初中数学人教版七年级上册4.3.1 角测试题

2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题1.6线段与角的计算十二大核心考点精讲精练

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【知识梳理】

1.直线、射线、线段的认识

（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．

（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．

2.直线与线段的性质

（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
          简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．

（3）线段性质

两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．

3.线段的比较与计算：

（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．

就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．

（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．

（3）线段的和、差、倍、分及计算

做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．

（4）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．

4.角的概念：

（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．

（5）角的单位的换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．

5.角的比较与计算：

（1）角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

（2）性质：若OC是∠AOB的平分线

则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．

（3）角的和差倍分计算：

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．

6.余角与补角：

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．

（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．

注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．

【典例剖析】

【考点1】直线、射线、线段的认识

【例1】（2019秋•开远市期末）如图，在平面内有A，B，C三点．

（1）画直线AC，线段BC，射线AB；

（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD；

（3）数数看，此时图中线段的条数．

【变式1.1】（2022·山东·聊城市茌平区实验中学七年级阶段练习）如图，观察图形，下列说法正确的有（     ）个

①直线和直线是同一条直线，②射线和射线是同一条射线，③，④三条直线两两相交时一定有三个交点

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1.2】（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是(   )

A．直线AB与直线BA不是同一条直线 B．射线AB与射线BA是同一条射线

C．延长线段AB和延长线段BA的含义一样 D．线段AB与线段BA是同一条线段

【变式1.3】（2022·浙江·七年级专题练习）下列说法：①射线与射线是同一条射线；②线段是直线的一部分；③延长线段到，使；④射线与射线的公共部分是线段．正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点2】直线、线段的性质

【例2】（2019秋•曹县校级期末模拟）如图，在直线a上求一点O，使它到点M、N的距离最小．

【变式2.1】（2022·陕西·西安市铁一中学七年级期中）下列说法正确的个数是（    ）

①连接两点之间的线段叫两点间的距离；

②线段AB和线段BA表示同一条线段；

③木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；

④若，则点C是AB的中点．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式2.2】（2022·河南省实验中学七年级期中）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ）

A．②③ B．①③ C．②④ D．①④

【变式2.3】（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（    ）

A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短

C．两点确定一条直线 D．两点之间的线段的长度叫做两点间的距离

【考点3】线段的中点及计算问题

【例3】（2019秋•杭州期末）如图，将线段AB延长至点C，使BCAB，D为线段AC的中点，若BD＝2，则线段AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12

【变式3.1】（2022·河南省实验中学七年级期中）点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若线段，则线段的长为（    ）

A． B． C．或 D．或

【变式3.2】（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图，数轴上，，，四点对应的数都是整数，且为线段的中点，为线段的中点．若点对应的整数是，点对应的整数是，且，则数轴上的原点是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

【变式3.3】（2022·辽宁·沈阳市和平区南昌中学沈北分校七年级阶段练习）如图，cm，C为的中点，点D在线段AC上且，则的长是（    ）

A．8cm B．10cm C．12cm

【考点4】两点间的距离问题

【例4】（2019秋•昌平区期末）已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．

（1）若AB＝8，AC＝2，求线段CD的长．

（2）若点E是线段AC的中点，直接写出线段DE和AB的数量关系是　AB＝2DE　．

【变式4.1】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）已知A，B，C三点共线，线段，，点M，N分别是线段AB，BC的中点，则MN的长为（　　）

A．16cm B．16cm或4cm C．4cm D．6cm或12cm

【变式4.2】（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（    ）

A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm

【变式4.3】（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长（    ）

A．7 B． C．6 D．5

【考点5】角的概念及表示

【例5】图中以O点为顶点的角有几个？以D点为顶点小于平角的角有几个？以E点为顶点的角有几个？试用适当的方法来表示这些角．

【变式5.1】（2022·河南省实验中学七年级期中）如图，下列说法中不正确的是（　　）

A．与是同一个角 B．与是同一个角

C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，，

【变式5.2】（2021·江苏·南通市北城中学七年级阶段练习）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　）

A． B． C． D．

【变式5.3】（2022·安徽·七年级）如下图，下列说法正确的是（   ）

A．与表示同一个角 B．

C．图中共有两个角：， D．表示

【考点6】度分秒的换算

【例6】（2019秋•郸城县校级期末模拟）（1）48°39′+67°31′

（2）78°﹣47°34′56″

（3）22°16′×5；               

（4）42°15′÷5．

【变式6.1】（2022·全国·七年级专题练习）若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【变式6.2】（2022·全国·七年级专题练习）下列角度换算错误的是（    ）

A． B． C． D．

【变式6.3】（2022·全国·七年级单元测试）下列换算中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【考点7】角的大小比较

【例7】（2019秋•鄞州区期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　）

A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C

【变式7.1】（2022·山东·莘县樱桃园镇中心初级中学七年级阶段练习）在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（　　）

A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC

【变式7.2】（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（　　）

A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C

【变式7.3】（2021·全国·七年级专题练习）如图，射线、分别在的内部外部，下列各式中错误的是（    ）．

A． B．

C． D．

【考点8】有关角平分线的计算问题

【例8】（2019秋•天心区期末）线段与角的计算．

（1）如图1，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CBAC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．

（2）已知：如图2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度数．

【变式8.1】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，已知，平分，且，则的度数为（　　）

A．126° B．108° C．112° D．106°

【变式8.2】（2022·浙江·七年级专题练习）如图，将一副三角板与的直角顶点O重合在一起，若，为的平分线，则的度数为（    ）

A．72° B．73° C．75° D．76°

【变式8.3】（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线， 则与大小关系是（     ）

A．= B．＜ C．＞ D．无法确定

【考点9】方向角问题

【例9】（2020春•长葛市期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：

（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？

（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．

【变式9.1】（2021·贵州毕节·七年级期末）若的补角与的余角相等，则等于（    ）

A．90° B．60° C．180° D．270°

【变式9.2】（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西56°的方向，轮船B位于南偏东17°的方向，求∠AOB的度数．

【变式9.3】（2022·安徽·七年级）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏东，已知图中．

(1)求∠AOB的度数；

(2)写出射线OC的方向．

【考点10】基本作图

【例10】读下列语句，并画出图形．（每题3分，共12分）

（1）任意画A、O两点，作射线OA．

（2）点A在直线l上，点B在直线l外．

（3）画线段AB＝4cm，并找出它的中点C．

（4）直线l与直线AB交于O点．

【变式10.1】（2022·重庆市璧山区正兴初级中学校七年级期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，利用尺规，按下列要求作图并作答．

(1)画射线，连接线段交线段于点E；

(2)在射线上求作一点F，使．

【变式10.2】（2022·重庆南开中学七年级开学考试）尺规作图：如图，已知平面上有四个点．

(1)作射线，作直线与射线交于点；

(2)在射线上作一点，使得．

【变式10.3】（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图

(1)直线；

(2)画射线；

(3)连接、；

(4)在平面内找一点，使点到、、、四个点的距离和最小．

【考点11】分类讨论及方程思想在线段计算中的应用

【例11】已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．

（1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　m　（用含m的代数式表示）；

（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；

（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．

【变式11.1】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．

(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；

(2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长；

(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值．

【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．

(1)填空：线段的中点          这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）

(2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数．

(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．

【变式11.3】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．

(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．

①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；

②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；

(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．

【考点12】分类讨论及方程思想在角的计算中的应用

【例12】（2020春•南岗区期末）已知，在∠AOB内部作射线OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°．

（1）如图1，求∠AOB的度数；

（2）如图2，在∠AOB的外部和∠BOD的内部分别作射线OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求证：OF平分∠DOE；

（3）如图3，在（2）的条件下，在∠COD内部作射线OM，当∠BOM＝4∠COM，∠BOE∠AOC时，求∠MOF的度数．

【变式12.1】（2022·河北石家庄·七年级期中）如图所示，已知，从点出发的一条射线满足，是的平分线，是的平分线，请补全图形（画出符合题意的草图即可），并求出的大小．

【变式12.2】（2022·河北石家庄·七年级期中）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设．

(1)当时，求的大小；

(2)当恰好平分时，求的值；

(3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，且二人求得的定值相同，均为，老师说，要使两人的说法都正确，需要对分别附加条件．请你补充这个条件：

当满足 　　时，；

当满足 　　时，．

【变式12.3】（2022·河南省实验中学七年级期中）己知，

(1)如图1，平分，平分，若，则是__________°；

(2)如图2，、分别平分和，若，求的度数．

(3)若、分别平分和，，则的度数是__________（直接填空）．