人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质课堂教学课件ppt

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质课堂教学课件ppt，共44页。

1.会用不等式组表示不等关系.2.能够用作差法比较两个数或式的大小.3.掌握等式的性质.4.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.5.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.
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知识点1 不等式与不等关系
1.不等式的定义所含的两个要点.(1)不等符号>,<,≥,≤或≠.(2)所表示的关系是不等关系.2.不等关系中的文字语言与符号语言之间的转换.
过关自诊不等式“a≥b”有几层含义,如何理解?
提示不等式“a≥b”有两层含义,一是a>b,二是a=b,两者中有一个成立,则不等式就是成立的,如“3≥3”“3≥2”均是正确的.
知识点2 实数的大小比较
比较实数a,b的大小的依据
名师点睛比较实数(式)大小的方法
过关自诊1.如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢?
提示通常是通过判断它们的差(a-b)与0的大小关系来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.
2.[北师大版教材习题]试比较下面各组中两式的大小:(1)(x-2)2与(x-1)(x-3);
(2)x2+2x与3x-1.
解 (x-2)2-(x-1)(x-3)=(x2-4x+4)-(x2-4x+3)=1>0.因此,(x-2)2>(x-1)(x-3).
知识点3 重要不等式
∀a,b∈R,a2+b2　　　2ab,当且仅当　　　时,等号成立.
过关自诊1.已知P=x2+xy+y2,Q=3xy-1,则(　　)A.P>QB.P=QC.P2.已知a,b∈R,若ab=1,则a2+b2的最小值是　　　　　,当且仅当a=b=　　　　　时,取得最小值.
解析根据a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab=2,当且仅当a-b=0,即a=b=±1时等号成立.
3.∀a,b∈R,a2+b2≥2ab的证明用了实数的什么性质?
提示由于a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,因此不等式的证明利用了“任意实数的平方不小于0”的性质,这是作差后判断符号常用的方法.
知识点4 不等式的性质
等式性质与不等式性质的比较
名师点睛对不等式性质的理解(1)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据.(2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.(3)性质5(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”.(4)性质6和性质7(即同向同正可乘性,可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.(5)性质1和性质3是双向推导,其他是单向推导.
过关自诊1.[2023北京丰台期末]下列说法正确的是(　　)A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,则a-c>b-cC.若a>b,c>d,则a-c>b-d
2.“a>b>0⇒an>bn>0(n∈N,n>1)”成立的条件是什么?b>0的条件能去掉吗?
提示成立的条件是“n为大于1的自然数,且a>b>0”.不能,假如去掉“b>0”这个条件,取a=3,b=-5,n=2,那么就会出现32>(-5)2的错误结论.
3.[人教B版教材习题]求证:如果a>b,c<0,那么ac证明 ac-bc=(a-b)c.因为a>b,所以a-b>0.而c<0,因此(a-b)c<0,所以ac-bc<0,即ac探究点一　用不等式(组)表示不等关系
【例1】用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.
变式探究例1中,若改为矩形菜园的长、宽都不能超过12 m,对面积没有要求,则x应满足的不等关系是什么?
解因为15- ≤12,所以x≥6.又因为0规律方法　利用不等式表示不等关系时的注意点(1)必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用不等式来表示,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示;(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一;(3)待比较的量中涉及特殊的数集要标明.
变式训练1 [北师大版教材习题]有如图所示的两种广告牌:图①由两个等腰直角三角形构成,图②是一个矩形.试用直观的方法比较这两个广告牌面积的大小,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.
解设图①,图②中两个广告牌面积分别为S1,S2,由图形可得S1>S2,即表示为 >ab(a>b).
探究点二　代数式大小的比较
【例2】 [2023广东广州期末]求解下列问题:(1)已知a∈R,比较(a+3)(a+7)和(a+4)(a+6)的大小;
解因为(a+3)(a+7)-(a+4)(a+6)=a2+10a+21-a2-10a-24=-3<0,所以(a+3)(a+7)<(a+4)(a+6).
规律方法　用作差法比较代数式大小的步骤作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差.(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等.(3)定号,即确定差的符号.(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
探究点三　不等式性质的应用
角度1.应用不等式性质判断命题真假【例3】对于实数a,b,c,判断下列命题真假:(1)若aab>b2;
解由aab,ab>b2,从而有a2>ab>b2.故该命题为真.
解因为c>a>b>0,所以0因为a>b,所以b-a<0,于是ab<0.又因为a>b,所以a>0,b<0.故该命题为真.
规律方法　1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.2.注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒ ,不能误认为是a>b⇒ ,在应用时不能出错.
变式训练3 (1)若实数a,b满足a(2)(多选题)下列说法正确的是(　　)A.若a>b,c>d,则a+c>b+dB.若a>b,c>d,则ac>bdC.若a>b,则∀c∈R,a+c>b+cD.若a>b,则∃c∈R,a>c,c>b
解析根据不等式的同向可加性得A正确;当a>b>0,c>d>0时,ac>bd成立,故B错误;不等式两边同加一个数不等式符号不变,故C正确;a>b,则a=b+r>b(r>0),存在c=b+ (r>0),使得a>c>b成立,故D正确.故选ACD.
角度2.应用不等式性质证明不等式
(方法2)∵c-d>0.∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴(a-c)2>(b-d)2>0.
规律方法　1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证.2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
角度3.利用不等式性质求取值范围【例5】已知1解 ∵1变式探究在例5条件不变的情况下,求的取值范围.
规律方法　利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.
本节要点归纳1.知识清单:(1)不等式与不等关系.(2)实数的大小比较.(3)重要不等式.(4)不等式性质的应用.2.方法归纳:作差法、公式法、配方法.3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性.
1.已知a2.已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,则(　　)A.P>QB.P解析因为P-Q=a2+b2+4a-2b+5=(a+2)2+(b-1)2≥0,所以P-Q≥0,当且仅当a=-2,b=1时,等号成立,故选C.
3.(多选题)下列关于不等关系的说法正确的是(　　)A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车辆的总高度h(单位:米)满足关系h≤4.5B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0C.不等式x≥2的含义是指x不小于2D.若a解析 “限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”.不超过用“≤”表示,故A正确;因为“非负数”即为“不是负数”,所以a-b≥0,故B错误;不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2,故C正确;不等式a≤b表示a4.已知60{x-y|27解析 ∵28

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