初中数学3.1.1 一元一次方程巩固练习

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2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.4一元一次方程及解法十大核心考点精讲精练
【目标导航】

【知识梳理】
1. 一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，方程两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．
2. 一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
3.等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
4.解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；
(2) 去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
(3) 移项：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边；
(4) 合并同类项：把含有未知数的项系数进行运算，把已知项进行运运算；
(5) 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的有关定义
【例1】（2019秋•浠水县校级期末模拟）若（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1994的值．
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
【解析】∵（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣4≠0且2|m|﹣7＝1，
解得：m＝﹣4，
∴原式＝16+8+1994＝2018．
【变式1.1】（2022秋•东西湖区期中）下列方程是一元一次方程的是（　　）
A．x+1x=2 B．x+2y＝8 C．3+5＝8 D．2x﹣1＝3x+5
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【解答】解：A．该方程不是整式方程，故本选项不合题意；
B．该方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
C．该方程不含未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
D、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1.2】（2022秋•建湖县期中）方程：①2x+y＝0； ②22x−2=2；③5+2x＝4；④x＝3，其中一元一次方程的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【解答】解：①有两个未知数，因而不是一元一次方程；
②不是整式方程，故不是一元一次方程；
③是一元一次方程；
④是一元一次方程．
故选：B．
【变式1.3】（2022春•黔江区校级期中）若关于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．0或2
【分析】根据一元一次方程定义可得：|k﹣1|＝1且k≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|k﹣1|＝1且k≠0，
解得k＝2．
故选：A．
【考点2】一元一次方程的解
【例2】（2019秋•曲阳县期末）一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x＝2；第2个方程是x2+x3=5，解为x＝6；第3个方程是x3+x4=7，解为x＝12；…根据规律第10个方程是　x10+x11=21　，解为　x＝110　．
【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为xn+x(n+1)=2n+1，解为n（n+1）．然后将10代入即可得到答案．
【解析】第1个方程是x+x2=3，解为x＝2×1＝2；
第2个方程是x2+x3=5，解为x＝2×3＝6；
第3个方程是x3+x4=7，解为x＝3×4＝12；
…
可以发现，第n个方程为xn+x(n+1)=2n+1
解为n（n+1）．
∴第10个方程是 x10+x11=21，
解为：x＝10×11＝110．
故答案为：x10+x11=21；x＝110．
【变式2.1】（2022秋•天山区校级期中）已知x＝2是方程3x﹣5＝m的解，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
【分析】把x＝2代入方程3x﹣5＝m可得到关于m的方程，解方程可求得m的值．
【解答】解：∵x＝2是方程3x﹣5＝m的解，
∴把x＝2代入方程可得6﹣5＝m，
解得m＝1，
故选：D．
【变式2.2】（2022秋•渝北区校级期中）若关于x的方程5x﹣3＝kx+4有整数解，那么满足条件的所有整数k的和为（　　）
A．20 B．6 C．4 D．2
【分析】先求得x的值，再根据题意得出整数k的值．
【解答】解：由5x﹣3＝kx+4，得（5﹣k）x＝7，
解得x=75−k，
∵关于x的方程5x﹣3＝kx+4有整数解，
∴5﹣k＝﹣7或﹣1或1或7，
∴k＝12或6或4或﹣2，
12+6+4+（﹣2）＝20．
故选：A．
【变式2.3】（2022秋•高邮市期中）若关于x的一元一次方程12022x+3=2x+b的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2(y+1)+b的解为（　　）
A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
【分析】根据已知条件得出方程y+1＝3，求出方程的解即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝﹣3，
解得：y＝﹣4，
故选：D．
【考点3】等式的性质
【例3】（2020春•射洪市期末）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据第一个天平可得2●＝▲+■，根据第二个天平可得●+▲＝■，可得出答案．
【解析】根据图示可得：
2●＝▲+■①，
●+▲＝■②，
由①②可得●＝2▲，■＝3▲，
则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．
故选：A．
【变式3.1】（2022秋•洪山区期中）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（　　）
A．若﹣m＝﹣n，则m＝n B．若b＝c，则 ba=ca
C．若ab＝ac，则b＝c D．若|x|m＝|x|n，则m＝n
【分析】根据等式的性质分别判断各个选项即可．
【解答】解：A．由﹣m＝﹣n，得m＝n，原变形正确，故此选项符合题意；
B．由b＝c，得ba=ca，必须规定a≠0，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．由ab＝ac，得b＝c，必须规定a≠0，原变形错误，故此选项不符合题意；
D．由|x|m＝|x|n，得m＝n，必须规定|x|≠0，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【变式3.2】（2022秋•安徽期中）下列等式变形错误的是（　　）
A．若x＝y，则x﹣5＝y﹣5 B．若﹣3x＝﹣3y，则x＝y
C．若xa=ya，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y
【分析】根据等式的性质对各选项进行分析即可．
【解答】解：A、若x＝y，则x﹣5＝y﹣5，符合等式的性质1，故不符合题意；
B、若﹣3x＝﹣3y，则x＝y，符合等式的性质2，故不符合题意；
C、若xa=ya，则x＝y，符合等式的性质2，故不符合题意；
D、当m＝0时，等式变形不成立，故符合题意．
故选：D．
【变式3.3】（2022秋•丹江口市期中）已知m＝n，则下列变形中正确的个数为（　　）
①m+2＝n+2；②am＝an；③mn=1；④ma2+1=na2+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等式的性质对各小题进行解答即可．
【解答】解：①∵m＝n，
∴m+2＝n+2，故本小题符合题意；
②∵m＝n，
∴am＝an，故本小题符合题意；
③当n＝0时，mm无意义，故本小题不符合题意；
④∵m＝n，a2+1＞0，
∴ma2+1=na2+1，故本小题符合题意．
故选：C．
【考点4】一元一次方程的解法——移项
【例4】（2019秋•嘉祥县期末）2x﹣1与﹣x+2互为相反数，那么x的值是　﹣1　．
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】根据题意得：2x﹣1﹣x+2＝0，
移项合并得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1
【变式4.1】解下列方程：
（1）2x﹣3＝x+1；
（2）4−35m＝7；
（3）2x﹣19＝7x+6；
（4）x﹣2=13x+43．
【分析】（1）首先移项，然后合并同类项即可求出结果；
（2）首先移项、合并同类项，最后化系数为1即可求出方程的解；
（3）首先移项、合并同类项，最后化系数为1即可求出方程的解；
（4）首先移项、合并同类项，最后化系数为1即可求出方程的解．
【解答】解：（1）2x﹣3＝x+1；
解：移项，得2x﹣x＝1+3．
合并同类项，得x＝4；
（2）4−35m＝7；
解：移项，得−35m＝7﹣4．
合并同类项，得−35m＝3．
方程两边同除以−35，得m＝﹣5；
（3）2x﹣19＝7x+6；
解：移项，得2x﹣7x＝19+6．
合并同类项，得﹣5x＝25．
方程两边同除以﹣5，得x＝﹣5；
（4）x﹣2=13x+43．
解：移项，得x−13x＝2+43．
合并同类项，得23x=103．
方程两边同除以23，得x＝5．
【变式4.2】（2020秋•兰州期末）关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可；
（2）把m的值代入两个方程的解计算即可．
【解答】解：（1）由x﹣2m＝﹣3x+4得：x=12m+1，
依题意有：12m+1+2﹣m＝0，
解得：m＝6；

（2）由m＝6，
解得方程x﹣2m＝﹣3x+4的解为x=12×6+1＝3+1＝4，
解得方程2﹣m＝x的解为x＝2﹣6＝﹣4．
【变式4.3】（2020秋•南充期末）已知m＝2x+1，n＝8﹣x．
（1）若m＝n，求x的值．
（2）若m＝﹣n，求x的值．
（3）直接写出x为何值时，m＝|n|？
【分析】（1）若m＝n，则2x+1＝8﹣x，据此求出x的值是多少即可．
（2）若m＝﹣n，则2x+1＝﹣（8﹣x），据此求出x的值是多少．
（3）根据（1）、（2）求出的x的值，直接写出x为何值时，m＝|n|即可．
【解答】解：（1）若m＝n，
则2x+1＝8﹣x，
移项，可得：2x+x＝8﹣1，
合并同类项，可得：3x＝7，
系数化为1，可得：x=73．

（2）若m＝﹣n，
则2x+1＝﹣（8﹣x），
去括号，可得：2x+1＝﹣8+x，
移项，可得：2x﹣x＝﹣8﹣1，
合并同类项，可得：x＝﹣9．

（3）∵x=73时，m＝n，x＝﹣9时，m＝﹣n（此时m＜0，不符合题意，舍弃），
∴x=73时，m＝|n|．
【考点5】一元一次方程的解法——去括号
【例5】解方程：
（1）（3x﹣1）﹣3（2x﹣5）﹣（x+3）+9＝0；
（2）x+[2−12（x﹣4）]＝2x+3；
（3）2x−12[x−12（x﹣1）]=23（x﹣1）；
（4）3（x﹣1）−13（x﹣1）＝2（x﹣1）−12（x+1）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（3）去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（4）去分母，移项，合并同类项，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解析】（1）（3x﹣1）﹣3（2x﹣5）﹣（x+3）+9＝0，
去括号得：3x﹣1﹣6x+15﹣x﹣3+9＝0，
移项得：3x﹣6x﹣x＝1﹣15+3﹣9，
合并同类项得：﹣4x＝﹣20，
系数化为1得：x＝5．
（2）x+[2−12（x﹣4）]＝2x+3，
去括号得：x+2−12x+2＝2x+3，
移项得：x−12x−2x＝3﹣2﹣2，
合并同类项得：−32x＝﹣1，
系数化为1得：x=23．
（3）2x−12[x−12（x﹣1）]=23（x﹣1），
去括号得：2x−12x+14x−14=23x−23，
去分母得：24x﹣6x+3x﹣3＝8x﹣8，
移项得：24x﹣6x+3x﹣8x＝﹣8+3，
合并同类项得：13x＝﹣5，
系数化为1得：x=−513．
（4）3（x﹣1）−13（x﹣1）＝2（x﹣1）−12（x+1），
去分母得：18（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝12（x﹣1）﹣3（x+1），
移项得：4（x﹣1）＝﹣3（x+1），
去括号得：4x﹣4＝﹣3x﹣3，
合并同类项得：4x+3x＝﹣3+4，
系数化为1得：x=17．
【变式5.1】（2021秋•大石桥市期中）解方程：
（1）2x+3＝11﹣6x；
（2）16（3x﹣6）=25x﹣3．
【分析】（1）方程移项，合并同类项，系数化1即可；
（2）方程化简后，再移项，合并同类项，系数化1即可．
【解答】解：（1）2x+3＝11﹣6x，
移项，得2x+6x＝11﹣3，
合并同类项，得8x＝8，
系数化1，得x＝1；
（2）16（3x﹣6）=25x﹣3，
去括号，得12x−1=25x−3，
移项，得12x−25x=1−3，
合并同类项，得110x=−2，
系数化1，得x＝﹣20．
【变式5.2】（2020秋•丹徒区月考）设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：abcd=ad﹣bc，那么当35−x27=7时，x的值是多少？
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：21﹣2（5﹣x）＝7，
去括号得：21﹣10+2x＝7，
移项合并得：2x＝﹣4，
解得：x＝﹣2．
【变式5.3】（2018秋•芜湖期末）当m为何值时，关于x的方程5m+12x=12+x的解比关于x的方程x（m+1）＝m（1+x）的解大2．
【分析】先求出两个方程的解（含m的代数式），然后根据题意列出关于m的一元一次方程即可解答．
【解答】解：5m+12x=12+x，
移项合并同类项得：11x=12−5m，
系数化为1得：x=122−5m11，
x（m+1）＝m（1+x），
整理得：x（m+1）＝m+mx，
移项得：x（m+1）﹣mx＝m，
合并同类项得：x＝m，
根据题意得122−5m11−m＝2，
解得：m=−4332．
即当m=−4332时关于x的方程5m+12x=12+x的解比关于x的方程x（m+1）＝m（1+x）的解大2．
【考点6】一元一次方程的解法——去分母
【例6】老师在黑板上出了一道解方程的题：2x−13=1−x−24，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），①
8x﹣4＝1﹣3x﹣6，②
8x+3x＝1﹣6+4，③
11x＝﹣1，④
x=−111．⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了．请你指出他错在第　①　步（填编号），然后再细心地解下面的方程，相信你一定能做对．
（1）5（x+8）＝6（2x﹣7）+5
（2）3a−14−1=5a−76
【分析】根据小明的第一步去分母时，没有分母的项1漏乘12了；得出这是一个带分母的方程，所以要先去分母，方程两边要同乘以分母的最小公倍数6，变形可得3（x+1）﹣2（2﹣3x）＝6，然后去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程即可．
（1）去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程即可．
（2）去分母，去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程即可．
【解析】他错在第①步．
（1）5（x+8）＝6（2x﹣7）+5，
去括号得：5x+40＝12x﹣42+5，
移项得：5x﹣12x＝﹣42+5﹣40，
合并同类项得：﹣7x＝﹣77，
把x的系数化为1得：x＝11；
（2）3a−14−1=5a−76，
去分母得：3（3a﹣1）﹣12＝2（5a﹣7），
去括号得：9a﹣3﹣12＝10a﹣14，
移项得：9a﹣10a＝﹣14+3+12，
合并同类项得：﹣a＝1，
把a的系数化为1得：a＝﹣1．
故答案为：①．
【变式6.1】（2021秋•高青县期末）解方程：
（1）2（x﹣3）＝﹣3（x﹣1）+2．
（2）1−x3=3−x+24．
【分析】（1）（2）根据解一元一次方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：（1）去括号，得2x﹣6＝﹣3x+3+2，
移项，得2x+3x＝3+2+6，
合并同类项，得5x＝11，
系数化为1，得x=115；
（2）去分母，得4（1﹣x）＝3×12﹣3（x+2），
去括号，得4﹣4x＝36﹣3x﹣6，
移项，得﹣4x+3x＝36﹣6﹣4，
合并同类项，得﹣x＝26，
系数化为1，得x＝﹣26．
【变式6.2】（2020秋•姜堰区期末）在解关于x的方程2x−13=2x+m6−1时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“﹣1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=−32．
（1）求m的值；
（2）写出正确的求解过程．
【分析】（1）将错就错，把x的值代入小明去分母出错的方程求出m的值即可；
（2）把m的值代入方程计算即可求出解．
【解答】解：（1）根据小明去分母得：4x﹣2＝2x+m﹣1，
把x=−32代入方程得：﹣6﹣2＝﹣3+m﹣1，
解得：m＝﹣4；
（2）把m＝﹣4代入得：2x−13=2x−46−1，
去分母得：4x﹣2＝2x﹣4﹣6，
移项得：4x﹣2x＝﹣4﹣6+2，
合并得：2x＝﹣8，
解得：x＝﹣4．
【变式6.3】（2022秋•香坊区校级期中）解方程：
（1）2x+1＝5x﹣7；
（2）(1127x+221)×3=(2x3−157)×13；
（3）x+13=1−x−12；
（4）x−12+3x=−2x−13．
【分析】（1）先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项，合并同类项即可；
（3）、（4）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即．
【解答】解：（1）移项得，2x﹣5x＝﹣7﹣1，
合并同类项得，﹣3x＝﹣8，
x的系数化为1得，x=83；
（2）去括号得，119x+27=2x9−57，
移项得，119x−29x=−57−27，
合并同类项得，x＝﹣1；
（3）去分母得，2（x+1）＝6﹣3（x﹣1），
去括号得，2x+2＝6﹣3x+3，
移项得，2x+3x＝6+3﹣2，
合并同类项得，5x＝7，
系数化为1得，x=75；
（4）去分母得，3（x﹣1）+18x＝﹣2（2x﹣1），
去括号得，3x﹣3+18x＝﹣4x+2，
移项得，3x+18x+4x＝2+3，
合并同类项得，25x＝5，
系数化为1得，x=15．
【考点7】含小数的一元一次方程
【例7】解方程：
（1）0.1−2x0.3=1+x0.15；
（2）x+80.2−x−30.5=1.2−x+165；
（3）0.3x−0.50.3+1.5=0.5+0.4x0.6；
（4）3+0.2x0.2−0.2+0.03x0.01=0.75．
【分析】（1）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
（3）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
（4）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解析】（1）0.1−2x0.3=1+x0.15，
整理得：1−20x3=1+100x15，
去分母得：5（1﹣20x）＝15+100x，
去括号得：5﹣100x＝15+100x，
移项得：﹣100x﹣100x＝15﹣5，
合并同类项得：﹣200x＝10，
系数化为1得：x=−120．

（2）x+80.2−x−30.5=1.2−x+165，
整理得：10x+802−10x−305=65−x+165，
去分母得：5（10x+80）﹣2（10x﹣30）＝12﹣2（x+16），
去括号得：50x+400﹣20x+60＝12﹣2x﹣32，
移项得：50x﹣20x+2x＝12﹣32﹣400﹣60，
合并同类项得：32x＝﹣480，
系数化为1得：x＝﹣15．

（3）0.3x−0.50.3+1.5=0.5+0.4x0.6，
整理得：3x−53+32=5+4x6，
去分母得：2（3x﹣5）+9＝（5+4x），
去括号得：6x﹣10+9＝5+4x，
移项得：6x﹣4x＝5+10﹣9，
合并同类项得：x＝3；

（4）3+0.2x0.2−0.2+0.03x0.01=0.75．
整理得：30+2x2−（20+3x）=34
去分母得：2（30+2x）﹣4（20+3x）＝3，
去括号得：60+4x﹣80﹣12x＝3，
移项得：4x﹣12x＝3﹣60+80，
合并同类项得：﹣8x＝23，
系数化为1得：x=−238．
【变式7.1】（2022•南京模拟）解方程：
（1）1﹣3（x﹣2）＝4；
（2）2x+13−5x−16=1；
（3）x−10.3−x+20.5=1.2；
（4）3|x﹣1|﹣7＝2．
【分析】（1）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（3）将方程变形后，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（4）将方程去掉绝对值后，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：（1）1﹣3（x﹣2）＝4，
去括号，得1﹣3x+6＝4，
移项，得﹣3x＝4﹣6﹣1，
合并同类项，得﹣3x＝﹣3，
系数化为1，得x＝1；
（2）2x+13−5x−16=1，
去分母，得2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，
去括号，得4x+2﹣5x+1＝6，
移项，得4x﹣5x＝6﹣1﹣2，
合并同类项，得﹣x＝3，
系数化为1，得x＝﹣3；
（3）x−10.3−x+20.5=1.2，
原方程可变形为10x−103−10x+205=1.2，
去分母，得5（10x﹣10）﹣3（10x+20）＝18，
去括号，得50x﹣50﹣30x﹣60＝18，
移项，得50x﹣30x＝18+50+60，
合并同类项，得20x＝128，
系数化为1，得x＝6.4；
（4）3|x﹣1|﹣7＝2，
去绝对值，得3（x﹣1）﹣7＝2或3（1﹣x）﹣7＝2，
去括号，得3x﹣3﹣7＝2或3﹣3x﹣7＝2，
移项，得3x＝2+3+7或﹣3x＝2﹣3+7，
合并同类项，得3x＝12或﹣3x＝6，
系数化为1，得x＝4或x＝﹣2．
【变式7.2】（2020秋•奉化区校级期末）解方程：
（1）x﹣3=−12x﹣4；
（2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2）；
（3）0.2x−0.10.3−0.3x+0.10.6=1；
（4）|x﹣2|＝5．
【分析】（1）移项、合并同类项，系数化为1即可求得；
（2）去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可求得；
（3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可求得；
（4）根据绝对值的意义去掉绝对值，得到x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，解得即可．
【解答】解：（1）x﹣3=−12x﹣4，
x+12x=−4+3，
32x＝﹣1，
x=−23；
（2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2），
6x﹣2+2x＝7x﹣3x﹣6，
6x+2x﹣7x+3x＝﹣6+2，
4x＝﹣4，
x＝﹣1；
（3）0.2x−0.10.3−0.3x+0.10.6=1，
2x−13−3x+16=1，
2（2x﹣1）﹣（3x+1）＝6，
4x﹣2﹣3x﹣1＝6，
4x﹣3x＝6+2+1，
x＝9；
（4）|x﹣2|＝5，
x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，
x＝7或x＝﹣3．
【变式7.3】（2021春•绿园区期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．
解方程：|x﹣5|＝2．
解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；
当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．
所以原方程的解是x＝7或x＝3．
（1）解方程：|2x+1|＝7．
（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．
①若方程无解，则m的取值范围是 　m＜1　；
②若方程只有一个解，则m的值为 　1　；
③若方程有两个解，则m的取值范围是 　m＞1　．
【分析】（1）类比题干的解题过程，根据绝对值的定义，解决问题（1）．
（2）根据绝对值的非负性，任意a，|a|≥0．进而解决问题（2）．
【解答】解：（1）当2x+1≥0时，原方程可化为2x+1＝7，解得x＝3；
当2x+1＜0时，原方程可化为2x+1＝﹣7，解得x＝﹣4．
∴原方程的解是x＝3或x＝﹣4．
（2）①∵任意a，|a|≥0，
∴若关于x的方程|x+3|＝m﹣1无解，则m﹣1＜0．
∴m＜1．
②若关于x的方程|x+3|＝m﹣1只有一个解，则m﹣1＝0．
∴m＝1．
③若关于x的方程|x+3|＝m﹣1有两个解，则m﹣1＞0．
∴m＞1．
故答案为：①m＜1；②1；③m＞1．
【考点8】同解方程问题
【例8】（2019秋•东湖区期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x−a3）]＝4x和3x+a4−1−5x8=1有相同的解，求这个解．
【分析】根据题意分别用含a的式子表示出两个方程的解，再求出a的值，进而可得结果．
【解析】因为关于x的方程3[x﹣2（x−a3）]＝4x和3x+a4−1−5x8=1有相同的解，
所以3[x﹣2（x−a3）]＝4x的解为：
x=2a7，
3x+a4−1−5x8=1的解为：
x=9−2a11，
所以2a7=9−2a11，
解得a=74，
将a=74代入第二个方程，
2（3x+a）﹣（1﹣5x）＝8，
11x＝9﹣2a，
11x＝9﹣2×74，
解得x=12．
【变式8.1】（2022秋•香坊区校级月考）若关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解相同，求a2+2a+1的值．
【分析】将方程4x+3＝7的解代入方程3x﹣7＝2x+a可得出a的值，代入所求式可得答案．
【解答】解：∵4x+3＝7，
解得x＝1，
将x＝1代入3x﹣7＝2x+a，
得：3﹣7＝2+a，
解得a＝﹣6，
∴a2+2a+1＝（﹣6）2+2×（﹣6）+1＝25．
【变式8.2】（2022秋•南岗区校级月考）若方程2x﹣5＝x﹣2与3a−x−a2=a−a−2x5的解相同，求a的值．（解方程要有详细步骤）．
【分析】先解方程2x﹣5＝x﹣2，可得x＝3，然后再把x＝3代入3a−x−a2=a−a−2x5中，进行计算即可解答．
【解答】解：2x﹣5＝x﹣2，
2x﹣x＝﹣2+5，
x＝3，
由题意得：
把x＝3代入3a−x−a2=a−a−2x5中可得：
3a−3−a2=a−a−65，
30a﹣5（3﹣a）＝10a﹣2（a﹣6），
30a﹣15+5a＝10a﹣2a+12，
30a+5a﹣10a+2a＝12+15，
27a＝27，
a＝1，
∴a的值为1．
【变式8.3】（2022春•朝阳区期中）若关于x的方程2x+5＝a的解和关于x的方程与x−43−2=a−12的解相同，求字母a的值，并写出方程的解．
【分析】先分别解两个方程，再根据同解方程的意义可得a−52=3a+172，从而求出a的值，再把a的值代入x=a−52或x=3a+172，进行计算即可解答．
【解答】解：2x+5＝a，
2x＝a﹣5，
x=a−52，
x−43−2=a−12，
2（x﹣4）﹣12＝3（a﹣1），
2x＝3a+17，
x=3a+172，
由题意得：
a−52=3a+172，
解得：a＝﹣11，
∴x=−11−52=−8，
∴字母a的值为﹣11，方程的解为x＝﹣8．
【考点9】由实问题抽象出一元一次方程
【例9】（2018秋•东城区期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”
译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？
设有x人，可列方程为　8x﹣3＝7x+4　．
【分析】根据译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？可知若设有x人，可列出相应的方程，从而本题得以解决．
【解析】由题意可得，
设有x人，可列方程为：8x﹣3＝7x+4．
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
【变式9.1】（2021秋•龙泉驿区校级期末）甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？
A：设：　设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时　
B：（画出线段图）
C：列方程 　7x+3x＝25×2　
【分析】设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，根据路程＝速度×时间可求甲遇见乙时，乙走的路程和甲走的路程；根据关于路程的等量关系：甲、乙两人行驶的路程和是两个25千米，列出方程求解即可．
【解答】解：A：设：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时，甲遇见乙时，乙走的路程可以表示为 3xkm，甲走的路程可以表示为（3−4060）×3x＝7xkm．
B：（画出线段图）如下：

C：列方程7x+3x＝25×2，
10x＝50，
x＝5，
3x＝15．
答：甲的速度是15千米/小时，乙的速度是5千米/小时．
故答案为：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时；7x+3x＝25×2．
【变式9.2】（2021秋•东城区期末）在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．
中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：
第一步，设共有x辆车；
第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为 　3（x﹣2）　（用含x的式子表示）；
第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为 　2x+9　（用含x的式子表示）；
第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为 　3（x﹣2）＝2x+9　．
【分析】直接利用总人数不变得出方程进而得出答案．
【解答】解：某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：
第一步，设共有x辆车；
第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2 辆空车”，可得人数为3（x﹣2）（用含x的式子表示）；
第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为2x+9（用含x的式子表示）；
第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为：3（x﹣2）＝2x+9．
故答案为：3（x﹣2），2x+9，3（x﹣2）＝2x+9．
【变式9.3】（2021秋•沈北新区期末）“五一”期间，某电器城按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）
【分析】设该电器的成本价为x元，根据成本价×（1+30%）×80%＝售价为2080元可列出方程．
【解答】解：设该电器的成本价为x元，依题意有
x（1+30%）×80%＝2080．
【考点10】有关方程的新定义问题
【例10】（2019秋•邗江区校级期末）用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a．
如1⊗3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）求2⊗（﹣1）的值；
（2）若（a﹣1）⊗3＝32，求a的值；
（3）若m＝2⊗x，n＝（14x）⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
【分析】（1）根据“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a即可求解；
（2）根据“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a列出方程即可求解；
（3）根据“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a分别表示m和n，进行比较即可．
【解析】（1）2⊗（﹣1）
＝2×（﹣1）2+2×2×（﹣1）+2
＝2﹣4+2
＝0；
答：2⊗（﹣1）的值为0；
（2）（a﹣1）⊗3＝32
（a﹣1）×32+2（a﹣1）×3+（a﹣1）＝32
9a﹣9+6a﹣6+a﹣1＝32
16a＝48
解得a＝3
答：a的值为3；
（3）∵m＝2⊗x，n＝（14x）⊗3
∴m﹣n＝（2x2+4x+2）﹣（94x+32x+14x）
＝2x2+2≥2＞0，
∴m＞n．
【变式10.1】（2019秋•亭湖区校级月考）规定新运算符号*的运算过程为a∗b=13a−14b，则
（1）求5*（﹣5）；
（2）解方程2*（2*x）＝1*x．
【分析】（1）根据新定义运算得到5*（﹣5）=13×5−14×（﹣5），然后进行实数的加减运算；
（2）先根据新定义得到2*（23−x4）=23−14（23−x4）=23−16+x16=12+x16，1*x=13−x4，则12+x16=13−x4，再去分母得到24+3x＝16﹣12x，移项得到15x＝﹣8，然后把x的系数化为1即可．
【解答】解：（1）5*（﹣5）=13×5−14×（﹣5）=53+54=3512；
（2）∵2*x=23−x4，
∴2*（23−x4）=23−14（23−x4）=23−16+x16=12+x16
1*x=13−x4，
∴12+x16=13−x4，
去分母得，24+3x＝16﹣12x，
移项得，15x＝﹣8，
系数化为1得，x=−815．
【变式10.2】（2020秋•金湖县期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝b2+2ab，如：1*4＝42+2×1×4＝24．
（1）求（﹣5）*3的值；
（2）若（a+14）*6＝3，求a的值．
【分析】（1）原式利用已知的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝32+2×（﹣5）×3＝9﹣30＝﹣21；
（2）根据题中的新定义化简得：36+12×a+14=3，
整理得：36+3（a+1）＝3，
去括号得：36+3a+3＝3，
移项合并得：3a＝﹣36，
解得：a＝﹣12．
【变式10.3】（2021秋•吴兴区期末）若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解满足x＝a﹣b，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程﹣2x＝﹣4的解为x＝2，而2＝﹣2﹣（﹣4），则方程﹣2x＝﹣4为“和谐方程”．
（1）试判断方程﹣3x＝﹣4是不是“和谐方程”；
（2）若a＝2，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）关于x的一元一次方程（1﹣m）x＝﹣3m2+5mn﹣n和（n+2）x＝﹣4m2+5mn+m（m、n为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为x＝p和x＝q，请通过计算比较p和q的大小．
【分析】（1）化简﹣3x＝﹣4，然后根据新定义可以判断结论；
（2）利用“和谐方程”的定义求解可得答案；
（3）根据题意表示出p﹣q，然后根据差的正负性可得答案．
【解答】解：（1）∵﹣3x＝﹣4，
∴x=43，
又∵−3−(−4)=1≠43，
∴方程﹣3x＝﹣4不是“和谐方程”．
（2）当a＝2时，2x＝b，
∴x=b2，
假设有符合要求的“和谐方程”，则x＝2﹣b，
∴b2=2−b，
∴b=43；
（3）由题可得p＝1﹣m﹣（﹣3m2+5mn﹣n）＝1﹣m+3m2﹣5mn+n，q＝n+2﹣（﹣4m2+5mn+m）＝n+2+4m2﹣5mn﹣m，
∴p﹣q＝1﹣m+3m2﹣5mn+n﹣（n+2+4m2﹣5mm﹣m）
＝1﹣m+3m2﹣5mn+n﹣n﹣2﹣4m2+5mn+m
＝﹣1﹣m2＜0，
∴p＜q．