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数学必修 第一册1.2 集合间的基本关系集体备课ppt课件
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这是一份数学必修 第一册1.2 集合间的基本关系集体备课ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了知识点2集合相等，知识点3空集等内容，欢迎下载使用。
1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.4.能使用Venn图表达集合间的关系,体会直观图对理解抽象概念的作用.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目 录 索 引
知识点1 子集与真子集
1.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.名师点睛对Venn图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
名师点睛1.对子集的理解(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.(2)若A⊆B,则A有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:a.集合A是集合B的子集;b.存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)任何集合都一定有子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
过关自诊1.子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”?
2.符号“⊆”与符号“∈”有什么区别?
提示 不能.“A是B的子集”的定义中“集合A中的任意一个元素都是集合B的元素”,即对任意x∈A都能推出x∈B.注意“任意一个元素”而不是某个或某些元素.
提示 符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系.
3.集合A⫋B与集合A⊆B有什么区别?
4.已知集合A={-2,3,6m-6},{6}⊆A,则m= ,集合A的真子集有 个.
提示 A⊆B⇒A=B或A⫋B.因此若集合A是集合B的子集包含两个方面:A⫋B或A=B.
解析 ∵{6}⊆A,∴6m-6=6,∴m=2.集合A的真子集有23-1=7(个).
一般地,如果集合A的 都是集合B的元素,同时集合B的 都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作 .也就是说,若A B,且B A,则A=B.集合之间只有相等和不等的关系,没有大小之分
名师点睛对集合相等的理解(1)A=B的图形表示如右:(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A,则A=B”.(4)若A=B,则有A⊆B,且B⊆A.
过关自诊1.本书1.1中,我们是如何定义两个集合相等的?
2.若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,则a= ,b= .
提示 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
解析 由两个集合相等可知b=0,a=-1.
一般地,我们把不含有 的集合叫做空集,记为 ,并规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.
名师点睛有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:(1)集合A的子集的个数为2n;(2)集合A的真子集的个数为2n-1;(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2}, {1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1= 3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.
过关自诊1.{0},⌀之间有什么区别与联系?
2.若A⊆B,能不能看成集合A是集合B中部分元素组成的集合?
提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0}.
提示 不能.因为当A=⌀时,A⊆B,但A中不含任何元素;当A=B时,有A⊆B,但A中含有B中所有元素.
3.若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?
提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
4.集合{a,b,c}的所有非空子集为 ,其中它的非空真子集有 个.
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
解析 集合{a,b,c}的非空子集有{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,剩余都是{a,b,c}的非空真子集,共6个.
知识点4 子集与真子集的性质
由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集, ; (2)任何一个集合是它自身的子集,即 ; (3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得 ; (5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得 .
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)空集是任何集合的真子集.( )(2)非空集合至少有两个子集.( )(3){0,1,2}⊆{2,0,1}.( )(4)一个集合可能是它本身的真子集.( )(5)若M⊆N,N⊆P,则M⫋P.( )2.若{1,2}⊆B⊆{1,2,4},则B= .
{1,2}或{1,2,4}
解析 由条件知集合B中一定含有元素1和2,故集合B可能是{1,2}或{1,2,4}.
探究点一 集合的子集、真子集问题
【例1】 (1)集合{x∈N|-4
(3)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
解析 因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.
解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)}, {(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
规律方法 1.求集合的子集、真子集的步骤判断—根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况↓分类—根据集合中元素的多少进行分类↓列举—采用列举法逐一写出每种情况的子集2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练1 (1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )A.2B.3C.4D.5
解析 因为集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以满足条件的集合A有{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个数为( )A.6B.5C.4D.3
解析 由题知,A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,故集合A={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共5个.
(3)[人教B版教材例题]写出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集.
解 集合A的所有子集是⌀,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集.
探究点二 集合之间关系的判断
【例2】 判断下列集合间的关系:(1)A={x|-1
(3)A={y|y=x+1},B={(x,y)|y=x+1}.
解 集合A表示直线y=x+1上点的纵坐标构成的集合,而集合B则表示直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以A≠B.
规律方法 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
变式训练2 [北师大版教材习题]判断下列各组中两个集合之间的关系:(1){1,2,3}与{x|x是6的正因数};(2){x|x=3n,n∈Z}与{x|x=6k,k∈Z}.
解 (1)因为{x|x是6的正因数}={1,2,3,6},所以{1,2,3}⫋{x|x是6的正因数}.(2)因为{x|x=6k,k∈Z}={x|x=3×2k,k∈Z}={x|x=3k',k'是偶数},所以{x|x=3n,n∈Z}⫌{x|x=6k,k∈Z}.
探究点三 集合相等关系的应用
【例3】 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
变式探究 若将例3中已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.
解 ∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.
规律方法 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不符合要求的解.
探究点四 由集合间的关系求参数的范围
【例4】 已知集合A={x|-5
变式探究 例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.
解 不存在.理由如下,因为A={x|-5
本节要点归纳1.知识清单:(1)子集、真子集、集合相等的概念.(2)集合间关系的判断,求子集、真子集的个数问题.(3)由集合间的关系求参数的值或范围.2.方法归纳:数形结合、分类讨论.3.常见误区:(1)容易忽略对集合是否为空集的讨论;(2)求参数范围时,端点值能否取到容易出现错误.
1.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )
解析 由N={-1,0},知N⫋M,故选B.
2.(多选题)已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是( )A.{1,8}B.{2,3}C.{1}D.{2}
解析 由题意知A⊆{1,8},故选AC.
3.设集合A={x|1
解析 因为集合A=B,则x=0或y=0.①当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去;②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1,由①知x=0不符合题意,舍去,故x=1.综上可知,x=1,y=0.
1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.4.能使用Venn图表达集合间的关系,体会直观图对理解抽象概念的作用.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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目 录 索 引
知识点1 子集与真子集
1.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.名师点睛对Venn图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
名师点睛1.对子集的理解(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.(2)若A⊆B,则A有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:a.集合A是集合B的子集;b.存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)任何集合都一定有子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
过关自诊1.子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”?
2.符号“⊆”与符号“∈”有什么区别?
提示 不能.“A是B的子集”的定义中“集合A中的任意一个元素都是集合B的元素”,即对任意x∈A都能推出x∈B.注意“任意一个元素”而不是某个或某些元素.
提示 符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系.
3.集合A⫋B与集合A⊆B有什么区别?
4.已知集合A={-2,3,6m-6},{6}⊆A,则m= ,集合A的真子集有 个.
提示 A⊆B⇒A=B或A⫋B.因此若集合A是集合B的子集包含两个方面:A⫋B或A=B.
解析 ∵{6}⊆A,∴6m-6=6,∴m=2.集合A的真子集有23-1=7(个).
一般地,如果集合A的 都是集合B的元素,同时集合B的 都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作 .也就是说,若A B,且B A,则A=B.集合之间只有相等和不等的关系,没有大小之分
名师点睛对集合相等的理解(1)A=B的图形表示如右:(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A,则A=B”.(4)若A=B,则有A⊆B,且B⊆A.
过关自诊1.本书1.1中,我们是如何定义两个集合相等的?
2.若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,则a= ,b= .
提示 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
解析 由两个集合相等可知b=0,a=-1.
一般地,我们把不含有 的集合叫做空集,记为 ,并规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.
名师点睛有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:(1)集合A的子集的个数为2n;(2)集合A的真子集的个数为2n-1;(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2}, {1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1= 3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.
过关自诊1.{0},⌀之间有什么区别与联系?
2.若A⊆B,能不能看成集合A是集合B中部分元素组成的集合?
提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0}.
提示 不能.因为当A=⌀时,A⊆B,但A中不含任何元素;当A=B时,有A⊆B,但A中含有B中所有元素.
3.若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?
提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
4.集合{a,b,c}的所有非空子集为 ,其中它的非空真子集有 个.
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
解析 集合{a,b,c}的非空子集有{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,剩余都是{a,b,c}的非空真子集,共6个.
知识点4 子集与真子集的性质
由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集, ; (2)任何一个集合是它自身的子集,即 ; (3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得 ; (5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得 .
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)空集是任何集合的真子集.( )(2)非空集合至少有两个子集.( )(3){0,1,2}⊆{2,0,1}.( )(4)一个集合可能是它本身的真子集.( )(5)若M⊆N,N⊆P,则M⫋P.( )2.若{1,2}⊆B⊆{1,2,4},则B= .
{1,2}或{1,2,4}
解析 由条件知集合B中一定含有元素1和2,故集合B可能是{1,2}或{1,2,4}.
探究点一 集合的子集、真子集问题
【例1】 (1)集合{x∈N|-4
(3)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
解析 因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.
解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)}, {(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
规律方法 1.求集合的子集、真子集的步骤判断—根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况↓分类—根据集合中元素的多少进行分类↓列举—采用列举法逐一写出每种情况的子集2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练1 (1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )A.2B.3C.4D.5
解析 因为集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以满足条件的集合A有{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个数为( )A.6B.5C.4D.3
解析 由题知,A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,故集合A={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共5个.
(3)[人教B版教材例题]写出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集.
解 集合A的所有子集是⌀,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集.
探究点二 集合之间关系的判断
【例2】 判断下列集合间的关系:(1)A={x|-1
(3)A={y|y=x+1},B={(x,y)|y=x+1}.
解 集合A表示直线y=x+1上点的纵坐标构成的集合,而集合B则表示直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以A≠B.
规律方法 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
变式训练2 [北师大版教材习题]判断下列各组中两个集合之间的关系:(1){1,2,3}与{x|x是6的正因数};(2){x|x=3n,n∈Z}与{x|x=6k,k∈Z}.
解 (1)因为{x|x是6的正因数}={1,2,3,6},所以{1,2,3}⫋{x|x是6的正因数}.(2)因为{x|x=6k,k∈Z}={x|x=3×2k,k∈Z}={x|x=3k',k'是偶数},所以{x|x=3n,n∈Z}⫌{x|x=6k,k∈Z}.
探究点三 集合相等关系的应用
【例3】 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
变式探究 若将例3中已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.
解 ∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.
规律方法 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不符合要求的解.
探究点四 由集合间的关系求参数的范围
【例4】 已知集合A={x|-5
变式探究 例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.
解 不存在.理由如下,因为A={x|-5
本节要点归纳1.知识清单:(1)子集、真子集、集合相等的概念.(2)集合间关系的判断,求子集、真子集的个数问题.(3)由集合间的关系求参数的值或范围.2.方法归纳:数形结合、分类讨论.3.常见误区:(1)容易忽略对集合是否为空集的讨论;(2)求参数范围时,端点值能否取到容易出现错误.
1.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )
解析 由N={-1,0},知N⫋M,故选B.
2.(多选题)已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是( )A.{1,8}B.{2,3}C.{1}D.{2}
解析 由题意知A⊆{1,8},故选AC.
3.设集合A={x|1
解析 因为集合A=B,则x=0或y=0.①当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去;②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1,由①知x=0不符合题意,舍去,故x=1.综上可知,x=1,y=0.
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