测部门对该市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和SO2浓度(单位:μg/m3),得到如下所示的表格:

单位:μg/m3

零假设为H0:该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关.经计算χ2=≈7.484 4,则可以推断出(　　)

A.该市一天空气中PM2.5浓度不超过75 μg/m3,且SO2浓度不超过150 μg/m3的概率估计值是0.64

B.若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍,χ2的值不会发生变化

C.根据α=0.01的独立性检验,认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关

D.能在犯错误的概率不超过0.01的条件下,认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关

4.[探究点一](多选题)有两个分类变量X,Y,其2×2列联表如下表所示:

其中a,15-a均为大于5的整数,若依据小概率值α=0.05的独立性检验,认为X,Y有关联,则a的值可以为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

5.[探究点一]在对某小学的学生进行吃零食的调查中,得到数据如下表:

单位:人

根据上述数据分析,可得χ2约为　　　　. 

6.[探究点一]有人发现了一个有趣的现象,中国人的邮箱名称里含有数字比较多,而外国人邮箱名称里含有数字比较少.为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系,小明收集了124个邮箱名称,其中中国人的64个,外国人的60个,中国人的邮箱中有43个含数字,外国人的邮箱中有27个含数字.

(1)根据以上数据建立2×2列联表;

(2)他发现在这组数据中,外国人邮箱里含数字的也不少,他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关联,你能依据α=0.05的独立性检验帮他判断一下吗?

B级 关键能力提升练

7.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立,某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查.零假设为H0:英语词汇量与阅读水平无关.经过计算,χ2的观测值为7,根据这一数据分析,下列说法正确的是(　　)

A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为英语词汇量与阅读水平无关

B.在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为英语词汇量与阅读水平有关

C.依据小概率值α=0.001的独立性检验,认为英语词汇量与阅读水平有关

D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,可以认为英语词汇量与阅读水平有关

8.(多选题)针对时下流行的某社交平台,某高校对学生性别和喜欢该平台是否有关联进行了一次调查,其中被调查的男生、女生人数相同,男生喜欢该平台的人数占男生人数的,女生喜欢该平台的人数占女生人数的.零假设为H0:喜欢该平台和性别无关联.若依据α=0.05的独立性检验认为喜欢该平台和性别有关联,则调查人数中男生的人数可能为(　　)

A.25 B.45 C.60 D.75

9.千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气,得到如下2×2列联表:

单位:天

计算得到χ2≈19.05,下列小波对地区A天气判断不正确的是(　　)

A.夜晚下雨的概率约为

B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为

C.在犯错误的概率不大于0.001的前提下,认为“日落云里走”与“夜晚下雨”有关联

D.依据α=0.001的独立性检验,认为“日落云里走”与“夜晚下雨”无关联

10.某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施,对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷,得到了如下的列联表:

单位:人

则依据α=0.005的独立性检验认为同意限定区域停车与家长的性别　　　　　.(填“有关联”或“无关联”) 

11.对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示:

单位:人

试根据上述数据计算χ2≈　　　　　,根据小概率值α=0.1的独立性检验,这两种手术对病人又发作心脏病的影响　　　　　差别.(填“有”或“没有”) 

12.书籍是文化的重要载体,读书是继承文化的重要方式.某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了n名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图,将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”,日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.

(1)求n,p的值;

(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验能否认为“读书之星”与性别有关联?

单位:人

(3)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中随机抽取3名学生,每次抽取1名,已知每个人是否被抽到互不影响,记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X,求X的分布列和均值E(X).

13.据统计,某公司200名员工中90%的人使用某APP,其中每天使用此APP时间在一小时以内的有60人,其余的员工每天使用此APP在一小时以上.若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段,则使用此APP的人中75%是青年人.若规定每天使用此APP时间在一小时以上为经常使用此APP,则经常使用此APP的员工中都是青年人.依据α=0.001的独立性检验,能否认为经常使用此APP与年龄有关联?

C级 学科素养创新练

14.某工厂为了提高生产效率,对生产设备进行了技术改造,为了对比技术改造前后的效果,采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位:天)数据,整理如下:

改造前:19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21

改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36

(1)完成下面的列联表,依据α=0.01的独立性检验,能否据此判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异?

单位:天

(2)工厂的生产设备需要进行维护,工厂对生产设备的维护费用包括正常维护费和保障维护费两种.对生产设备设定维护周期为T天,即从开工运行到第kT天(k∈N*)进行维护.生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期,每个维护周期相互独立.在一个维护周期内,若生产设备能连续运行,则只产生一次正常维护费,而不会产生保障维护费;若生产设备不能连续运行,则除产生一次正常维护费外,还会产生保障维护费.经测算,正常维护费为0.5万元/次;保障维护费第一次为0.2万元/周期,此后每增加一次保障维护费增加0.2万元.现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案:T=30,k=1,2,3,4.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率,求一个生产周期内维护费用的分布列及均值.

参考答案

8.3　列联表与独立性检验

8.3.1　分类变量与列联表

8.3.2　独立性检验

1.C　根据四个列联表对应的等高堆积条形图知,选项C中不服药与服药时患该种疾病的差异最大,它最能体现该药物对预防该种疾病有效果.故选C.

2.D　由题知,已注射疫苗的动物共40只,未注射疫苗的动物共60只,补充列联表如下:

单位:只

由此可得A,B正确.

计算得χ2=≈16.67>10.828=x0.001,根据α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为该疫苗有效,此推断犯错误的概率不超过0.001,C正确.易知D错误.故选D.

3.AD　补充完整列联表如下:

单位:μg/m3

对于A,该市一天中,空气中PM2.5浓度不超过75μg/m3,且SO2浓度不超过150μg/m3的概率估计值为=0.64,故A正确;对于B,χ2=≈74.844≠7.4844,故B不正确;因为7.4844>6.635=x0.01,由表可知,根据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关,此推断犯错误的概率不大于0.01,故D正确,C不正确.故选AD.

4.CD　由题意可知

χ2=>3.841=x0.05,根据a>5,且15-a>5,a∈Z,得当a=8或9时满足题意.

5.2.334　χ2=≈2.334.

6.解(1)2×2列联表如下:

单位:个

(2)零假设为H0:国籍和邮箱名称里是否含有数字无关联.

由表中数据得χ2=≈6.201>3.841=x0.05.

依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为国籍和邮箱名称里是否含有数字有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.

7.D　由题意知χ2=7>6.635=x0.01,根据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为英语词汇量与阅读水平有关,此推断犯错误的概率不超过0.01.

8.BCD　设男生的人数为5n(n∈N*),根据题意列出2×2列联表如下:

单位:人

则χ2=.

因为依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为喜欢该平台和性别有关联,所以χ2≥3.841,即≥3.841,解得n≥8.0661.

因为n∈N*,所以根据选项调查人数中男生人数的可能值为45,60或75.

故选BCD.

9.D　由题意,把频率看作概率可得夜晚下雨的概率约为,故A正确;未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为,故B正确;由χ2≈19.05>10.828=x0.001,根据临界值表,可得在犯错误的概率不大于0.001的前提下,认为“日落云里走”与“夜晚下雨”有关联,故C正确,D错误.

10.有关联　零假设为H0:同意限定区域停车与家长的性别无关联.因为χ2=≈8.333>7.879=x0.005,所以依据α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为同意限定区域停车与家长的性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.

11.1.779　没有　零假设为H0:这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.

根据列联表中的数据,可以求得

χ2=≈1.779<2.706=x0.1.

根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,我们没有充分的证据推断H0不成立,即认为这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.

12.解(1)因为(0.005+p+0.018+0.020+0.022+0.025)×10=1,所以p=0.01.

所以n==100.

(2)因为n=100,所以“读书之星”有100×[(0.02+0.005)×10]=25(人).

从而2×2列联表如下所示:

单位:人

零假设为H0:“读书之星”与性别无关联.将2×2列联表中的数据代入公式计算得χ2=≈3.030<3.841=x0.05.

依据α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为“读书之星”与性别无关联.

(3)将频率视为概率,即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为.

由题意可知X~B3,.

所以P(X=0)=;

P(X=1)=;

P(X=2)=×1-=;

P(X=3)=.

所以X的分布列为

E(X)=3×.

13.解由已知得该公司员工中使用某APP的有200×90%=180(人),经常使用此APP的有180-60=120(人),其中青年人有120×=80(人),使用此APP的人中青年人有180×75%=135(人).

作出列联表如下:

单位:人

零假设为H0:经常使用此APP与年龄无关联.将列联表中的数据代入公式可得χ2=≈13.333>10.828=x0.001,依据α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为经常使用此APP与年龄有关联,此推断犯错误的概率不超过0.001.

14.解(1)零假设为H0:技术改造前后的连续正常运行时间无差异.由题意可得列联表如下:

单位:天

根据列联表中的数据,经计算得到χ2==10>6.635=x0.01.

依据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异,此推断犯错误的概率不大于0.01.

(2)由题知,生产周期内有4个维护周期,一个维护周期为30天.在一个维护周期内,生产线需保障维护的概率为P=.

设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ,可知ξ~B4,.一个生产周期内的正常维护费为0.5×4=2(万元),保障维护费为=(0.1ξ2+0.1ξ)(万元).

所以一个生产周期内需保障维护ξ次时的维护费用为(0.1ξ2+0.1ξ+2)万元.

设一个生产周期内的维护费用为X,则X的所有可能取值为2,2.2,2.6,3.2,4,

且P(X=2)=;

P(X=2.2)=;

P(X=2.6)=;

P(X=3.2)=×1-×;

P(X=4)=.

所以X的分布列为

所以E(X)=2×+2.2×+2.6×+3.2×+4×=2.275.

所以一个生产周期内生产维护费的均值为2.275.