初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质精练

这是一份初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质精练，文件包含八年级数学上册必考点05角平分线的性质与判定-题型·技巧培优系列2022-2023学年八年级数学上册精选专题人教版原卷版docx、八年级数学上册必考点05角平分线的性质与判定-题型·技巧培优系列2022-2023学年八年级数学上册精选专题人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

必考点05 角平分线的性质与判定



●题型一 角的平分线的性质的应用
★★★1、解决求线段长问题
【例题1】（2021春•东港市月考）△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．

【例题2】（2022•湖北模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，作∠CAB的平分线AP交BC于点D．若AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为 　 ．

【例题3】（2022春•陈仓区期末）如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，AB＝4，△ABD的面积是4，则DE的长是（　　）

A．1 B．2 C．4 D．无法计算

★★★2、解决周长问题
【例题4】（2021秋•晋江市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
【例题5】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，
已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长．



★★★3、解决最值问题
【例题6】（2022秋•东台市校级月考）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点．若PD＝5，则PQ的最小值为（　　）

A．PQ＜5 B．PQ＝5
C．PQ＞5 D．以上情况都有可能

【例题7】（2022秋•盐都区月考）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM可能的值为（　　）

A．1 B．1.5 C．1.8 D．2.5

★★★4、解决面积问题
【例题8】（2022秋•通州区校级月考）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【例题9】（2022秋•吴江区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BD＝3，AC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（　　）

A．3 B．10 C．12 D．15

【例题10】（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，若BC＝16，DE＝6，则△BCE的面积等于（　　）

A．36 B．48 C．60 D．72
★★★5、解决证明问题
【例题11】（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．

【例题12】（2022春•秦都区期末）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．


【例题13】（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．


【解题技巧提炼】
1、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
●●注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
角平分线的性质几何语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE

2、 求三角形周长时，若三角形各边长不容易求解，可以考虑找出题中的相等的相等进行等量代换.
3、 由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可以得到垂线段，结合基本事实“垂线段最短”可以得到角平分线上的点到角两边距离的最小值.
4、 解决三角形面积的问题时往往要向三角形的边作垂线段，然后利用角平分线的性质来解决.
●题型二 角的平分线的判定的应用
【例题14】（2022春•府谷县期末）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　）

A．30° B．60° C．45° D．70°

【例题15】（2021秋•八公山区期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．





【解题技巧提炼】
1、角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
2、角平分线的判定几何语言：如图，∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，∴C在∠AOB的平分线上.
3、三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.

●题型三 角的平分线的性质与判定的综合应用
【例题16】（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：
①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 　 　（填序号）．




【例题17】（2021秋•东昌府区校级月考）如图，P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB垂足分别为E，F．PE＝PF．Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和N，QM与QN相等吗？请证明．




【例题18】（2021秋•铜梁区校级期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．



【解题技巧提炼】
角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂线段．

●题型四 角的平分线的性质的实际应用
【例题19】（2022秋•邗江区月考）为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（　　）

A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处

【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　）

A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处

【解题技巧提炼】
角平分线的实际应用主要用到了到角平分线的性质和判定，同时要注意到三角形三边距离相等和到三角形
三边所在直线的距离相等不同，到三角形三边距离相等的点只有1个，而到三角形三边所在直线距离相等
的点有4个.





●题型五 与角的平分线有关的探究题
【例题21】（2021秋•旌阳区校级月考）如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．


【解题技巧提炼】
与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的改
变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的.









◆◆题型一 角的平分线的性质的应用
1．（2022春•银川校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022春•莱芜区期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝4，则PQ的长不可能是（　　）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
3．（2022春•岳麓区校级期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

4．（2022春•城阳区期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（　　）cm2．

A．27 B．54 C．272 D．108
5．（2022秋•南宁月考）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN．


◆◆题型二 角的平分线的判定的应用
6．（2022秋•东港区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是 　 　．




7．（2021秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．



◆◆题型三 角的平分线的性质与判定的综合应用
8．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（1）若点P到直线BA的距离为5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．

9．（2021秋•大安市期末）如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．



◆◆题型四 角的平分线的性质的实际应用
10．（2022秋•大连月考）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．


◆◆题型五 与角的平分线有关的探究题
11．（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　．





1．（2022春•六盘水期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　）

A．5 B．7 C．7.5 D．10
2．（2022•雁塔区模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（　　）

A．16 B．20 C．40 D．80
3．（2022春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝4，BC＝6，△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．15
4．（2022秋•袁州区校级月考）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝10，则PE的最小值为 　 　．



5．（2022秋•海安市月考）如图，已知△ABC的周长是13，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且△ABC的面积为13，则OD长为 　 　．


6．（2022秋•下城区校级月考）如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，P是△MON外角平分线的交点，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是7．则△MON的周长是 　 　．


7．（2022•普定县模拟）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE=5，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是 　 　．

8．（2022春•金沙县期末）如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　）

A．4：3：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5



9．（2022春•铜川期末）如图，在△ABC中，AB＝3BC，BD平分∠ABC交AC于点D，若△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，则关于S1与S2之间的数量关系，下列说法正确的是（　　）

A．S1＝4S2 B．S1＝3S2 C．S1＝2S2 D．S1＝S2
10．（2021秋•如皋市期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．

11． 已知，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分
∠ACB．

（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝3，求△ADC的面积．








12．（2021秋•江油市期中）△ABC中，AD平分∠BAC，
（1）求证S△ABD：S△ADC＝AB：AC；
（2）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，求DC的长．




13．（2022春•凤翔县期末）如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．
（1）OD与OE是否相等．请说明理由；
（2）若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积．


14．（2021秋•广汉市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，
连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．




15．（2021秋•梁平区期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．



16．（2022春•福州期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 　 　，并证明；
（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 　 　，并证明；
（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 .