苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数精品单元测试巩固练习

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 单元测试

一、单选题

1．已知幂函数的图像过点，则（    ）

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算可得；

【详解】解：设，依题意，所以，

所以，所以；

故选：B

2．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数解析式，分析函数在时的单调性及值域即可得解.

【详解】由可知，当时，单调递减，且，

故选：C

3．已知，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.

【详解】，即.

故选：C.

4．若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件

A．充要条件 B．充分不必要

C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据命题和指数函数的定义列方程解得，根据命题解得，再根据必要不充分条件的定义判断即可.

【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2，

∴q是p的必要不充分条件.

故选：C．

5．函数的单调递减区间为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求定义域，再利用复合函数的同增异减可得函数单调递减区间.

【详解】

，解得

即函数的定义域为，

因为函数在定义域内是单调递增函数，

要求函数的单调递减区间，

即求函数在上的单调减区间

由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为

故选：A.

6．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，对数是简化大数运算的有效工具．若一个位整数的次方根仍是一个整数，则根据下表数据，可知（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算出的取值范围，查表可得的值.

【详解】由题意可得，所以，，

因为，则，所以，，

则，查表可得.

故选：A.

7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则的值是（    ）

A． B． C．2 D．12

【答案】B

【分析】由已知对称性得函数的图象关于点对称，关于直线对称，由此可得周期函数，周期为4，然后利用周期性和对称性结合对数运算法则求值．

【详解】为奇函数，即其图象关于点对称，所以的图象关于点对称，

为偶函数，即其图象关于轴对称，因此的图象关于直线对称，

所以，，，

所以，，由此解得，，

所以时，，

由对称性得，

所以，是周期函数，周期为4，

，

，

故选：B．

8．已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由解析式判断分段函数的单调性，根据单调性有在上恒成立，求a的范围.

【详解】由在上递增，值域为，

在上递增，值域为，

所以在定义域上递增，且值域为，

由题设不等式恒成立，即，

故在上恒成立，

所以.

故选：D

二、多选题

9．下列说法不正确的是（    ）

A．幂函数的图象都通过两点

B．当时，幂函数的值在定义域内随的增大而减小

C．幂函数的图象不可能出现在第四象限

D．当幂函数的图象是一条直线时，或1

【答案】ABD

【分析】根据幂函数的图象与性质，逐一分析判断正误即可.

【详解】解：对于A，幂函数的图象都通过点，幂函数不过点，故A不正确；

对于B，当时，幂函数定义域为，以幂函数为例，它在和上分别单调递减，在定义域不单调，故B不正确；

对于C，由幂函数的性质可知幂函数图象不可能出现在第四象限，故C正确；

对于D，当时，幂函数的图象是一条直线，但不过点，故D不正确.

故选：ABD.

10．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】正数x，y，z满足，设，

则，，．

对于A，，故A正确；

对于B，，，，

∵，∴，

∵，∴，∴，故B错误；

对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；

对于D，由，可得（），故D正确．

故选：ACD

11．若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.

【详解】当时，函数在上为减函数，

则，解得；

当时，函数在上为增函数，

则，解得.

综上所述，或.

故选：BC.

12．关于函数，下列描述正确的有（    ）

A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称

C．若则 D．有且仅有两个零点

【答案】ABD

【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项．

【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，

再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，

最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，

由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；

，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，

如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，

与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．函数的定义域是__.

【答案】，，

【分析】由题意可得，求解得答案．

【详解】要使原函数有意义，则，解得且．

函数的定义域是，，．

故答案为：，，．

14．函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝___.

【答案】27

【分析】由对数函数性质可得定点的坐标，用待定系数法设出幂函数解析式，代入的坐标，可得幂函数解析式，再求.

【详解】因为，令，得此时，故，

设幂函数解析式,

依题意有，即，解得，

所以，

所以，

故答案为：27.

15．已知,,用,表示_________.（结果用,表示）

【答案】

【分析】根据换底公式找到和之间的等式关系,将用换底公式换为的形式,代换成即可.

【详解】解:由题知,,,

,,

,

故答案为:.

16．若正数a，b满足，则的最大值为______.

【答案】##0.25

【分析】根据等式关系进行转化，构造函数，判断函数的单调性，利用转化法转化为一元二次函数进行求解即可．

【详解】由得，

设，则在上为增函数，

则，等价为（a），

则，

则，

，

当时，有最大值，

故答案为：．

四、解答题

17．（1）已知，，求的值；

（2）已知，，试用a，b表示.

【答案】（1）1；（2）

【分析】（1）根据指数运算性质将用与表示即可；

（2）根据对数运算性质将用与表示即可；

【详解】（1）      

（2）

.

18．（1）计算；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由指数幂的运算性质及根式与有理数指数幂关系化简求值；

（2）利用转化求值即可.

【详解】（1）；

（2）.

19．已知函数

(1)证明：函数为偶函数；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用奇偶性定义证明即可.

（2）判断对数型复合函数的区间单调性，结合偶函数性质解不等式即可.

(1)

由解析式知：函数定义域为R，

，

所以为偶函数；

(2)

由，若且递增，

令，则上递减，上递增，又递增，

所以上递减，上递增，又为偶函数，

由，可得，即，

当时，无解；当时，，可得；

综上，.

20．已知函数．

(1)若，求函数的定义域．

(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．

(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由对数的性质有求解集，即可得定义域.

（2）由题设是值域的子集，根据二次函数的性质有即可求m的范围.

（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有，即可求m的范围.

【详解】（1）由题设，，则或，

所以函数定义域为.

（2）由函数的值域为R，则是值域的子集，

所以，即.

（3）由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，

所以在上递增，在上递减，

又在上是增函数，故，可得.

21．已知函数，

(1)当时，求函数在的值域

(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；

（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；

（1）

解：∵，，

令，∵，∴，

∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，

∴的值域是.

（2）

解：方程有解，

即有解，

即有解，

∴有解，

令，则，

∴.

22．设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“弱不动点”，也称在区间上存在“弱不动点”．设函数，．

(1)若，求函数的“弱不动点”；

(2)若函数在上不存在“弱不动点”，求实数的取值范围．

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）解方程可得；

（2）由方程在上无解，转化为求函数的取值范围，利用换元法求解取值范围，同时注意对数的真数大于0对参数范围有限制，从而可得结论．

（1）

当时，，

由题意得，                           

即，即，得，即，

所以函数的“弱不动点”为0．

（2）

由已知在上无解，     

即在上无解，

令，得在上无解，

即在上无解．

记，则在上单调递减，故，

所以，或．                                     

又在上恒成立，                        

故在上恒成立，即在上恒成立，

记，则在上单调递减，故，

所以，       

综上，实数的取值范围是．