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高中人教A版 (2019)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教课内容课件ppt
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这是一份高中人教A版 (2019)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教课内容课件ppt，共46页。
1.了解一元二次不等式的现实意义.2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目 录 索 引
知识点1 一元二次不等式的概念
一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式. (2)一般形式: 一元二次不等式的一般形式中“a≠0”不可省略①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
名师点睛1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+ <0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念.(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.( )(2)若m是不为0的常数,则mx2+5<0是关于x的一元二次不等式.( )(3)不等式x2-5y<0是一元二次不等式.( )2.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?
3.a2b+2ab2+9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗?
提示 它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.
提示 可以,把b看作常数,a看作未知数,则是关于a的一元二次不等式;把a看作常数,b看作未知数,则是关于b的一元二次不等式.
知识点2 一元二次不等式的解法
{x|xx2}
{x|x1
过关自诊1.什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是什么,系数a,b,c之间有什么关系?
提示 把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.
提示 一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0.
3.[人教B版教材例题]求不等式x2-x-2>0的解集.
解 因为x2-x-2=(x+1)(x-2),所以原不等式等价于(x+1)(x-2)>0,因此所求解集为{x|x<-1或x>2}.
4.[北师大版教材习题]参考下图,画出当a<0时,ax2+bx+c>0的求解思路.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解方法,如图所示.
解 ax2+bx+c>0(a<0)的求解思路如图所示.
探究点一 一元二次不等式的求解
【例1】 解下列不等式.(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
解 不等式可化为3x2-6x+2<0.因为方程3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
解 因为方程x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
规律方法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
变式训练1 解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
解 不等式可化为4x2-20x+25<0,对于方程4x2-20x+25=0,因为Δ=0,且二次函数y=4x2-20x+25的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.
解 因为方程(x-3)(x-7)=0的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3
探究点二 含参数的一元二次不等式问题
角度1.已知一元二次不等式的解集求参数值【例2】 若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.
规律方法 1.一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x10时,其解集是{x|xx2};当a<0时,其解集是{x|x10的解集.
解 ∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1
解 依题意知方程x2+(1-a)x-a=0的实数根为x1=-1,x2=a,且一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线.(1)当a<-1时,如图①,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(a,0)与(-1,0).所以原不等式的解集为{x|a
(3)当a>-1时,如图③,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(-1,0)与(a,0).所以原不等式的解集为{x|-1-1时,原不等式的解集为{x|-1
变式训练3 若m∈R,解关于x的不等式(x+m)[x-(3m+1)]>0.
角度3.不等式的恒成立问题【例4】 (1)已知关于x的不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
解 当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.当k≠0时,令f(x)=kx2+2kx-(k+2),∵f(x)<0恒成立,∴函数f(x)图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.
综上,实数k的取值范围是{k|-1
解 令g(x)=x2+mx+4.∵当1≤x≤2时g(x)<0恒成立,
规律方法 1.如图①,关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔2.如图②,关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔
3.含参数的一元二次不等式在某一范围恒成立问题,求解时主要有两种方法:一种是将参数分离,转化为恒成立问题;另一种是利用二次不等式对应的二次方程根的分布及数形结合思想求解.
变式训练4 [2023山西太原月考]设函数y=mx2-mx-1.(1)若y<0对于一切实数x恒成立,求m的取值范围;(2)对于x∈{x|1≤x≤3},y<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解 (1)若m=0,原不等式化为-1<0,显然恒成立;
∴m的取值范围为{m|-4
探究点三 一元二次不等式的实际应用
因为n∈N,所以n=6.(2)由于刹车距离不超过12.6 m,即s≤12.6,
解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60,即行驶的最大速度为60 km/h.
变式探究 例5中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离大于25.65 m,试问该车是否超速行驶?
解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以速度v>90>80,因此该车超速行驶.
规律方法 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
本节要点归纳1.知识清单:(1)一元二次不等式的概念.(2)解一元二次不等式的常见方法:图象法、代数法.(3)含参数的一元二次不等式问题.(4)利用一元二次不等式解决实际问题.2.方法归纳:数形结合、分类讨论、化归与转化.3.常见误区:(1)忽略二次项系数的符号;(2)利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义.
1.不等式-x2+3x-2>0的解集是( )A.{x|x<1}B.{x|x>2}C.{x|12}
解析 原不等式可化为x2-3x+2<0,即(x-1)(x-2)<0,解得1
3.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是( )A.{a|-16
解析 设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.故t的取值范围是{t|3≤t≤5}.
1.了解一元二次不等式的现实意义.2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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目 录 索 引
知识点1 一元二次不等式的概念
一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式. (2)一般形式: 一元二次不等式的一般形式中“a≠0”不可省略①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
名师点睛1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+ <0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念.(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.( )(2)若m是不为0的常数,则mx2+5<0是关于x的一元二次不等式.( )(3)不等式x2-5y<0是一元二次不等式.( )2.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?
3.a2b+2ab2+9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗?
提示 它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.
提示 可以,把b看作常数,a看作未知数,则是关于a的一元二次不等式;把a看作常数,b看作未知数,则是关于b的一元二次不等式.
知识点2 一元二次不等式的解法
{x|x
{x|x1
过关自诊1.什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是什么,系数a,b,c之间有什么关系?
提示 把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.
提示 一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0.
3.[人教B版教材例题]求不等式x2-x-2>0的解集.
解 因为x2-x-2=(x+1)(x-2),所以原不等式等价于(x+1)(x-2)>0,因此所求解集为{x|x<-1或x>2}.
4.[北师大版教材习题]参考下图,画出当a<0时,ax2+bx+c>0的求解思路.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解方法,如图所示.
解 ax2+bx+c>0(a<0)的求解思路如图所示.
探究点一 一元二次不等式的求解
【例1】 解下列不等式.(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
解 不等式可化为3x2-6x+2<0.因为方程3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
解 因为方程x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
规律方法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
变式训练1 解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
解 不等式可化为4x2-20x+25<0,对于方程4x2-20x+25=0,因为Δ=0,且二次函数y=4x2-20x+25的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.
解 因为方程(x-3)(x-7)=0的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3
探究点二 含参数的一元二次不等式问题
角度1.已知一元二次不等式的解集求参数值【例2】 若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.
规律方法 1.一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1
解 ∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1
解 依题意知方程x2+(1-a)x-a=0的实数根为x1=-1,x2=a,且一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线.(1)当a<-1时,如图①,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(a,0)与(-1,0).所以原不等式的解集为{x|a
(3)当a>-1时,如图③,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(-1,0)与(a,0).所以原不等式的解集为{x|-1
变式训练3 若m∈R,解关于x的不等式(x+m)[x-(3m+1)]>0.
角度3.不等式的恒成立问题【例4】 (1)已知关于x的不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
解 当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.当k≠0时,令f(x)=kx2+2kx-(k+2),∵f(x)<0恒成立,∴函数f(x)图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.
综上,实数k的取值范围是{k|-1
解 令g(x)=x2+mx+4.∵当1≤x≤2时g(x)<0恒成立,
规律方法 1.如图①,关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔2.如图②,关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔
3.含参数的一元二次不等式在某一范围恒成立问题,求解时主要有两种方法:一种是将参数分离,转化为恒成立问题;另一种是利用二次不等式对应的二次方程根的分布及数形结合思想求解.
变式训练4 [2023山西太原月考]设函数y=mx2-mx-1.(1)若y<0对于一切实数x恒成立,求m的取值范围;(2)对于x∈{x|1≤x≤3},y<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解 (1)若m=0,原不等式化为-1<0,显然恒成立;
∴m的取值范围为{m|-4
探究点三 一元二次不等式的实际应用
因为n∈N,所以n=6.(2)由于刹车距离不超过12.6 m,即s≤12.6,
解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60,即行驶的最大速度为60 km/h.
变式探究 例5中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离大于25.65 m,试问该车是否超速行驶?
解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以速度v>90>80,因此该车超速行驶.
规律方法 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
本节要点归纳1.知识清单:(1)一元二次不等式的概念.(2)解一元二次不等式的常见方法:图象法、代数法.(3)含参数的一元二次不等式问题.(4)利用一元二次不等式解决实际问题.2.方法归纳:数形结合、分类讨论、化归与转化.3.常见误区:(1)忽略二次项系数的符号;(2)利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义.
1.不等式-x2+3x-2>0的解集是( )A.{x|x<1}B.{x|x>2}C.{x|1
解析 原不等式可化为x2-3x+2<0,即(x-1)(x-2)<0,解得1
3.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是( )A.{a|-16
解析 设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.故t的取值范围是{t|3≤t≤5}.
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