必考点02 与三角形有关的角-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题（人教版）

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必考点02 与三角形有关的角


●题型一 利用三角形的外角的性质求角
【例题1】（2022春•南岗区校级期末）如图，若∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠AFB等于（　　）

A．120° B．115° C．110° D．105°
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵∠AFB＝∠FEB+∠B，∠FEB＝∠A+∠C，
∴∠AFB＝∠A+∠B+∠C＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【例题2】（2022春•曲阳县期末）如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B
【分析】根据三角形的外角的性质即可判断．
【解答】解：如图，

在△AEF中，∠1＞∠2，
在△BCE中，∠2＞∠B，
∴∠1＞∠2＞∠B．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的外角的性质、解题的关键是灵活运用三角形的外角大于任何一个不相邻的内角解决问题．
【例题3】（2021春•沙坪坝区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．

【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．
【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD，
∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝2∠E+∠B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

【解题技巧提炼】
三角形的外角性质
1、三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
2、三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
3、若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
4、探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．

●题型二 直角三角形的性质与判定的运用
【例题4】（2022春•偃师市期末）在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
【分析】先根据∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可得出∠C的度数，进而得出结论．
【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
【例题5】（2021秋•焦作期末）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：由题意得，∠ABD＝60°，∠C＝45°，
∴∠α＝∠ABD﹣∠C＝15°，
故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【例题6】（2021秋•吐鲁番市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，AD与CE相交于点P，∠BAC＝66°，∠BCE＝40°，求∠ADC和∠APC的度数．

【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝33°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可求出∠ADC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠APC＝∠ADC+∠BCE．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝66°，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝33°，
∵CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝33°+50°＝83°；
∠APC＝∠ADC+∠BCE
＝83°+40°
＝123°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．

【解题技巧提炼】
★直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC ．
★直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
★直角三角形的判定：方法一：有一个角为90°的三角形是直角三角形.
方法二：两个锐角互余的三角形是直角三角形.

●题型三 三角形内角和定理的运用
【例题7】（2021秋•兰陵县期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数
是（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠DBC+∠DCB即可解决问题．
【解答】解：∴∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【例题8】（2022春•泰安期中）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　）

A．80° B．82° C．84° D．86°
【分析】设∠1＝∠2＝x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：设∠1＝∠2＝x，
∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，
∴∠DAC＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝108°，
∴x+180°﹣4x＝108°，
∴x＝24°，
∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【例题9】（2021秋•扶风县期末）如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且∠NAC+∠ABC＝90°．
（1）求证：MN∥PQ；
（2）若∠ABC＝∠NAC+10°，求∠ADB的度数．

【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BAC＝90°，推出∠NAC＝∠ACB，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和列方程得到∠ABC＝50°，根据角平分线的定义得到∠ABD=12∠ABC＝25°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠NAC+∠ABC＝90°，
∴∠NAC＝∠ACB，
∴MN∥PQ；
（2）解：∵∠ABC＝∠NAC+10°＝∠ACB+10°，
∵∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠ACB+10°＝90°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC＝25°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣25°＝65°．
【点评】本题考查了三角形的内角和，垂直的定义，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

【解题技巧提炼】
★1、三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均
大于0°且小于180°．
★2、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
★3、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；

●题型四 三角形的角在实际问题中的应用
【例题10】（2021秋•白银期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠A等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，聪明的李叔叔通过量得∠BCD的度数就断定这个零件是否合格，那么当∠BCD等于多少度时这个零件是合格的？

【分析】延长DC交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算出∠BCD的度数．
【解答】解：延长DC交AB于E，

∠BCD=∠B+∠CEB =∠B+∠D+∠A =20°+30°+90° =140°，
∴当∠BCD=140°时这个零件是合格的．
【点评】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

【解题技巧提炼】
非三角形问题的求解思路：
当待研究的几何图形不是三角形时，常通过延长某一条边或连接两个顶点把非三角形问题转化为三角形中的问题，再利用三角形的内角和或三角形外角的性质求解.

●题型五 三角形内角和定理、外角的性质和角平分线的综合运用
【例题11】（2022春•上海期末）直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（　　）
A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对
【分析】利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义计算．
【解答】解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故选：C．

【点评】①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．

【例题12】（2021秋•信州区校级期中）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）求∠DBE的度数．
（2）若∠A＝70°，求∠D的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBG=12∠ABC，∠EBG=12∠CBF，根据平角的定义计算即可；
（2）根据三角形的外角性质得到∠ACG﹣∠ABC＝∠A＝70°，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵BD，BE分别为∠ABC，∠CBF的平分线，
∴∠DBG=12∠ABC，∠EBG=12∠CBF，
∴∠DBE＝∠DBG+∠EBG=12×（∠ABC+∠CBF）＝90°；
（2）∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG﹣∠ABC＝∠A＝70°，
∵BD，CD分别为∠ABC，∠ACG的平分线，
∴∠DBG=12∠ABC，∠DCG=12∠ACG，
∴∠D＝∠DCG﹣∠DBG=12×（∠ACG﹣∠ABC）＝35°．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

【例题13】（2021•商河县校级模拟）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；
（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？

【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC；
（2）探究（1）中结论仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD，
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD，
∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

【解题技巧提炼】
三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：
规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；
规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．
规律2：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．

●题型六 与三角形有关的探究题
【例题14】（2021春•青羊区校级期中）△ABC中，∠A＝90°．现进行第一次操作：如图1作射线BA1，使得∠ABA1=12∠ABC，作射线CA1，使得∠ACA1=12∠ACD．再进行第二次操作：如图2作射线BA2，使得∠A1BA2=13∠A1BC，作射线CA2，使得∠A1CA2=13∠A1CD．再进行第三次操作：如图3作射线BA3使得∠A2BA3=13∠A2BC，作射线CA3，使得∠A2CA3=13∠A2CD．则∠A3＝　 　．


【分析】在第一次操作中根据角平分线及三角形外角性质推出∠DCA1=12（90°+∠ABC）＝45°+12∠ABC，∠CBA1=12∠ABC；第二次操作根据已知条件推出A2BC=23∠A1BC=13∠ACB，∠A2CD=23∠A1CD=23（90°−12∠ABC）＝60°−13∠ABC，第三次操作根据已知条件推出∠A3BC=29∠ACB，∠A3CD＝40°−29∠ABC，再根据三角形外角性质和三角形的内角和定理推出∠A3的度数．
【解答】解：第一次操作：
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠ABA1=12∠ABC，∠ACA1=12∠ACD，
∴∠DCA1=12（90°+∠ABC）＝45°+12∠ABC，∠CBA1=12∠ABC，
第二次操作：
∵∠A1BA2=13∠A1BC，∠A1CA2=13∠A1CD，
∴A2BC=23∠A1BC=13∠ACB，∠A2CD=23∠A1CD=23（90°−12∠ABC）＝60°−13∠ABC，
第三次操作：
∵∠A2BA3=13∠A2BC，∠A2CA3=13∠A2CD，
∴∠A3BC=29∠ACB，∠A3CD＝40°−29∠ABC，
∴∠A3＝∠A3CD﹣∠A3BC＝40°−29∠ABC−29∠ACB＝40°−29（∠ABC+∠ACB）＝20°；
故答案为：20°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于180°和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解此题的关键．

【例题15】（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字型”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．

【解题技巧提炼】
解决此类题要运用基本图形分析法，从复杂图形中分离出两个基本图形，利用“8字型”的结论得出两个等量关系，从而运用等式的基本性质得出结论．
















◆题型一 利用三角形的外角的性质求角
1．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1＝70°，∠2＝30°，则∠3＝（　　）

A．30° B．40° C．45° D．70°
【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠ECF，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECF，根据三角形的外角的性质列式计算即可．
【解答】解：∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠ECF，
∵FG∥CE，
∴∠F＝∠ECF，
∵∠FCD＝∠3+∠BAC，∠BAC＝∠2+∠F，
∴∠FCD＝∠3+∠2+∠F，
∴∠1+∠ECF＝∠3+∠2+∠F，
∴∠2+∠3＝∠1，
又∵∠1＝70°，∠2＝30°，
∴∠3＝70°﹣30°＝40°，
故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2．（2022春•江阴市校级月考）如图，∠A＝40°，∠ABD＝38°，∠ACB＝80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．

【分析】利用三角形外角性质得到∠BDC＝∠A+∠ABD＝65°+25°＝90°，然后再利用∠BEC＝∠EDC+∠DCE进行计算．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠ABD＝38°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝40°+38°＝78°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB＝40°，
∴∠BEC＝∠EDC+∠DCE＝78°+40°＝118°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．

◆题型二 直角三角形的性质与判定的运用
3．（2021秋•滨城区期中）在△ABC中，有下列条件：
①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B=12∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形内角和定理来判断．
【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，则x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+12∠A+13∠A＝180°，则∠A＝（108011）°，所以△ABC不是直角三角形；
④∠A＝∠B=12∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，则∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180度．
4．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝　 　°．

【分析】分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案．
【解答】解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，
当PA⊥OA时，∠A＝90°，
即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．
故答案为：50或90．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
5．（2021•江西模拟）如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．

【分析】根据平角的概念求出∠ACB＝90°，根据对顶角相等、直角三角形的性质证明结论．
【解答】证明：∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，
∴∠AOE＝∠B，
∵∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BAC+∠AOE＝90°，
∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．
【点评】本题考查的是直角三角形的概念和性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

◆题型三 三角形内角和定理的运用
6．（2022春•海南期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状．
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，
∴三个内角分别是180°×29=40°，180°×39=60°，180°×49=80°．
所以该三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点评】此题考查三角形的内角和定理以及三角形的分类：三角形的内角和180°．

7．（2021秋•金塔县期末）在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（　　）
A．50° B．55° C．45° D．40°
【分析】先根据∠C＝55°，求出∠A+∠B的度数，再根据∠A﹣∠B＝35°求出∠B的度数即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝55°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣55°＝125°①，
∵∠A﹣∠B＝35°②，
∴①﹣②得，2∠B＝90°，解得∠B＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
8．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】利用角平分线的定义求出∠ABC，利用三角形内角和定理求出∠A，再利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（2022春•宣化区期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F．
（1）判断∠ADE与∠EFC是否相等，并说明理由；
（2）若∠ACB＝72°，∠A＝60°，求∠DCB的度数．

【分析】（1）先判断是否相等，然后根据题目中的条件，利用平行线的判定与性质，即可说明判断；
（2）根据平行线的性质和三角形内角和，可以得到∠DCB的度数．
【解答】解：（1）∠ADE＝∠EFC，
理由：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵CD⊥AB，EF⊥CD，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC；
（2）∵∠ACB＝72°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝48°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
【点评】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

◆题型四 三角形的角在实际问题中的应用
10．（2022春•西华县期中）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数．

【分析】根据方向角的定义，即可求得∠EBA，∠ABC，∠BAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，

∵AD，BE是正南正北方向，
∴BE∥AD，
∵∠BAD=45°，
∴∠ABE=∠BAD=45°，
∵∠EBC=80°，
∴∠ABC=80°-45°=35°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-75°-35°=70°．
【点评】本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．

◆题型五 三角形内角和定理、外角的性质和角平分线的综合运用
11．（2021春•罗湖区校级期末）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=12∠BAC．其中正确的结论有（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°−12∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，∴⑤正确；
即正确的有4个，
故选：B．
【点评】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．
12．（2022春•曲阳县期末）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．
（1）当A，B移动后，∠BAO＝45°时，则∠C＝　 　；
（2）当A，B移动后，∠BAO＝60°时，则∠C＝　 　；
（3）由（1）、（2）猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由．

【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ABN，再根据角平分线的定义求出∠ABE和∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（2）与（1）方法相同求解；
（2）与（1）的思路相同解答．
【解答】解：（1）根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+45°＝135°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE=12∠ABN＝67.5°，∠BAC=12∠BAO＝22.5°，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝67.5°﹣22.5°＝45°；
（2）根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+60°＝150°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE=12∠ABN＝75°，∠BAC=12∠BAO＝30°，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝75°﹣30°＝45°；
（3）∠C不会随A、B的移动而发生变化．
理由如下：根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE=12∠ABN，∠BAC=12∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC=12（∠AOB+∠BAO）−12∠BAO=12∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠C＝45°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，此类题目各小题的求解思路都相同．

◆题型六 与三角形有关的探究题
13．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°+12α；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C＝　 ；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2，…，On﹣1，如图（3），则∠BOn﹣1C＝　 　（用含n和α的代数式表示）．

【分析】根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB），在△On﹣1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线，
∴∠O2BC+∠O2CB=23（∠ABC+∠ACB）=23（180°﹣α）＝120°−23α；
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝180°﹣（120°−23α）＝60°+23α；
在△ABC中，∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵On﹣1B和On﹣1C分别是∠B、∠C的n等分线，
∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB=n−1n（∠ABC+∠ACB）=n−1n（180°﹣α）=180°(n−1)n−(n−1)αn．
∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB）＝180°﹣（180°(n−1)n−(n−1)αn）=(n−1)αn+180°n．
故答案为：60°+23α；(n−1)αn+180°n．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．







1．（2021秋•伊通县期末）一个三角形三个内角之比为1：3：5，则最小的角的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【分析】根据三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】解：三角形的最小的角=19×180°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是记住三角形的内角和为180°．
2．（2021秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A
【分析】根据三角形的外角性质得出∠2＞∠D，∠1＞∠2，∠1＝∠A+∠2，∠2＝∠3+∠D，再逐个判断即可．
【解答】解：A．∵∠2＞∠D，∠1＞∠2，
∴∠1＞∠D，故本选项符合题意；
B．∠2＞∠D，故本选项不符合题意；
C．∠1＝∠2+∠A＝∠D+∠3+∠A，∠2+∠3＝∠D+∠3+∠3＝2∠3+∠D，
又∵∠3和∠A不一定相等，
∴∠1和∠2+∠3不一定相等，故本选项不符合题意；
D．∠3和∠A不一定相等，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解此题的关键．


3．（2022•灞桥区校级二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 　　．

【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1=12∠BAC，∠3=12∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠1=12∠BAC，∠3=12∠ABC，
∴∠1+∠3=12（∠BAC+∠ABC）＝50°，
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．

4．如图，AD交BC于点O，∠BAD的角平分线与△OCD的外角∠OCE的角平分线交于点P，则∠P与∠B、∠D的数量关系为（　　）

A．∠P=180°+∠B+∠D2 B．∠P=180°−∠B+∠D2
C．∠P＝90°+∠B+∠D D．∠P＝90°﹣∠B+∠D
【分析】设∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y，利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可．
【解答】解：设∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y，
则有∠B+2x=∠D+180°−2y①∠P+x=∠D+180°−y②，
①﹣2×②可得：∠B﹣2∠P＝∠D﹣2∠D﹣180°，
∴∠P=180°+∠B+∠D2，
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
5．（2021春•乳山市期末）如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G．若∠BDC＝140°，∠BGC＝100°，则∠A＝（　　）

A．80° B．75° C．60° D．45°
【分析】连接BC，根据三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB＝40°，∠GBC+∠GCB＝80°，所以∠GBD+∠GCD＝40°，再根据角平分线的定义求出∠ABG+∠ACG＝40°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠A＝60°．
【解答】解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝100°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠GBD+∠GCD＝80°﹣40°＝40°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝40°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣40°﹣40°＝60°．
故∠A的度数为60°．
故选：C．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．（2022春•兰考县期末）已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是 ．
【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；
②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解．
【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC＝∠A＝45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故答案为：135°或45°．

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．

7．（2022春•长安区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，EF⊥AD于点F．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠DEF的度数．

【分析】（1）求出∠BAC，根据角平分线的定义即可求出∠DAC；
（2）只要证明∠DEF＝∠DAE，求出∠DAE即可解决问题；
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣26°﹣70°＝84°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=12×84°＝42°
（2）在△ACE中，∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝42°﹣20°＝22°．
∵∠DEF+∠AEF＝∠AEF+∠DAE＝90°，
∴∠DEF＝∠DAE＝22°

【点评】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义．直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（2021春•长安区期末）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　 　（只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．

【分析】（1）根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由题意得：∠DAE＝∠DA′E，可推断出∠1＝2∠DAE．
（2）如图2，连接AA′．由三角形外角的性质，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由题意知：∠EAD＝∠EA′D，进而推断出∠1+∠2＝2∠EAD．
【解答】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．
故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：
如图2，连接AA′．

由题意知：∠EAD＝∠EA′D．
∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
【点评】本题主要三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．

9．（2021秋•高青县期末）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．

（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；
（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝　 　；（用α、β表示）
（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
【分析】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；
（2）由（1）类推得出答案即可；
（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°
∴∠BAE＝60°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠CFE＝∠DAE＝20°；
（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠ACB），
∵CF∥AD，
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B−12（180°﹣∠B﹣∠BCA）=12（∠ACB﹣∠B）=12β−12α，
故答案为：12β−12α；
（3）（2）中的结论成立．
∵∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC＝90°−12α−12β，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝90°−12α−12β，
∴∠BCF＝β+90°−12α−12β＝90°−12α+12β，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+12α−12β，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ECF=12β−12α．
【点评】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质以及垂直的意义等知识，结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．
10．（2022春•高邑县期末）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝　 　°，∠DBC+∠DCB＝　 　°∠ABD+∠ACD＝　 　°．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝　 　°．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系　 　．

【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故答案为：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．

11．（2022•新乐市校级模拟）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°−12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）
=12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
=12（180°+∠A）
＝90°+12∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
=12∠ABC+12∠MBC
=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°−12∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则12∠A＝2（90°−12∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．

【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
12．（2021秋•东莞市校级期中）（1）如图1，求证∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的角平分线交于点P，若∠A+∠C＝50°，求∠P的度数；
（3）如图3，∠BAD和∠BCD的外角角平分线相交于点O，请探究∠O与∠B，∠D之间的数量关系，并直接写出结论．

【分析】（1）利用三角形的外角性质解题即可；
（2）可利用（1）中的结果得证∠A、∠ABP、∠P与∠ADP的关系，∠C、∠PDC、∠P与∠PBC的关系，再结合角平分线化简，然后通过∠A+∠C＝50°求得∠P的度数；
（3）由外角的角平分线得到∠OAD+∠OCB，然后利用三角形的外角性质用含有∠B、∠D、∠BAD、∠BCD表示∠AEC，最后利用四边形的内角和求得∠O与∠B、∠D间的数量关系．
【解答】（1）证明：记AD与BC的交点为E，则∠AEC为△ABE与△CDE的外角，
∴∠AEC＝∠A+∠B，∠AEC＝∠D+∠C，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）解：记AD与BC的交点为E，AD与BP的交点为F，记PD与BC的交点为G，
∵AD与BP交于点F，PD与BC交于点G，
∴∠A+∠ABP＝∠P+∠ADP，∠P+∠PBC＝∠C+∠PDC，
∴2∠P+∠ADP+∠PBC＝∠A+∠ABP+∠C+∠PDC，
∵BP、DP分别平分∠ABC和∠ADC，
∴∠ABP＝∠PBC，∠ADP＝∠PDC，
∴2∠P＝∠A+∠C，
∵∠A+∠C＝50°，
∴2∠P＝50°，
∴∠P＝25°．
（3）解：∠O＝180°−12（∠B+∠D），理由如下，
∵AO平分∠BAD的外角，CO平分∠BCD的外角，
∴∠OAE=12（180°﹣∠BAD），∠OCE=12（180°﹣∠BCD），
∴∠OAE+∠OCE=12（180°﹣∠BAD）+12（180°﹣∠BCD）＝180°−12（∠BAD+∠BCD），
由（1）得，∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD＝∠AEC，
∴2∠AEC＝∠B+∠D+∠BAD+∠AEC，
∴∠AEC=12（∠B+∠D+∠BAD+∠AEC），
∴∠O＝360°﹣∠OAE﹣∠OCE﹣∠AEC＝360°﹣[180°−12（∠BAD+∠BCD）]−12（∠B+∠D+∠BAD+∠AEC）＝180°−12（∠B+∠D）．

【点评】本题考查了三角形的内角和性质与外角性质、角平分线的定义，整体思想的应用是本题的关键．