高中数学第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数随堂练习题

3.3幂函数

一．选择题（共4小题）

1．已知幂函数在上单调递增，函数，当，时，记，的值域分别为集合，，若，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

2．已知直线与轴，轴交点分别为．，幂函数的图象经过点，若点在的图象上，则使得的面积等于3的点的个数为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

3．若，则、、的大小关系是　　

A． B． C． D．

4．已知幂函数是偶函数，则实数的值为　　

A．0 B．或1 C．1 D．0或1

二．填空题（共4小题）

5．有下列五种说法：

①幂函数的图象一定不过第四象限；

②奇函数图象一定过坐标原点；

③已知函数的定义域为，，则函数的定义域为，；

④定义在上的函数对任意两个不等实数、，总有成立，则在上是增函数；⑤的单调减区间是，，；

正确的说法有 　　．

6．如果幂函数的图象经过点，则（3）　 　．设，若函数在上有零点，则实数的取值范围是　 　．

7．已知幂函数在上单调递增，函数，当，时，记和的值域分别为和，若，则实数的取值范围是　　．

8．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是　　．

三．解答题（共3小题）

9．已知幂函数，满足（2）（4）．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

10．已知幂函数在上单调递增．

（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数，使得函数在区间，上的最大值为5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

11．已知幂函数在上单调递增．

（1）求的值并写出的解析式；

（2）试判断是否存在，使函数在，上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

                                 3.3幂函数

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．已知幂函数在上单调递增，函数，当，时，记，的值域分别为集合，，若，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

【分析】根据幂函数的定义和性质先求出，结合集合的关系进行求解．

【解答】解：是幂函数，

，

解得或，

若，则，在上单调递减，不满足条件．

若，则，在上单调递增，满足条件．

即，

当，时，，，即，，

当，时，，，即，，

，，

则，即，

解得，

故选：．

【点评】本题主要考查幂函数性质和定义的应用，函数值域的计算以及集合关系的应用，综合性较强．

2．已知直线与轴，轴交点分别为．，幂函数的图象经过点，若点在的图象上，则使得的面积等于3的点的个数为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】分别求出、的坐标，设出点的坐标，各个关于的方程，得到解的个数，从而求出满足条件的点的个数即可．

【解答】解：由题意，，

设幂函数的解析式是，

将代入表达式得：，

故，

设，则到的距离，

，

故，

故或，

由△和△，

故可求出四个解，

故点的坐标有4个，

故选：．

【点评】本题考查了点的直线的距离，考查幂函数的定义以及根的判别式，是一道中档题．

3．若，则、、的大小关系是　　

A． B． C． D．

【分析】由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知、、的大小关系．

【解答】解：在第一象限内是增函数，

，

是减函数，

，

所以．

故选：．

【点评】本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性．

4．已知幂函数是偶函数，则实数的值为　　

A．0 B．或1 C．1 D．0或1

【分析】根据幂函数的定义先求，然后利用幂函数是偶函数进行验证即可．

【解答】解：函数是幂函数，根据幂函数的定义可知，

即，，解得或或．

，或，

当时，幂函数为为奇函数，不满足条件．

当时，幂函数为为偶函数，满足条件．

故．

故选：．

【点评】本题主要考查幂函数的定义以及幂函数的性质，要求熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质．

二．填空题（共4小题）

5．有下列五种说法：

①幂函数的图象一定不过第四象限；

②奇函数图象一定过坐标原点；

③已知函数的定义域为，，则函数的定义域为，；

④定义在上的函数对任意两个不等实数、，总有成立，则在上是增函数；⑤的单调减区间是，，；

正确的说法有 　①④　．

【分析】根据幂函数的图象与性质，判断①正确；

奇函数的图象不一定过坐标原点，判断②错误；

③根据函数的定义域求得函数的定义域，

根据单调性的定义判断在上是增函数，得出④正确；

⑤和是的两个单调减区间，不用并集表示．

【解答】解：对于①，根据幂函数的图象与性质知，幂函数的图象不过第四象限，①正确；

对于②，奇函数的图象不一定过坐标原点，如的图象，②错误；

对于③，函数的定义域为，，

，，，；

令，，，，

函数的定义域为，，③错误；

对于④，根据题意知，时，（a）（b），时，（a）（b），

由单调性的定义知，在上是增函数，④正确；

对于⑤，和是的两个单调减区间，

不能用并集表示，⑤错误；

综上，正确的说法是①④．

故答案为：①④．

【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．

6．如果幂函数的图象经过点，则（3）　27　．设，若函数在上有零点，则实数的取值范围是　 　．

【分析】设幂函数，把点代入函数的解析式，求得的值，即可得到函数的解析式，从而求出（3）的值，求出的导数，得到函数的单调性，根据零点定理得到（2）且（3），解出即可．

【解答】解：设幂函数，

把点代入函数的解析式可得，

解得，故函数的解析式为，

故（3），

，

，

故在递增，

若函数在上有零点，

只需，

解得：，

故答案为：27，．

【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的零点问题以及导数的应用，是一道中档题．

7．已知幂函数在上单调递增，函数，当，时，记和的值域分别为和，若，则实数的取值范围是　，　．

【分析】根据幂函数的定义和性质先求出，结合集合的关系进行求解即可．

【解答】解：是幂函数，

，

解得或，

若，则，在上不单调递减，不满足条件；

若，则，在上单调递增，满足条件；

即；

当，时，，，即，，

当，时，，，即，，

，，

则，

解得，

即实数的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题主要考查幂函数性质和定义的应用，函数值域的计算以及集合关系的应用，是综合性题目．

8．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是　　．

【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可．

【解答】解：幂函数在上是减函数，

，解得，

，

或2．

当时，为偶函数满足条件，

当时，为奇函数不满足条件，

则不等式等价为，即，

为增函数，

，

解得：，

故答案为：．

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据幂函数的性质求出幂函数的表达式是解决本题的关键．

三．解答题（共3小题）

9．已知幂函数，满足（2）（4）．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据幂函数是幂函数，可得，求解，可得解析式；

（2）由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在，上的值域为，，转化为方程有解问题，求解的取值范围．

【解答】解：（1）由幂函数，满足（2）（4），

可得，且，

求得，故．

（2）函数，

假设存在实数，，使函数在，上的值域为，，

由于在其定义域内单调递减，则①，②，

两式相减，可得：．

③．

将③代入②得，

令，，，

得：，

故得实数的取值范围，．

【点评】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题．

10．已知幂函数在上单调递增．

（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数，使得函数在区间，上的最大值为5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得，又，即可得到的值和的解析式；

（2）求出的解析式，讨论的符号，结合二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性，解方程可得的值．

【解答】解：（1）幂函数在上单调递增，

可得，解得，

又，可得或1，

即有，幂函数；

（2）由（1）可知：，

当时，在，递减，

可得取得最大值，且为1，不成立；

当时，图象开口向上，最大值在或（1）处取得，

而，则（1），即为，不成立；

当，即，．

①当，时，解得，

则在，上单调递减，因此在处取得最大值，

而不符合要求，应舍去；

②当，时，解得不存在；

③当，时，解得，

则在处取得最大值，

且为，

解答成立；

综上可知：满足条件的存在且．

【点评】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数的最值的求法，熟练掌握幂函数和二次函数的单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键．

11．已知幂函数在上单调递增．

（1）求的值并写出的解析式；

（2）试判断是否存在，使函数在，上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据幂函数的定义以及函数的单调性求出的值，求出函数的解析式即可；

（2）由（1）知函数解析式为，将其代入函数知其也为一二次函数，下研究在区间，上的最值，结合值域为，建立关于参数的方程求参数即可．若能求出，则说明存在，否则，不存在．

【解答】解：（1）是幂函数，

，解得：或，

而在递增，故，

故；

（2）由（1），

，

①当，，即，时，，

，，（2）；

②当时，解得，

，这样的不存在．

③当，即时，

，（2），解之得，这样的不存在．

综①②③得，．

即当时，结论成立．

【点评】本题考点是二次函数的性质，考查利用二次函数的性质判断出函数的最值，利用最值建立方程求参数，本题是一存在性问题，考查思维的严密性综合性较强，分类时要做到不重不漏，严谨做题