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高中数学2.1 等式性质与不等式性质课文内容课件ppt
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这是一份高中数学2.1 等式性质与不等式性质课文内容课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了目录索引等内容，欢迎下载使用。
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
学习单元 一元二次函数、方程和不等式本单元是高中数学必修课程中的预备知识,起着初高中数学的衔接与过渡作用,内容包括“相等关系、不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”.
具体知识结构图如图.
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础,而方程和不等式都是重要的数学工具,在解决问题中有广泛的应用.因此对方程和不等式内容的学习,主要是为高中数学课程提供工具方面的准备.其次,函数是贯穿高中数学课程的最重要的概念和思想方法,用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法——如何从函数的观点理解其他数学对象,进而把握不同数学对象的共性和相互关系.通过本章的学习,学生的逻辑推理和数学运算素养将得到进一步提升.
知识点一:不等式与不等关系1.不等式的定义所含的两个要点.(1)不等符号 或 . (2)所表示的关系是 . 2.不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
微思考不等式“5≥4”是真命题吗?如何理解?
提示 不等式“5≥4”是真命题,“≥”有两层含义,一是“>”,二是“=”,两者中有一个成立,则不等式就是成立的,所以,如“5≥4”“5≥5”均是正确的.
知识点二:实数的大小比较比较实数a,b的大小的依据
名师点睛比较实数(式)大小的方法
微思考如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢?
提示 通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.
知识点三:重要不等式∀a,b∈R,a2+b2 2ab,当且仅当 时,等号成立. 微思考重要不等式∀a,b∈R,a2+b2≥2ab是如何证明的?体现了什么方法?
提示 由于a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,因此不等式的证明利用了作差后判断符号,这是不等式比较常用的方法.
知识点四:不等式的性质等式性质与不等式性质的比较
名师点睛对不等式性质的理解(1)在上表中,从上往下数,性质1和性质2,分别称为“对称性”与“传递性”,反映了相等关系与不等关系的特性.(2)性质3—7反映了等式及不等式在运算中的不变性,这也是代数问题研究的重点内容.(3)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据;性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”;性质5(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”;性质6和性质7(即同向同正可乘性,可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.
微思考“a>b>0⇒an>bn>0(n∈N,n>1)”成立的条件是什么?b>0的条件能去掉吗?
提示 成立的条件是“n为大于1的自然数,且a>b>0”.不能,假如去掉“b>0”这个条件,取a=3,b=-5,n=2,那么就会出现32>(-5)2的错误结论.这一点对于不等式最易疏漏,出错.
问题1类比“相等用等式表示”,“不等”又该如何表示?问题2如何读懂不等关系?如何用不等式表示文字语言中体现的不等关系?
探究点一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 [2023黑龙江哈尔滨校级月考]如图,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.分析 表示出矩形菜园的另一边长,利用面积公式表示面积,要注意x的取值范围.
延伸探究本例中,若矩形的长、宽都不能超过12 m,对面积没有要求,则x应满足的不等关系是什么?
解 因为矩形的另一边15- ≤12,所以x≥6.又因为0
问题3不等式表示不等关系是数学语言的转化,如何证明不等式成立?【例2】 已知a>b,证明 .
规律方法 用作差法比较实数大小的步骤作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
探究点三 不等式性质的应用
问题4类比等式在相等关系、运算过程中的不变性等性质,可否联想不等式在不等关系、在不等式运算方面相应的性质?问题5对于不等式的性质,哪些性质在运用的时候容易出错?如何解决?
1.应用不等式性质判断命题真假【例3】 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:(1)若a>b,则ac2>bc2;(2)若aab>b2;(3)若c>a>b>0,则 (4)若a>b, ,则a>0,b<0;(5)若aab,ab>b2,从而有a2>ab>b2.故该结论正确.
规律方法 解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法,特别是在实数范围内对于0与负数的排除.如会误认为是a>b⇒
2.应用不等式性质证明不等式问题6不等式的性质如何能较好地应用于证明其他不等式?已知与所求如何联系?【例4】 若a>b>0,c-d>0.
规律方法 1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证,困难一点的要执果索因,用分析法来证明,要学会观察思考已知不等式与所证明的不等式结构之间的联系.2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
3.利用不等式性质求取值范围问题7不等式性质的运用,如何帮助探究某些代数式的取值范围?【例5】 已知1
1.(例1对点题)某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩分数x不低于95,文化课总分数y高于380,体育成绩分数z超过45,用不等式组表示就是( )
解析 由题意,得x不低于95,即x≥95;y高于380,即y>380;z超过45,即z>45.故选D.
2.(例2对点题)比较a+2与 (a∈R,且a≠1)的大小.
3.(例3对点题)[2023陕西咸阳月考]若实数a,b满足a
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
学习单元 一元二次函数、方程和不等式本单元是高中数学必修课程中的预备知识,起着初高中数学的衔接与过渡作用,内容包括“相等关系、不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”.
具体知识结构图如图.
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础,而方程和不等式都是重要的数学工具,在解决问题中有广泛的应用.因此对方程和不等式内容的学习,主要是为高中数学课程提供工具方面的准备.其次,函数是贯穿高中数学课程的最重要的概念和思想方法,用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法——如何从函数的观点理解其他数学对象,进而把握不同数学对象的共性和相互关系.通过本章的学习,学生的逻辑推理和数学运算素养将得到进一步提升.
知识点一:不等式与不等关系1.不等式的定义所含的两个要点.(1)不等符号 或 . (2)所表示的关系是 . 2.不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
微思考不等式“5≥4”是真命题吗?如何理解?
提示 不等式“5≥4”是真命题,“≥”有两层含义,一是“>”,二是“=”,两者中有一个成立,则不等式就是成立的,所以,如“5≥4”“5≥5”均是正确的.
知识点二:实数的大小比较比较实数a,b的大小的依据
名师点睛比较实数(式)大小的方法
微思考如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢?
提示 通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.
知识点三:重要不等式∀a,b∈R,a2+b2 2ab,当且仅当 时,等号成立. 微思考重要不等式∀a,b∈R,a2+b2≥2ab是如何证明的?体现了什么方法?
提示 由于a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,因此不等式的证明利用了作差后判断符号,这是不等式比较常用的方法.
知识点四:不等式的性质等式性质与不等式性质的比较
名师点睛对不等式性质的理解(1)在上表中,从上往下数,性质1和性质2,分别称为“对称性”与“传递性”,反映了相等关系与不等关系的特性.(2)性质3—7反映了等式及不等式在运算中的不变性,这也是代数问题研究的重点内容.(3)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据;性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”;性质5(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”;性质6和性质7(即同向同正可乘性,可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.
微思考“a>b>0⇒an>bn>0(n∈N,n>1)”成立的条件是什么?b>0的条件能去掉吗?
提示 成立的条件是“n为大于1的自然数,且a>b>0”.不能,假如去掉“b>0”这个条件,取a=3,b=-5,n=2,那么就会出现32>(-5)2的错误结论.这一点对于不等式最易疏漏,出错.
问题1类比“相等用等式表示”,“不等”又该如何表示?问题2如何读懂不等关系?如何用不等式表示文字语言中体现的不等关系?
探究点一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 [2023黑龙江哈尔滨校级月考]如图,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.分析 表示出矩形菜园的另一边长,利用面积公式表示面积,要注意x的取值范围.
延伸探究本例中,若矩形的长、宽都不能超过12 m,对面积没有要求,则x应满足的不等关系是什么?
解 因为矩形的另一边15- ≤12,所以x≥6.又因为0
问题3不等式表示不等关系是数学语言的转化,如何证明不等式成立?【例2】 已知a>b,证明 .
规律方法 用作差法比较实数大小的步骤作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
探究点三 不等式性质的应用
问题4类比等式在相等关系、运算过程中的不变性等性质,可否联想不等式在不等关系、在不等式运算方面相应的性质?问题5对于不等式的性质,哪些性质在运用的时候容易出错?如何解决?
1.应用不等式性质判断命题真假【例3】 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:(1)若a>b,则ac2>bc2;(2)若a
规律方法 解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法,特别是在实数范围内对于0与负数的排除.如会误认为是a>b⇒
2.应用不等式性质证明不等式问题6不等式的性质如何能较好地应用于证明其他不等式?已知与所求如何联系?【例4】 若a>b>0,c
规律方法 1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证,困难一点的要执果索因,用分析法来证明,要学会观察思考已知不等式与所证明的不等式结构之间的联系.2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
3.利用不等式性质求取值范围问题7不等式性质的运用,如何帮助探究某些代数式的取值范围?【例5】 已知1
1.(例1对点题)某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩分数x不低于95,文化课总分数y高于380,体育成绩分数z超过45,用不等式组表示就是( )
解析 由题意,得x不低于95,即x≥95;y高于380,即y>380;z超过45,即z>45.故选D.
2.(例2对点题)比较a+2与 (a∈R,且a≠1)的大小.
3.(例3对点题)[2023陕西咸阳月考]若实数a,b满足a
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