人教版七年级上册第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程复习练习题

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2020-2021学年七年级数学上学期期末考试高分直通车【人教版】
专题1.5一元一次方程的应用14大类型热门考点精讲精练
【目标导航】

【知识梳理】
列一元一次方程解应用题的五个步骤
(1) 审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
(2) 设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
(3) 列：根据等量关系列出方程．
(4) 解：解方程，求得未知数的值．
(5) 答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的应用——分配问题
【例1】（2019秋•台江区期末）把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺20本．这个班有多少学生？
【分析】可设这个班有x名学生，根据总本数相等和每人分3本，剩余20本；每人分4本，缺20本可列出方程，求解即可．
【解析】设这个班有x名学生，
根据书的总量相等可得：3x+20＝4x﹣20，
解得：x＝40．
答：这个班有40名学生．
【变式1.1】（2022·全国·七年级专题练习）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．
(1)该工厂有男工、女工各多少人？
(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？
【答案】(1)该工厂有男工36人，有女工52人
(2)调12名女工帮男工制作盒底

【分析】（1）设该工厂有男工x人，则女工有2x−20人，利用总人数是88人列方程求解即可．
（2）设调y名女工帮男工制作盒底，利用盒底是盒身的二倍列方程求解即可．
【详解】（1）解：设该工厂有男工x人，则女工有2x−20人，
由题意得：x+2x−20=88，
解得：x=36，
女工：2×36−20=52（人），
答：该工厂有男工36人，有女工52人．
（2）设调y名女工帮男工制作盒底，
由题意得：5036+y×2=52−y×120，
解得：y=12．
答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握利用等量关系列方程是解题的关键．
【变式1.2】（江苏省常州市兰陵中学2019-2020学年七年级上学期12月月考数学试题）已知甲队有45人，乙队有30人，如果要使乙队人数只有甲队人数的一半，那么需要从乙队抽调多少人去甲队？
【答案】需要从乙队抽调5人去甲队
【分析】设需要从乙队抽调x人去甲队，则抽调后甲队人数是（45+x）人，抽调后乙队是（30﹣x）人．题目中的相等关系是：抽调后甲队人数＝2×抽调后乙队人数，就可以列出方程45+x＝2（30﹣x）求解．
【详解】解：设需要从乙队抽调x人去甲队，根据题意得：
45+x＝2（30﹣x），
解得：x＝5．
故需要从乙队抽调5人去甲队．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用的分配问题是解题的关键．
【变式1.3】（江苏省盐城市射阳外国语学校2020-2021学年七年级上学期第二次月考数学试题）某中学有住宿生若干人，若每个房间住8人，则有3人无处住；若每个房间住9人则有两张空床位，问该中学有宿舍多少间，住宿生有多少人？
【答案】该中学有宿舍5间，住宿生有43人
【分析】设有宿舍x间，利用住宿生人数相等列一元一次方程求解．
【详解】解：设有宿舍x间，
列方程：8x+3=9x−2，解得x=5，
住宿生人数：8×5+3=43（人），
答：该中学有宿舍5间，住宿生有43人．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程求解．
【考点2】一元一次方程的应用——配套问题
【例2】（2019秋•临西县期末）在广州亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？
【分析】设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，则根据一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾作为等量关系可列出方程求解．
【解析】设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，
1800（70﹣x）＝2×1200x，
解得：x＝30，
70﹣x＝70﹣30＝40．
答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾．
【变式2.1】（2022·湖北·武汉市武珞路中学七年级期中）（1）某轮船顺水航行3h，逆水航行1.5h，已知轮船在静水中的速度为akm/h，水流速度是ykm/h，求轮船顺水航程与逆水航程两个相差多少？
（2）一套仪器由两个A和三个B部件构成，用1m3钢材可做20个A部件或者50个B部件，现有8m3钢材做这种仪器，用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
【答案】（1）轮船顺水航程与逆水航程两个相差1.5a+4.5y千米；（2）用5m³钢材做A部件，则用3m³做B部件，恰好配成这种仪器50套
【分析】（1）据题意得轮船顺水航程：3(a+y)，逆水航程：1.5(a−y)，则3(a+y)−1.5(a−y)，进行计算即可得；
（2）设用xm³钢材做A部件，则用(8−x)m³做B部件，由题意得，3×20x=2×50(8−x)，进行计算即可得x=5，即可得做B部件的钢材，即可得．
【详解】解：（1）根据题意得轮船顺水航程：3(a+y)，逆水航程：1.5(a−y)，
则3(a+y)−1.5(a−y)
=3a+3y−1.5a+1.5y
=1.5a+4.5y（km）
即轮船顺水航程与逆水航程两个相差1.5a+4.5y千米；
（2）设用xm³钢材做A部件，则用(8−x)m³做B部件，
由题意得，3×20x=2×50(8−x)
60x=100(8−x)
60x=800−100x
160x=800
x=5
8−5=3（m³），
5×20÷2=50（套），
即用5m³钢材做A部件，则用3m³做B部件，恰好配成这种仪器50套．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出一元一次方程．
【变式2.2】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有38张硬纸板，如何裁剪才能使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做多少个盒子？

【答案】14张用A方法，24张用B方法，能做60个盒子
【分析】由x张用A方法，就有38−x张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
【详解】解：设裁剪时x张用A方法，则裁剪时（38−x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+438−x=2x+152个，
底面的个数为：538−x=190−5x个；
由题意，得2x+1523=190−5x2，
解得：x=14，
38−x=24（张）用B方法，
∴盒子的个数为：2×14+152÷3=60（个）．
答：14张用A方法，24张用B方法，裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．
【变式2.3】（2022·全国·七年级专题练习）小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好能做成一个包装盒，设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题．
(1)若有11张白板纸．
①请完成如表；

x张白板纸裁成盒身
张白板纸裁成盒盖
盒身的个数

0
盒盖的个数
0


②求最多可做几个包装盒；
(2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？
(3)若有n张白板纸（70≤n≤80），先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，求n的值．
【答案】(1)①3x，11-x，511-x；②15
(2)34个
(3)79

【分析】（1）①根据题意可填表即可；②由题意可得3x×2=511−x，求出做盒身的白纸板的数量，最后求出盒子的个数即可；
（2）设裁成盒身用y张白纸板，则裁盒盖的白纸板有23−y张，列出方程2×3y+2×4=3+523−y求解即可；
（3）设用z张白纸板裁盒身，则裁盒盖的白纸板有（n−z−1） 张，列方程为3×2+2×3z=5（n−z−1）+1，求出n与z的关系式为5n＝11z+10，再由70≤n≤80可得350≤11z+10≤400，即34011≤z≤39011，进而求出n的值．
【详解】（1）解：①完成下表为：

x张白板纸裁成盒身
张白板纸裁成盒盖
盒身的个数
3x
0
盒盖的个数
0
5(11-x)

故答案为：3x，511−x；
②由题意可得：3x×2=511−x，解得x=5，
∴有5张白板纸做盒身，
∴最多可以做15个包装盒；
答：最多可做15个包装盒
（2）解：设裁成盒身用y张白板纸，则裁盒盖的白板纸有23−y张，
由题意可得2×3y+2×4=3+523−y，解得y=10，
∴10张白板纸能做30个盒身，
∴可以做34个包装盒；
（3）解：设用z张白板纸裁盒身，则裁盒盖的白板纸有（n−z−1）张，
由题意可得，3×2+2×3z=5（n−z−1）+1
∴5n＝11z+10，
∵70≤n≤80，
∴350≤11z+10≤400，
∴34011≤z≤39011，即31≤z≤35，
∵5n＝11z+10
∴n的值为79．
【点睛】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、找准等量关系、列出代数式和方程是解题的关键．
【考点3】一元一次方程的应用——行程问题
【例3】（2019秋•龙泉驿区期末）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追赶小明．
（1）若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？
（2）若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走，与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？
（3）小明家养了一条聪明伶俐的小狗，小狗跟着爸爸冲出了门，以240米/分钟的速度去追小明，小明看到小狗的一刹那醒悟到自己忘了带数学书，立即以120米/分钟的速度往回返，小狗仍以原速度往爸爸这边跑，跑到爸爸身边又折回往小明身边跑，直到爸爸和小明相遇方停下，随后又跟着爸爸回到家，请问小狗从出门到回家共跑了多少米？
【分析】（1）设爸爸追上小明用了x分钟，根据爸爸追上小明时爸爸的行程＝小明5分钟的行程+x分钟的行程，列出方程求解即可；
（2）设爸爸出发y分钟追上小明，根据爸爸与小明相遇时爸爸的行程+小明往回走的行程＝小明（5+2＝7）分钟的行程，列出方程求解即可；
（3）先求出小狗追小明，小明看到小狗的时间，再求得小明看到小狗后与爸爸相遇的时间，求出它们的时间和，再根据路程＝速度×时间，列式计算即可求解．
【解析】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，依题意得：
80×5+80x＝180x，
解得x＝4．
答：爸爸追上小明用了4分钟；
（2）设爸爸出发y分钟追上小明，依题意得：
180y+100（y﹣2）＝80×7，
解得y=197．
答：爸爸出发197分钟追上小明；
（3）80×5÷（240﹣80）＝2.5（分），
[80×（5+2.5）﹣180×2.5]÷（120+180）＝0.5（分），
240×（2.5+0.5）+180×（2.5+0.5）＝1260（米）．
答：小狗从出门到回家共跑了1260米．
【变式3.1】（2022·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带着东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米，
(1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表示）
(2)则小刚用几分钟可以追上小明？
【答案】(1)120x，80(x+2.5)
(2)小刚用5分钟可以追上小明．

【分析】（1）根据路程=速度×时间可解决问题；
（2）设小刚x分钟可以追上小明，根据路程=速度×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：小刚出发经过x分钟后，小刚走了120x米，小明走了80(x+2.5)米，
故答案为：120x，80(x+2.5)；
（2）解：设小刚用x分钟可以追上小明，
根据题意得：120x=80(x+2.5)，
解得：x=5．
答：小刚用5分钟可以追上小明．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系路程=速度×时间列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
【变式3.2】（江苏省无锡市2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）列方程解应用题：
已知两地相距300千米，甲车的速度为每小时75千米，乙车的速度为每小时45千米．
(1)若两车分别从A、B两地同时同向而行（甲车在乙车后面），问经过多长时间甲车追上乙车？
(2)若两车同时从A、B两地相向而行，问经过多长时间两车相距60千米？
【答案】(1)经过10小时甲车追上乙车
(2)经过2小时或3小时两车相距60千米

【分析】（1）设经过x小时甲车追上乙车，根据路程=速度×时间结合甲车比乙车多行驶300千米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过y小时两车相距60千米，分两车相遇前相距60千米及相遇后相距60千米两种情况考虑，根据路程=速度×时间，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）
（1）设经过x小时甲车追上乙车，
依题意，得：75x﹣45x＝300，
解得：x＝10，
答：经过10小时甲车追上乙车．
（2）
设经过y小时两车相距60千米，
依题意，得：75y+45y＝300﹣60或75y+45y＝300+60，
解得：y＝2或y＝3，
答：经过2小时或3小时两车相距60千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式3.3】（宁夏银川北塔第二中学2021-2022学年七年级上学期数学期末题）周末小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：

(1)请根据它们的对话内容，求出小明和爸爸的骑行速度；
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸跑道上相距50米？
【答案】(1)小明的骑行速度为200米/分，爸爸的骑行速度为400米/分；
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过14或74分钟，小明和爸爸相距50米．

【分析】（1）设小明的骑行速度为x米/分，则爸爸的骑行速度为2x米/分，根据距离=速度差×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸跑道上相距50米．根据距离=速度差×时间即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设小明的骑行速度为x米/分，则爸爸的骑行速度为2x米/分，
根据题意得：2（2x-x）=400，
解得：x=200，
∴2x=400．
答：小明的骑行速度为200米/分，爸爸的骑行速度为400米/分；
（2）解：设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸相距50米．
400y-200y=50，
解得y=14；
爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了350米，
根据题意得：400y-200y=350，
解得y=74．
答：爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过14或74分钟，小明和爸爸相距50米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由路程差找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【考点4】一元一次方程的应用——顺水逆水问题
【例4】（2019秋•武清区期末）某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/小时，船在静水中的速度为8km/小时．已知甲、丙两地间的距离为2km，求甲、乙两地间的距离是多少千米？（注甲、乙、丙三地在同一条直线上）
【分析】本题需分类讨论：（1）丙在甲地和乙地之间，（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，即可解题．
【解析】（1）丙在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，
则x2+8+x−28−2=3，
解得：x＝12.5．
（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，
则x2+8+x+28−2=3，
解得：x＝10．
答：甲乙两地间的距离为12.5km或10km．
【变式4.1】（4.5一元一次方程单元练习（提优）-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学上册同步精品讲义（苏科版））轮船在静水中的航行速度25km/h，水流速度为5km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用6h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离．
【答案】72km
【分析】设甲、乙两码头间的距离为xkm，根据时间＝路程÷速度结合往返共用6小时，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：设甲、乙两码头间的距离为xkm，
依题意，得：x25＋5＋x25−5＝6，
解得：x＝72，
答：甲、乙两码头间的距离为72km．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式4.2】（河南省南阳市九中2021-2022学年七年级数学下学期第一阶段综合练习题）小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米/时．到B地后沿原路返回，速度增加50%，回到A码头比去时少花了20分钟．求A、B两地之间的路程．
【答案】8千米
【分析】设A、B两地之间的路程为x千米，根据等量关系式：回到A码头比去时少花了20分钟列出方程，解方程即可．
【详解】解：设A、B两地之间的路程为x千米，
依题意得：x8−x8×1+50%=2060，
解得：x＝8．
答：A、B两地之间的路程为8千米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．
【变式4.3】（江苏省南通市八一中学2021-2022学年七年级上学期第二次阶段训练数学试题）列一元一次方程解应用题：
在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求无风时这架飞机在这一航线的平均航速和两机场之间的航程．
【答案】无风时飞机的航速是696千米/时，两机场之间的航程是2016千米
【分析】设无风时飞机的航速是x千米/时，根据路程=时间×速度，列出方程求解即可．
【详解】解：设无风时飞机的航速是x千米/时，
依题意得：2.8x+24=3x−24，
解得：x=696．                
则3×(696−24)=2016（千米）  
答：无风时飞机的航速是696千米/时，两机场之间的航程是2016千米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
【考点5】一元一次方程的应用——工程问题
【例5】（2019秋•遵化市期末）甲、乙两人要各自在车间加工一批数量相同的零件，甲每小时可加工25个，乙每小时可加工20个．甲由于先去参加了一个会议，比乙少工作了1小时，结果两人同时完成任务，求每人加工的总零件数量．
【分析】根据题意可以得到相等关系：乙用时﹣1＝甲用时，据此列出方程求解即可．
【解析】设每人加工x个零件，
x20−x25=1
解得：x＝100
答：甲加工了100个，乙加工了100个．
【变式5.1】（2022·河南·金明中小学七年级阶段练习）某工厂要制作一块广告牌，请来三名工人，已知甲单独做12天可完成，乙单独做20天可完成，丙单独做15天可完成．现在甲和乙合做了4天，余下的工作乙和丙两人合作完成，
(1)余下的工作乙和丙两人合作多少天才能完成？
(2)完成后，工厂支付酬金4800元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么应如何分配？
【答案】(1)余下的工作乙和丙两人合作4天才能完成；
(2)甲的报酬为1600元，乙的报酬为1920元，丙的报酬为1280元．

【分析】（1）甲的工作效率为112，乙的工作效率为120，丙的工作效率为115，设余下的工作乙和丙两人合作x天才能完成，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）先计算出各自完成的工作总量，再结合总酬金4800元即可求解．
【详解】（1）解：设余下的工作乙和丙两人合作x天才能完成，
依题意得：112+120×4+120+115x=1，
解得：x=4，
答：余下的工作乙和丙两人合作4天才能完成；
（2）解：由（1）得甲完成的工作总量为112×4=13，
乙完成的工作总量为120×4+4=25，
丙完成的工作总量为115×4=415，
∴甲的报酬为4800×13=1600(元)，
乙的报酬为4800×25=1920(元)，
丙的报酬为4800×415=1280(元)，
答：甲的报酬为1600元，乙的报酬为1920元，丙的报酬为1280元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式5.2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）有一些相同的房间需要粉刷墙面，装修公司计划雇用A级技工和B级技工共10人粉刷房间．若1名B级技工晋级为A级技工，则A级技工和B级技工的人数恰好相等．
(1)求原计划中A级技工、B级技工各多少名？
(2)在实际工作中，一天3名A级技工去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名B级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40m2墙面．每名A级技上比B级技工一天多粉刷10m2墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积．
【答案】(1)原计划中A级技工有4名，则B级技工有6名．
(2)每个房间需要粉刷的墙面面积为：52m2.

【分析】（1）原计划中A级技工有x名，则B级技工有10−x名，再根据B级技工减1人等于A级技工加1人，可得方程，再解方程可得答案；
（2）设每名A级技工每天粉刷ym2的墙面，则每名B级技工每天粉刷y−10m2的墙面，再根据每个房间的面积相等列方程，再解方程并求解每个房间需要粉刷的面积即可．
【详解】（1）解：原计划中A级技工有x名，则B级技工有10−x名，
∴10−x−1=x+1,
解得：x=4,
∴10−x=6,
答：原计划中A级技工有4名，则B级技工有6名．
（2）设每名A级技工每天粉刷ym2的墙面，则每名B级技工每天粉刷y−10m2的墙面，则
3y+508=5y−10−4010,
整理得：−10y=−1220,
解得：y=122,
∴每个房间的面积为：5×112−4010=52,
答：每个房间的面积为：52m2.
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
【变式5.3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．
(1)求风华中学一共有多少个教室？
(2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分．且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天，求乙工程队共粉刷多少天？
(3)经学校研究，制定如下方案：
方案一：由甲工程队单独完成；
方案二：由乙工程队单独完成；
方案三：按（2）的方式完成；
请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案
【答案】(1)风华中学一共有120个教室．
(2)乙工程队共粉刷了34天．
(3)选择方案一费用最小，最省钱．

【分析】（1）设甲工程队单独完成需要x天，则乙工程队单独完成需要x−20天，由甲乙完成的工作量相等列方程，再解方程即可；
（2）设甲工程队工作y天后停工，则乙工程队的总工作时间为2y+16天，由甲乙的工作量之和为工作总量可得方程，再解方程即可；
（3）分别列式计算三种方案的总费用，再比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲工程队单独完成需要x天，则乙工程队单独完成需要x−20天，则
2x=3x−20，
解得：x=60，则2x=120，
答：风华中学一共有120个教室．
（2）设甲工程队工作y天后停工，则乙工程队的总工作时间为2y+16天，则
2y+32y+16=120，
解得：y=9，则2y+16=18+16=34，
答：乙工程队共粉刷了34天．
（3）方案一：由甲工程队单独完成费用为；1202×1600=96000（元），
方案二：由乙工程队单独完成费用为；1203×2600=104000（元），
方案三：按（2）的方式完成费用为；9×1600+34×2600=102800（元），
而96000＜102800＜104000，
所以选择方案一费用最小，最省钱．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．
【考点6】一元一次方程的应用——积分问题
【例6】某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．
（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？
【分析】（1）设胜一场积x分，则负一场积29−11x7分，依照A队的胜负场次及得分情况可列出一元一次方程，求解即可；
（2）设胜场数是a，负场数是（18﹣a），结合（1）中结论，根据胜场总积分能等于它的负场总积分，列一元一次方程求解即可；
（3）设胜场数是a，负场数是（18﹣a），列方程18﹣a＝2ka，解出a，根据数的整除特性及奇偶性可得答案．
【解析】（1）设胜一场积x分，则负一场积29−11x7分，
依题意得：14x+4×29−11x7=32
解得：x＝2
此时29−11x7=1
∴胜一场积2分，负一场积1分．
（2）答：能．理由如下：
设胜场数是a，负场数是（18﹣a），依题意得：
2a＝18﹣a
解得：a＝6
18﹣a＝18﹣6＝12
答：胜6场，负12场．
（3）设胜场数是a，负场数是（18﹣a），
依题意得：18﹣a＝2ka
解得：a=182k+1
显然，k是正整数，2k+1是奇数
符合题意的有：2k+1＝9，k＝4，a＝2；2k+1＝3，k＝1，a＝6．
答：胜2场时，负场总积分是它的胜场总积分的4倍；胜6场时，负场总积分是它的胜场总积分的1倍．
【变式6.1】（2022·广东·丰顺县东海中学七年级阶段练习）在一次有12个队参加的足球单循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在这次足球赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积18分，该队战平几场？
【答案】该队战平了3场．
【分析】设该队负了x场，则胜了x+2场，平局的场数为11−x−x+2场，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设该队负了x场，则胜了x+2场，平局的场数为11−x−x+2场．
根据题意，得3x+2+1×11−x−x+2=18.
解得x=3，
11−x−x+2=3
答：该队战平了3场．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程．
【变式6.2】（2022·江苏·七年级专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
总得分
甲
20
0
100
乙
19
1
94
丙
14
6
64

(1)参赛者小婷得76分，她答对了几道题？
(2)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)16道
(2)不可能，理由见解析

【分析】（1）由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，由此设设小婷答对x道题，根据题意列方程5x−(20−x)=76，解一元一次方程即可；
（2）设小明答对x道，则答错(20−x)道，根据题意列一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，设小婷答对x道题，
根据题意得方程：5x−(20−x)=76，
∴5x−20+x=76，
∴6x=96
解得x=16，
答：小婷答对了16道题；
（2）不可能．理由如下：
设小明答对x道，则答错(20−x)道，
根据题意得5x−(20−x)=80，
解得x=503，
∴答对题数不是整数，所以不可能．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式6.3】（2022·山东潍坊·七年级期末）某次篮球联赛积分榜
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
9
5
23
大地
14
7
7
21
渤海
14
7
7
21
未来
14

10

远大
14
0
14
14

在这次篮球联赛中，设某队胜的场数为x（场），积分为y（分）．
(1)写出y与x之间的关系式；
(2)在这次篮球联赛中，未来队的积分是多少分？
(3)某队的胜场积分能等于它的负场积分吗？
【答案】(1)y=x+14
(2)18分
(3)不能

【分析】（1）先求出胜一场和负一场所得分数，然后列关系式即可；
（2）求出未来队胜的场数，然后代入解析式求出积分即可；
（3）根据胜场积分等于负场积分列方程，解方程，即可得到答案．
（1）解：从积分榜远大队的得分可以看出负一场得1分，设胜一场得m分，由前进队得分知：10m+4=24，解得：m=2，即胜一场得2分，∴y=2x+14−x=x+14；
（2）由表格可知：未来队负10场，∴x=14−10=4，将x＝4代入y=x+14=4+14=18，∴在这次篮球联赛中未来队的积分为18分；
（3）由胜场积分为2x，负场积分为14−x可得：2x=14−x，解得：x=143，∵场数x是整数，∴x=143不合题意，∴某队的胜场积分不能等于它的负场积分．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，根据表格数据求出胜一场和负一场所得分数是解题的关键．
【考点7】一元一次方程的应用——数字问题
【例7】一个两位数，把它的个位数字与十位数字交换位置得到新两位数，原两位数的个位数字比原两位数的十位数字大2，且新两位数与原两位数的和为154，求原两位数是多少？
【分析】根据两位数的确定方法列出一元一次方程即可求得结果．
【解析】方法一：
设个位数字为x，则十位数字为x﹣2，两位数为10（x﹣2）+x．
根据题意，得
10x+（x﹣2）+10（x﹣2）+x＝154
解得x＝8，x﹣2＝6．
∴10（x﹣2）+x＝68．
∴原两位数是68．
方法二：
设个位数字为x，十位数字为y，两位数为10y+x．
根据题意，得
x−y=210x+y+10y+x=154
解得x=8y=6
∴10y+x＝68．
∴原两位数是68．
答：原两位数是68．
【变式7.1】（2022·重庆市秀山土家族苗族自治县育才中学七年级阶段练习）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4,y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”
(1)直接写出最小的“和平数”是__________，最大的“和平数”是_________；
(2)如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍．且百位上的数字与十位上的数字之和是13．请求出所有的这种“和平数”；
【答案】(1)1001，9999
(2)这个数是1762或3856

【分析】（1）根据定义即可得到结论；
（2）设这个“和平数”是abcd，得到d=2a,a+b=c+d,b+c=13，求出a+2c=13，由此得到a、d的值，再计算出c及b的值即可．
【详解】（1）解：最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设这个“和平数”是abcd，
则d=2a,a+b=c+d,b+c=13，
∴a+2c=13，
即当a=1,3,5,7,9，d=2,6,10（舍去），14（舍去），18（舍去），
①当a=1,d=2时，c=6，由a+b=c+d，得b=7，故这个数是1762；
②当a=3,d=6时，c=5，由a+b=c+d，得b=8，故这个数是3856；
综上，这个数是1762或3856．
【点睛】此题考查了新定义数字，正确理解新定义，掌握各个数位上数字之间的关系是解题的关键．
【变式7.2】（2022·宁夏·同心县第四中学七年级期中）下列数阵是由50个偶数排成的．

(1)图中框内的4个数的和与4有什么关系？
(2)在数阵中任意做一类似于（1）中的框，设第一个数为x，则第二个数为x+2，那么其他2个数为______ 、______．
(3)如果四个数的和是172，求出这4个数？
【答案】(1)框内的4个数的和是4的倍数
(2)x+12；x+14
(3)36，38，48，50

【分析】（1）可利用图例，看出框内四个数字之间的关系，上下相差10，左右相差2；
（2）利用此关系表示另两个数即可；
（3）利用和为172作为相等关系可求出四个数的具体值．
【详解】（1）解：∵16+14+26+28=84=4×21，
∴框内的4个数的和是4的倍数；
（2）解：∵设第一个数为x，则第二个数为x+2，
∴另外2个数为：x+12，x+14；
（3）解：当x+x+2+x+12+14+x=172，
解得：x=36，
∴x+2=36+2=38，
x+12=36+12=48，
x+14=36+14=50．
∴这四个数的具体值为：36，38，48，50．
【点睛】本题考查数字规律探究，列代数式，解一元一次方程，通过观察分析得出这4个数的规律是解题的关键．
【变式7.3】（2022·广东广州·七年级期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示数表：

(1)十字框中的五个数的和与中间数23有什么关系？
(2)设中间数为a，用式子表示十字框中五个数之和；
(3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？
(4)十字框中的五个数之和能等于2022吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数23的5倍；
(2)十字框中五个数之和为：5a；
(3)还存在这样的规律；
(4)不存在，理由见解析．

【分析】（1）将十字框中的五个数相加即可得出结论；
（2）结合（1）将23替换成a，则可得出结论；
（3）同理第（2）问的解题思路可求得该规律存在；
（4）设中间的数为x，其他4个数分别为x−16、x+16、x−2、x+2，令其相加等于2022，算出x的值，结合数阵数的特点即可得出结论；
【详解】（1）解：计算十字框中五个数的和，得7+21+23+25+39=115而115=23×5，
所以十字框中的五个数的和是中间数23的5倍；
（2）解：由（1）可知：若中间数为a，则其余四个数分别为：a−16、a+16、a−2、a+2，则十字框中五个数之和为a−16+a+16+a−2+a+2+a=5a；
（3）解：若将十字框中上下左右移动，同理第（2）问，仍然可设中间数为a，
则其余四个数分别为：a−16、a+16、a−2、a+2，
则十字框中五个数之和为a−16+a+16+a−2+a+2+a=5a；
∴5个数的和还有这种规律，5个数的和是中间数的5倍；
（4）解：设中间的数为x，其他4个数分别为x−16、x+16、x−2、x+2，
则5个数之和为x−16+x+16+x−2+x+2+x=5x，
令5x=2022，
解得x=404.4，不是整数，
故不存在这样的五个数，其和能等于2022．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键．
【考点8】一元一次方程的应用——年龄问题
【例8】甲、乙两年龄不等，已知当甲是乙现在的年龄时，乙6岁；当乙与甲现在的年龄相同时，甲21岁，今年甲的年龄有　　岁．
【分析】设甲现在的年龄是x岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙6岁．乙是甲现在的年龄时，甲21岁，可列方程求解．
【解析】设甲现在的年龄是x岁，则乙现在的年龄为（2x﹣21）岁，
根据题意得：x+6＝2（2x﹣21），
解得x＝16．
答：今年甲的年龄有16岁．
故答案为：16．
【变式8.1】（黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2021—2022学年七年级上学期10月数学（五四制）考试试卷）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，而9年前弟弟的年龄只有哥哥的年龄的15，哥哥现在年龄是多少？
【答案】哥哥现在年龄是24岁．
【分析】设哥哥现在年龄是x岁，则现在弟弟的年龄是x2岁，再根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设哥哥现在年龄是x岁，则现在弟弟的年龄是x2岁，根据题意，得
x2−9=15(x−9)，
解这个方程，得x=24．
答：哥哥现在年龄是24岁．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设定未知数后，由题目等量关系列出方程求解．
【变式8.2】（陕西省宝鸡市陇县2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的12还多1岁．
(1)求这三名同学的年龄的和；
(2)小红比小华大几岁？
【答案】(1)这三名同学的年龄的和为(4m−5)岁
(2)小红比小华大(m−3)岁

【分析】（1）根据题意分别列出小明、小红和小华的年龄，再相加，去括号，合并同类项，即可求出这三名同学的年龄的和；
（2）计算小红与小华的年龄差即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
小红的年龄为2m−4岁，小华的年龄为12(2m−4)+1=m−1岁，
∴这三名同学的年龄的和为m+(2m−4)+m−1
=m+2m−4+m−1
=4m−5；
∴这三名同学的年龄的和为(4m−5)岁；
（2）解：2m−4−12(2m−4)+1=m−3．
∴小红比小华大(m−3)岁．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，解决本题是要先去小括号，再去中括号．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
【变式8.3】（整式的加减单元大综合）游戏规则
组员把自己的年龄加上10，结果乘以10，再减去10，再减去自己的年龄，结果除以9，将自己计算的结果告诉组长，组长就知道你的实际年龄．
请你指出这个游戏背后的数学原理．
【答案】见解析
【分析】设自己的年龄为x，根据题意，列出代数式并进行化简，最后可得结果，再将结果与x比较即可说明．
【详解】解：设自己的年龄为x，根据题意可得：
10(x+10)−10−x9=x+10，
这说明结果总比自己的年龄大小10，
所以组长只需要将计算结果减去10，就等于组员的年龄，
【点睛】本题考查了列代数式及整式的加减，属于基础题，关键是根据题意列出等式．
【考点9】一元一次方程的应用——日历问题
【例9】
生活与数学
（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的　3　倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是　10　：
（2）小丽同学也在某月的日历上圈出如图所示“七”字形，发现这八个数的和是125，那么这八个数中最大数为　26　：
（3）在第（2）题中这八个数之和　不能　为101（填“能”或“不能”）．

【分析】（1）根据日历上的数据规律即可得出答案；
（2）先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，再用一元一次方程求解即可；
（3）根据（2）的规律解得即可．
【解析】（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的3倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是10；
故答案为：3；10

（2）设最小的数为x，则其余数分别为：x+6，x+7，x+8，x+14，x+21，x+22，x+23，根据题意得
x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝125，
解得x＝3，
∴这八个数中最大数为3+23＝26．
故答案为：26；

（3）x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝101，
解得x＝0，
但是日历上最小的数是1，所以在第（2）题中这八个数之和不能为101．
故答案为：不能
【变式9.1】（2022·广东·丰顺县三友中学七年级阶段练习）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的 7 个数（如阴影部分所示），如果设“H”型框中的正中间的数为 x，则：

(1)这 7 个数的和为 ；
(2)这 7 个数的和可能是 49 吗？说明理由．
【答案】(1)7x
(2)这7个数的和不可能是49，理由见解析

【分析】（1）设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x−8，x−6，x−1，x+1，x+6，x+8，表示出这7个数之和即可．
（2）由（1）知7个数之和为7x，令7x=49，解得， x=7再根据月历中6 的上面没有数，即7不能是“H”型框中的正中间的数，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵“H”型框中的正中间的数为x，
∴其他6个数分别为x−8，x−6，x−1，x+1，x+6，x+8，
这7个数之和为：x−8+x−6+x−1+x+1+x+x+6+x+8=7x．
（2）解：令7x=49，解得：x=7，
但6的上面没有数，即7不能是“H”型框中的正中间的数，
∴这7个数的和不可能为49．
【点睛】本题考查数字规律探究，列代数式，整式运算，总结归纳出“H”型框中的7个数的数字的排列规律是解决问题的关键．
【变式9.2】（2022·福建省厦门第六中学七年级期中）如图1是2022年7月的日历，图2是图1中用一个方框圈出的任意3×3个数，要求为框中圈出的数不能空白．
一
二
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31
图1
a
b
c
d
e
f
g
h
i
图2
(1)a可以用含e的代数式表示为____________；
(2)若a+e+i=42时，求出图2中c所表示的日期；
(3)在这个月的日历中，求证：e+f+ℎ+i的值能被4整除．
【答案】(1)e−8；
(2)2022年7月8日；
(3)证明见详解．

【分析】（1）根据日历表的数字特点，可知a=e−8得解；
（2）先用c分别表示a、e、i，然后根据a+e+i=42求得c即可；
（3）先用某一个字母（如e）分别表示e、f、ℎ、i，然后再证明e+f+ℎ+i能被4整除即可．
【详解】（1）解：如图2，根据日历表的特点，可知：a=e−8；
故答案为：e−8；
（2）解：∵a=c−2,e=c−1+7,i=c+7+7，
∴ a=c−2,  e=c+6,  i=c+14，
∵ a+e+i=42
∴c−2+c+6+c+14=42，
∴c=8；
故图2中c所表示的日期为2022年7月8日；
（3）解：∵f=e+1,  ℎ=e+7,  i=e+1+7，
∴ e+f+ℎ+i=e+e+1+e+7+e+1+7=4e+16=4(e+4)，
∵4(e+4)能被4整除，
∴ e+f+ℎ+i能被4整除．
【点睛】此题考查了代数式、一元一次方程的应用、整除的问题等知识，准确理解题意、正确列出相应的代数式是解答此题的关键．
【变式9.3】（2022·北京市广渠门中学七年级期中）如图1是2022年2月的日历表：

(1)在图1中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为_________；
(2)在图1中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为_________；
(3)在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为53，则这五个数字从小到大依次为_________；
(4)在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框住的5个数字之和能等于2023吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字；若不能，请说明理由．
【答案】(1)U形框中的五个数字之和为38；
(2)用代数式表示U形框框住的五个数字之和为5x+33；
(3)这五个数字从小到大依次为：4、6、11、13、19；
(4)U形框框住的5个数字之和不能等于2023，理由见解析

【分析】（1）将1、3、8、10、16五个数字相加即可；
（2）设最小的数字为x，则其余四个数为：x+2,x+7,x+9,x+15相加即可；
（3）计算5x+33=53即可；
（4）计算5x+33=2023，在判断x位于位于57行最后一个数字，可得答案．
【详解】（1）解：1+3+8+10+16=38，
∴U形框中的五个数字之和为38；
（2）解：x+x+2+x+7+x+9+x+15=5x+33，
∴用代数式表示U形框框住的五个数字之和为5x+33；
（3）5x+33=53
解得：x=4，
∴4+2=6,4+7=11,4+9=13,4+15=19，
∴这五个数字从小到大依次为：4、6、11、13、19；
（4）5x+33=2023
解得：x=398，
398−6÷7=56，56+1=57，
∴这五个数字最小的数位于57行最后一个数，
∴U形框框住的5个数字之和不能等于2023．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，注意题难度的层层递进．
【考点10】一元一次方程的应用——二元关联问题
【例10】列一元一次方程解应用题：某校为了开展“阳光体育运动，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
【分析】设购买篮球x个，购买足球（60﹣x）个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个购买这两类球的总金额为4600元，列出方程，求解即可．
【解析】设购买篮球x个，则购买足球（60﹣x）个，
依题意得：70x+80（60﹣x）＝4600，
解得：x＝20，
∴60﹣x＝40，
答：购买篮球20个，购买足球40个；
【变式10.1】（江苏省盐城市阜宁县2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？
【分析】（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程_____________
（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程_____________
请你从上述两种方法中任选一种继续解决问题．
【答案】13x−4=14x−1，3x+4=4x+1，绳长和井深分别为36尺，8尺
【分析】用代数式表示绳长或井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】解：（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程13x−4=14x−1；
（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程3x+4=4x+1．
由3x+4=4x+1解得x=8．
3x+4=36．
答：绳长和井深分别为36尺，8尺．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，不变的是井深（绳长），用代数式表示绳长（井深）是此题的关键．
【变式10.2】（河南省南阳市唐河县2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）为创设一个洁净、美丽的校园环境，培养学生的环保意识和爱护校园的主人翁意识，2021年11月29日，郑州某校组织开展了“弯弯腰捡垃圾，美丽校园我创造”的主题活动．在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个．问：有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
【答案】有9个学生，准备了23个垃圾袋
【分析】设有x个学生，根据题意“每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个”垃圾袋个数相等列一元一次方程，即可求解．
【详解】解：设有x个学生．由题意得：2x+5=3x−4，
解得：x=9，
垃圾袋有2×9+5=23（个）
答：有9个学生，准备了23个垃圾袋．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用题，根据题意列出二元一次方程组是解决本题的关键．
【变式10.3】（广西玉林市北流市、兴业县、陆川县、福绵区、容县2021-2022学年上学期七年级期末数学试题）七年级某班准备购买一些羽毛球和羽毛球拍，现从甲、乙两店了解到：同一款式的羽毛球和羽毛球拍价格相同，一套（一盒羽毛球和一副羽毛球拍）总价60元，一副羽毛球拍的单价是一盒羽毛球单价的4倍．甲店的优惠政策是：每买一副羽毛球拍赠送一盒羽毛球，每多买的一盒羽毛球按原价付款；乙店的优惠政策是：一盒羽毛球和一副羽毛球拍都按定价实行9折优惠．
(1)求一盒羽毛球和一副羽毛球拍的单价分别是多少？
(2)若购买5副羽毛球拍和m（m不少于5）盒羽毛球，当m为多少时，到甲、乙两店购买付款一样多？
【答案】(1)一盒羽毛球的单价是12元，一副羽毛球拍的单价是48元；
(2)当m为30时，到甲、乙两店购买付款一样多．

【分析】（1）设一盒羽毛球的单价是x元，则一副羽毛球拍的单价是4x元，再根据等量关系“一套总价60元”列出方程即可得解；
（2）由题意得12（m﹣5）+48×5＝0.9×12m+0.9×48×5即可解答．
【详解】（1）解：设一盒羽毛球的单价是x元，则一副羽毛球拍的单价是4x元，
依题意得x+4x＝60，
解得：x＝12，
所以4x＝48，
答：一盒羽毛球的单价是12元，一副羽毛球拍的单价是48元．
（2）（2）由题意得，
12（m﹣5）+48×5＝0.9×12m+0.9×48×5，
解得：m＝30，
答：当m为30时，到甲、乙两店购买付款一样多．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的应用，审清题意、明确等量关系是解答本题的关键．
【考点11】一元一次方程的应用——盈亏问题
【例11】（1）在番禺某中学举行的”弘扬祠堂文化，凝聚乡情”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
（2）一商店在某时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以求出两件衣服的进价，然后与售价比较大小即可解答本题．
【解析】（1）设八年级收到的征文有x篇，
（12x−2）+x＝118，
解得，x＝80，
∴12x−2＝38，
答：七年级收到的征文有38篇；
（2）设盈利那件衣服的进价为a元，亏损那件衣服的进价为b元，
a（1+20%）＝480，
解得，a＝400，
b（1﹣20%）＝480，
解得，b＝600，
∵400+600＞480×2，
∴卖这两件衣服亏损．
（2） 一商店在某时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
【变式11.1】（2022·河南·南阳市第四完全学校七年级阶段练习）陈光以120元的价格分别卖出两双鞋，一双盈利20%，一双亏损20%这两笔销售中，陈光盈利还是亏损多少钱？
【答案】亏10元
【分析】先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．
【详解】解：设在这次买卖中原价都是x，
则可列方程：（1+20%）x=120，
解得：x=100，
则第一件赚了20元，
第二件可列方程：（1−20%）x=120，
解得：x=150，
则第二件亏了30元，
两件相比则一共亏了10元．
答：陈光亏了10元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题要先算出两件衣服的原价，才能知道赔赚，不可凭想象答题．
【变式11.2】（2022·重庆市第七中学校七年级阶段练习）惠民超市“十一”大酬宾，对顾客实行优惠购物，规定如下：若顾客一次性购物不超过200元，则不予优惠；若顾客一次性购物超过200元，但不超过500元，则按标价给予九折优惠；若顾客一次性购物超过500元，其中500元按上述给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠.
(1)刘阿姨在该超市购买了一台标价750元的吸尘器，她应付多少元？
(2)何叔叔先后两次去该超市购物，分别付款189和554元，如果何叔叔一次性购买，只需要付款多少元？
【答案】(1)650元
(2)722元

【分析】（1）根据题意列出算式计算即可；
（2）先求出何叔叔优惠前要付的费用，再根据两次的费用之和，结合优惠方案计算即可．
（1）
解：由题意可得：
500×0.9+750-500×0.8=650元，
∴刘阿姨应付650元；
（2）
设第一次优惠前应付款x元，第二次优惠前应付款y元，
由题意可得：
0.9x=1890.9×500+y-500×0.8=554，
解得：x=210，y=630，
如果一次性购买应付款为：500×0.9+210+630-500×0.8=722元，
∴如果何叔叔一次性购买，只需要付款722元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题的关键是要分析透彻优惠方案和何叔叔所付的款数是按照哪种方案进行的，从而求得实际价值．
【变式11.3】（2020·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学七年级阶段练习）“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获得100元，如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获得1000元；如果进行精加工，每天加工0.5吨，每吨可获得5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售，为此研究了两种方案：
方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利 元
方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利 元
问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．
【答案】52500，78750，存在，销售后所获利润为102500元
【分析】由已知将毛竹全部粗加工后销售，即获利为：1000×52.5元；30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：0.5×30×5000+（52.5-0.5×30）×100元；由已知分析存在第三种方案，可设粗加工x天，则精加工（30-x）天，则得方程8x+0.5x30−x=52.5，解方程求出粗加工、精加工的天数，从而求出销售后所获利润．
【详解】解：由已知得：方案一，将毛竹全部粗加工后销售，则可获利为：1000×52.5 = 52500（元），
故答案为：52500；
方案二，30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：0.5×30×5000+(52.5−0.5×30)×100=78750（元），
故答案分为：78750；
由已知分析存在第三种方案，
设粗加工x天，则精加工30−x天，由题意得：
8x+0.5×30−x=52.5，
解得：x=5，
∴30−x=25天，
∴销售后所获利润为：1000×5×8+5000×25×0.5=102500（元）
故存在第三方案，所获利润102500元．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是依题意求方案一、方案二的利润，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成可设粗加工x天，则精加工（30-x）天列方程求解．
【考点12】一元一次方程的应用——销售问题
【例12】（2020春•市中区校级月考）肖坝社区惠民水果店第一次用615元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：

甲
乙
进价（元/千克）
5
8
售价（元/千克）
10
15
（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？
【分析】（1）设惠民水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，根据总利润＝每千克的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设惠民水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，
依题意，得：5（2x+15）+8x＝615，
解得：x＝30，
∴2x+15＝75．
答：惠民水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，
依题意，得：（10﹣5）×75+（15×y10−8）×30×3＝735，
解得：y＝8．
答：第二次乙种苹果按原价打8折销售．
【变式12.1】（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）小王看到两个超市的促销信息如图所示．

(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？
(2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？
(3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？
【答案】(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲超市付款264元，乙超市付款270元
(2)当标价总额是625时，甲、乙超市实付款一样
(3)可以节省36.2元

【分析】（1 ）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额；
（2 ）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3 ）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可．
（1）
由题意可得，
当一次性购物标价总额是300元时，
在甲超市需付款：300×0.88＝264（元），
在乙超市需付款：300×0.9＝270（元），
答：当一次性购物标价总额是300元时，甲超市付款264元，乙超市付款270元；
（2）
由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过500元时，两家超市才可能付款总金额相等，
设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样，
由题意可得：0.88x＝500×（1﹣10%）+（x﹣500）×0.8，
解得x＝625，
答：当标价总额是625时，甲、乙超市实付款一样；
（3）
由题意可得，
小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元时，需要付款：198+466×（1﹣10%）＝617.4（元），
小王一次性到乙超市购物标价198+466＝664元的商品，需要付款：500×（1﹣10%）+（664﹣500）×0.8＝581.2（元），
617.4﹣581.2＝36.2（元），
答：可以节省36.2元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【变式12.2】（2022·湖南·七年级单元测试）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
售价打九折
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠

(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？
【答案】(1)60， 30， 60；
(2)购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件；
(3)此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件

【分析】（1） 根据甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价，所以售价=进价×（1+50%）乙种商品每件的利润为售价-进价，求出售价和利润率；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； .
（3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可．
（1）
由题意得，甲种商品每件售价为：
40×（1 + 50%） = 60（元），
乙种商品每件的利润为80 - 50 = 30（元），
乙种商品的利润率为3050×100% = 60%，
故答案为： 60， 30， 60．
（2）
设购进甲种商品x件，则购进甲种商品（50-x）件，根据题意，得40x+ 50（50- x） = 2100，解得x=40，
乙种商品件数为50- x= 50- 40= 10（件）
答：购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件．
（3）
设小梅购买乙种商品a件，则共需（80a）元，
①当80a≤450时，不符合题意，舍去；
②当450 < 80a≤600时，0.9×80a= 504
解得：a= 7，经检验，符合题意；
③当80a > 600时，
600×0.82+0.3（80a-600）=504，
解得： a=8，经检验，符合题意；
∵8> 7，
∴此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
【变式12.3】（2022·重庆巴蜀中学七年级阶段练习）绿叶水果店第一次用795元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：

甲
乙
进价（元/千克）
5
8
售价（元/千克）
10
15

(1)绿叶水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
(2)绿叶水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为595元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？
【答案】(1)绿叶水果店第一次购进甲种苹果95千克，乙种苹果40千克
(2)第二次乙种苹果按原价打6折销售

【分析】（1）设水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果(2x+15)千克，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，根据总利润=每千克的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设绿叶水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果(2x+15)千克，
依题意，得：5(2x+15)+8x=795，
解得：x=40，
∴2x+15=95（千克）．
答：绿叶水果店第一次购进甲种苹果95千克，乙种苹果40千克；
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，
依题意，得：(10−5)×95+(15×y10−8)×40×3=595，
解得：y=6．
答：第二次乙种苹果按原价打6折销售．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【考点13】一元一次方程的应用——分段计费问题
【例13】（2019春•宜宾期中）某市电力公司对全市用户采用分段计费的方式计算电费，收费标准如下表所示：
月用电量
不超过180度的部分
超过180度但不超过280度的部分
超过280度的部分
收费标准
0.5元/度
0.6元/度
0.9元/度
若某用户7月份的电费是139.2元，则该用户7月份用电为多少度？
【分析】先判断出是否超过120度，然后列方程计算即可．
【解析】因为180×0.5＝90，（280﹣180）×0.6＝60，90+60＝150，而150＞139.2，
所以7月份用电是“超过180度但不超过280度”．
故设7月份用电x度，
由题意，得180×0.5+（x﹣180）×0.6＝139.2
解得x＝262
答：该用户7月份用电为262度．
【变式13.1】（2022·广东·石门中学七年级阶段练习）为增强居民节约用水意识，某市在2020年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如表：
每月用水量x立方米
水费单价（元/立方米）
x≤22
a
超出22立方米的部分
a+1.1

某户居民六月份用水18立方米时，收缴水费43.2元．
(1)求a的值．
(2)若该户居民七月份所缴水费为80.8元，求该户居民七月份的用水量．（用方程求解）．
【答案】(1)2.4
(2)30立方米

【分析】（1）根据x≤22时的水费标准，列出方程，即可求解；
（2）根据题意可得x>22，再根据超出22立方米的部分水费单价为a+1.1元/立方米，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：18a=43.2，
解得：a=2.4．
答：a的值为2.4；
（2）解：设该户居民四月份的用水量为x立方米．
∵22×2.4=52.8，52.822．
根据题意得：22×2.4+x−22×2.4+1.1=80.8，
解得：x=30．
答：该户居民七月份的用水量为30立方米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式13.2】（2022·福建漳州·七年级期中）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）：
阶梯
用电量
(单位：度)
电费价格
(单位：元/度)
一档
不超过220度的电量
    0.50
二档
220至420度之间的电量
    0.55
三档
超过420度的电量
    0.80

(1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应交多少电费？
(2)如果某户居民某月用电a度(220≤a