人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课后练习题

人教A版（2019）必修第一册《2.1 等式性质与不等式性质》提升训练

一 、单选题（本大题共10小题，共50分）

1.（5分）若，则下列不等式关系中，不能成立的是

A.  B.  C.  D.

2.（5分）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则

A. 甲先到教室 B. 乙先到教室
C. 两人同时到教室 D. 谁先到教室不确定

3.（5分）某市交警部门在调查一起车祸过程中， 所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有辆桑塔纳出租车，辆帕萨特出租车，乙公司有辆桑塔纳出租车，辆帕萨特出租车交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理 
 

A. 甲公司 B. 乙公司 C. 甲与乙公司 D. 以上都对

4.（5分）如果，那么下列不等式正确的是

A.  B.  C.  D.

5.（5分）已知，，那么下列不等式成立的是

A.  B.
C.  D.

6.（5分）下列命题正确的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

7.（5分）若，，且，则的取值范围是

A.  B.
C.  D.

8.（5分）已知正四面体，则二面角的余弦值为 
 
 

A.  B.  C.  D.

9.（5分）若，，则下列不等式中必成立的是

A.  B.  C.  D.

10.（5分）如果实数，满足：，则下列不等式中不成立的是

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共4小题，共20分）

11.（5分）若，则下列不等式成立的是

A.  B.
C.  D.

12.（5分）若正实数，满足且，下列不等式恒成立的是

A.  B.
C.  D.

13.（5分）已知，给出下列四个结论： 
①②③④ ， 
其中正确结论的序号是    
 

A. ① B. ② C. ③ D. ④

14.（5分）下列各对事件中，为相互独立事件的是 
 

A. 掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”事件“出现点或点”
B. 袋中有白、黑共个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”
C. 袋中有白、黑共个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”
D. 甲组名男生，名女生乙组名男生，名女生，现从甲、乙两组中各选名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出名男生”，事件“从乙组中选出名女生”

三 、填空题（本大题共4小题，共20分）

15.（5分）某地规定本地最低生活保障元不低于元，则这种不等关系写成不等式为______．

16.（5分）比较大小： ______ 填入“”，“”，“”之一．

17.（5分）已知三棱柱的底面是边长为的正三角形，，在上取一点，设与平面所成的二面角为，与平面所成的二面角为，则的最小值是          . 
 

18.（5分）已知，则的取值范围是__________.

四 、解答题（本大题共6小题，共72分）

19.（12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点. 
求证：直线平面 
点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值. 
 
 

20.（12分）根据描述填写适当的符号. 
 

21.（12分）在测量一根新弹簧的劲度系数时，得到如下的结果： 
 

请画出上表所给数据的散点图 
若弹簧长度与所挂物体重量之间具有线性相关性，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归方程； 
根据回归方程，求挂重量为的物体时弹簧的长度所求得的长度是弹簧的实际长度吗为什么

22.（12分）已知常数，函数 
讨论在区间上的单调性 
若存在两个极值点，，且，求的取值范围. 
 

23.（12分）一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为，和假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差 
 

24.（12分）已知函数，其中为常数，且 
求证：时，； 
已知，，，为正实数，满足，比较与的大小关系．

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】 
这道题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题． 
根据不等式的基本性质逐一判断即可 
 
解：对于：，两边同除以可得，，故A正确， 
对于：，即，则两边同除以可得，故B错误， 
对于，根据幂函数的单调性可知，C正确， 
对于，，则，故D正确． 
故选B． 
 

 

2.【答案】B;

【解析】解：设步行速度与跑步速度分别为，， 
显然，总路程为， 
则甲用时间为，乙用时间为， 
而 
， 
故，故乙先到教室， 
故选：． 
比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较 
作差法比较大小是一种基本的方法．该题考查变形判号的能力．
 

3.【答案】B;

【解析】解：由题意可判断得甲公司桑塔纳车的概率为，乙公司桑塔纳车的概率为故选 

 

4.【答案】A;

【解析】 
该题考查了差值比较法比较大小，属基础题． 
将中不等式两边作差比较，可知，故A正确． 
 
解：对于：，，，，故，所以， 
故选A． 
 

 

5.【答案】C;

【解析】

 
此题主要考查不等式的性质，属容易题. 
依据已知条件和不等式的性质得，然后利用作差法得，，即可得到答案. 
 
解：由已知， 
因为， 
所以， 
又， 
， 
则， 
故选 

 

6.【答案】B;

【解析】解：时不成立；  
B.，，则，成立；  
C.，则，因此不成立；  
D.时，． 
故选：． 
利用不等式的基本性质即可判断出结论．  
该题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】B;

【解析】解：，， 
， 
又， 
， 
， 
即的取值范围是 
故选：． 
由题意先求出的取值范围，再求的取值范围． 
该题考查了角的取值范围应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，是基础题．
 

8.【答案】D;

【解析】解：不妨设棱长为，取中点，连接， 
则，，所以为二面角的平面角. 
又，则故答案为 

 

9.【答案】C;

【解析】解：，， 
，，则恒不成立，故A不满足要求； 
同理，则恒不成立，故B不满足要求； 
由不等式的同号可加性可得一定成立，故C满足要求； 
但不一定成立，故D不满足要求； 
故选：． 
由已知中，，结合不等式的性质，对题目中的四个答案逐一进行分析，即可得到结论． 
该题考查的知识点是不等式的基本性质，其中熟练掌握不等式的基本性质，是解答本题的关键．
 

10.【答案】B;

【解析】解：，，，即，，因此，，D正确． 
对于：，，即，因此不正确． 
故选：． 
由，可得，，，，即可判断出正误． 
该题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】AC;

【解析】 
此题主要考查了不等式的基本性质，考查作差法的应用，是一道基础题．根据，作差判断即可． 
 
解：对于：，，， 
，即，故正确； 
对于，， 
，故错误； 
对于：， 
，故正确； 
对于：， 
当时，不等式不成立，故错误； 
故选 

 

12.【答案】CD;

【解析】解：正实数，满足且， 
或， 
对于：当时，，当时，，故不正确； 
对于：当时，，则， 
当时，，则不一定成立，故不正确； 
对于：因为， 
所以， 
所以，故正确； 
对于：当，时，，当时，，故正确． 
故选： 
根据题意可得或，再根据不等式的性质，逐个判断可得． 
此题主要考查了不等式的性质，属中档题．
 

13.【答案】BD;

【解析】 
此题主要考查不等式的性质，利用条件先判断是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质及应用，为基础题． 
由条件可得，然后根据不等式的性质分别进行判断即可． 
 
解：， 
 
①错误； 
②， 
，， 
即，正确； 
③， 
，③错误； 
④， 
， 
即， 
成立，正确． 
正确的是②④． 
故选 

 

14.【答案】ABD;

【解析】解：在中，样本空间，事件，事件，事件， 
，，， 
即，故事件与相互独立，正确. 
在中，根据事件的特点易知，事件是否发生对事件发生的概率没有影响，故与是相互独立事件，正确 
在中，由于第次摸到球不放回，因此会对第次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，错误 
在中，从甲组中选出名男生与从乙组中选出名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，正确. 

 

15.【答案】;

【解析】解：设最低生活保障金为元，则． 
故答案为：． 
由某地规定本地最低生活保障金不低于元，上述不等关系写成不等式即得答案． 
该题考查的知识点为不等式及不等关系，属于基础题． 

 

16.【答案】＞;

【解析】解：  
 
，  
故答案为：． 
利用乘法公式、作差法即可得出．  
该题考查了数的大小比较方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

17.【答案】-;

【解析】解：作，则是三棱锥的高过点作，则设，，，同理可得，当取等号 

 

18.【答案】;

【解析】，又，
 

19.【答案】解:(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点,所以EFAD, 
又AB=BC=AD,BAD=ABC=, 
所以BCAD,所以BCEF, 
所以四边形BCEF是平行四边形,所以CEBF,BF平面PAB,CE⊄平面PAB, 
所以直线CE平面PAB. 
 
(2)取AD的中点O,则POAD, 
又平面PAD平面ABCD,且交线为AD, 
所以PO平面ABCD, 
所以M在底面ABCD上的射影N在OC上, 
 
设AD=2,则AB=BC=1,OP=,所以PCO=, 
又直线BM与底面ABCD所成角为,可得BN=MN, 
CN=MN,BC=1,可得1+=,BN=,MN=, 
作NQAB于Q,连接MQ,ABMN, 
所以MQN就是二面角M-AB-D的平面角,MQ==, 
则MQN===,故二面角M-AB-D的余弦值为.;

【解析】略
 

20.【答案】>；<；≥；≤;

【解析】略
 

21.【答案】解：(1)散点图如图: 
 
(2)根据散点图可知二者具有线性相关关系.因为=4.5,=13,=169,=378,所以b==0.57.又=-=13-0.574.510.44,所以y关于x的回归方程为=0.57x+10.44.                 
(3)当x=8时,=15.这个值不是弹簧的实际长度,因为线性回归方程是根据样本数据得到的,它只是对总体中两个变量关系的估计.;

【解析】略
 

22.【答案】解:(1)f'(x)= 
当a1时,f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+)上单调递增; 
当0<a<1时,由f'(x)=0,得 <a<1时,由f'(x)=0,得=2(负舍),  
则当x(0,)时,f'(x)<0,当x(,+)时,f'(x)>0.  
故f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+)上单调递增.  
(2)由(1)知,当a1时,f'(x)>0,此时f(x)不存在极值点,  
因为要使得f(x)有两个极值点,必有0<a<1,  
又f <a<1.又f 
</a<1.又f 
(x)的极值点只可能是=2和=-2,  
且由f(x)的定义可知,x>-且x-2,所以-2>-且-2-2,解得a.  
此时,易知,分别是f(x)的极小值点和极大值点,  
且+=0,=,  
所以有f()+f()=-=+-2.  
令2a-1=t,则t(-1,0)(0,1),此时g(t)=f()+f()=+-2.  
当-1 <t<0时,g(t)=2<t<0时,g(t)=2(-t)+-2,显然g(t)在区间(-1,0)上单调递减,从而g(t)<g(-1)=-4 <g(-1)=-4 
</g(-1)=-4 
<0,  
故当0 <a<<a<时,f()+f()<0.  
当0<t<1时,g <t<1时,g 
</t<1时,g 
(t)=2t+-2,所以g'(t)=g(1)=0,  
故当 <a<1 
</a<1 
<a<1时,f()+f()>0.综上:满足条件的a的取值范围是(,1). ;

【解析】略
 

23.【答案】解:P(X=0)=0.90.80.7=0.504; 
P(X=1) =0.10.80.7+0.90.20.7+0.90.80.3=0.398; 
P(X=2) =0.10.20.7+0.10.80.3+0.90.20.3=0.092; 
P(X=0)=0.10.20.3=0.006. 
所以,E(X)=10.398+20.092+30.006=0.6, 
D(X)=E()-=10.398+40.092+90.006-=0.46.;

【解析】略
 

24.【答案】解：（1）f'（x）=α-α， 
f''（x）=α（α-1）＜0， 
∴f'（x）在（0，+∞）上单调递减， 
又因为f'（1）=0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 
所以f（x）≤f（1）=1． 
（2）由（1）取x=，α=q可得：， 
两边同乘以a得：-qb+qa≤a， 
∴≤（1-q）a+qb， 
即≤pa+qb．;

【解析】 
由求得，即再上递减，又，可得在上单调递减．得； 
取，可得，两边同乘以化简，再结合可得答案． 
此题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．