苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试练习

本章达标检测

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.若函数y=(m2+2m-2)是幂函数,则m=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.-3

C.-3或1 D.2

2.已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=,则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是(　　)

A.②①③④ B.②③①④

C.④①③② D.④③①②

3.函数y=的值域是(　　)

A.(-∞,4) B.(0,+∞)

C.(0,4] D.[4,+∞)

4.已知关于x的不等式>3-2x,则该不等式的解集为(　　)

A.[4,+∞) B.(-4,+∞)

C.(-∞,-4) D.(-4,1]

5.函数y=的奇偶性是(　　)

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

6.如果f(x)=,x∈R,那么f(x)是(　　)

A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数

B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数

C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数

D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数

7.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m,n的值分别为(　　)

A.,2 B.,4

C. D.,4

8.已知函数f(x)=为R上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1) B.(-∞,-4)

C.(-1,-4] D.(-∞,-4]

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.若指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1),则下列等式中正确的是(　　)

A.f(x+y)=f(x)f(y)

B.f(x-y)=

C.f=f(x)-f(y)

D.[f(xy)]n=[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)

10.如果函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,那么(　　)

A.f(x)在(1,+∞)上递增且无最大值

B.f(x)在(1,+∞)上递减且无最小值

C.f(x)在定义域内是偶函数

D.f(x)的图象关于直线x=1对称

11.若0<m<n<1,则(　　)

A.log4m<log4n B.3n<3m

C.logm3<logn3 D.

12.已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论正确的是(　　)

A.a>b B.a<b

C.g(a)<0<f(b) D.a+b=2

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.若幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f(8)=　　　　. 

14.已知函数f(x)=lg(-x2+2ax)在区间(1,2)上是减函数,则实数a的取值集合是　　　　. 

15.已知函数y=f(x)与y=的图象关于直线y=x对称,则f(x2-2x-3)的单调递增区间为　　　　. 

16.已知定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2 016,且当x>0时,f(x)>2 016,若f(x)在区间[-2 016,2 016]的最大值,最小值分别为M,N,则M+N=　　　　,M-N=　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=lg(x-1),g(x)=lg(4-x).

(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域;

(2)若不等式f(x)>g(x)成立,求实数x的取值范围.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=b+logax(a>0,a≠1)的图象经过点(8,2)和(1,-1).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设函数g(x)=f 2(x)-f(x),求函数g(x)的最小值.

19.(本小题满分12分)已知f(x)=是奇函数.

(1)求实数a的值;

(2)求f(x)的定义域和值域;

(3)讨论f(x)的单调性并证明.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=logax+b(其中a,b均为常数,a>0,a≠1)的图象经过点(2,5)与点(8,7).

(1)求a,b的值;

(2)设函数g(x)=bx-ax+2,若对任意的x1∈[1,4],存在x2∈[0,log25],使得f(x1)=g(x2)+m成立,求实数m的取值范围.

21.(本小题满分12分)如图,已知函数y=kx(k>0)的图象与函数y=log2x的图象交于A、B两点.过点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为A'、B',并且AA'、BB'分别交函数y=log4x的图象于M、N两点.

(1)探究线段AM与A'M长度的大小关系并证明;

(2)若AN平行于x轴,求四边形AMNB的面积.

22.(本小题满分12分)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)均为定义在R上的函数,且满足f(x)+g(x)=2x.

(1)求f(x)的解析式;

(2)设函数h(x)=f(x)+x.

①判断h(x)的单调性,并用定义法证明;

②若f(log2m)+f(2log2m-1)≤1-3log2m,求实数m的取值范围.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.B　由题意,得解得m=-3,故选B.

2.D　第一个图象与幂函数的图象相对应,所以应为④;第二个图象与反比例函数的图象相对应,所以应为③;第三个图象与指数函数的图象相对应,所以应为①;第四个图象与对数函数的图象相对应,所以应为②.

所以对应顺序为④③①②,故选D.

3.C　令t=x2+2x-1=(x+1)2-2,则t≥-2,

又∵y=在[-2,+∞)上单调递减,

∴y=的值域为(0,4].

4.B　依题意可知,原不等式可转化为3-x+4>3-2x,因为指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4,故选B.

5.A　因为f(x)=的定义域为R,关于原点对称, f(-x)==-f(x),

所以函数f(x)为奇函数,故选A.

6.D　f(x)=满足f(x)=f(-x),又x∈R,定义域关于原点对称,所以f(x)是偶函数.当x∈(0,+∞)时,f(x)=,易知f(x)为减函数.故选D.

7.A　f(x)=|log2x|=其大致图象如图所示.

根据f(m)=f(n)(m<n)及f(x)的单调性,

知mn=1且0<m<1,n>1.

由图象知f(x)max=f(m2),x∈[m2,n].故f(m2)=2,易得m=,n=2.

8.D　∵函数f(x)为R上的减函数,

∴

即解得a≤-4,

故实数a的取值范围是(-∞,-4],

故选D.

二、多项选择题

9.AB　f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y),故A中的等式正确;

f(x-y)=ax-y=axa-y=,故B中的等式正确;

f,f(x)-f(y)=ax-ay≠(ax,故C中的等式错误;

[f(xy)]n=(axy)n,[f(x)]n[f(y)]n=(ax)n·(ay)n=(ax+y)n≠(axy)n,故D中的等式错误.

故选AB.

10.AD　由|x-1|>0,得函数f(x)=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1}.

因为f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,所以a>1,

所以f(x)=loga|x-1|在(1,+∞)上递增且无最大值,所以A正确,B错误;

因为f(-x)=loga|-x-1|=loga|x+1|≠f(x),所以C错误;

设g(x)=|x-1|=则g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,且g(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以D正确.

故选AD.

11.AD　因为y=log4x在(0,+∞)上递增,且0<m<n<1,所以log4m<log4n,故A正确;因为y=3x在R上递增,且0<m<n<1,所以3n>3m,故B错误;取m=,知logm3>logn3,故C错误;由指数函数的性质可知D正确.故选AD.

12.BCD　因为函数y=ex,y=ln x,y=x-2都是(0,+∞)上的增函数,所以f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2都是(0,+∞)上的增函数.

又因为f(0)=e0+0-2=-1<0, f(1)=e1+1-2=e-1>0,

g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以0<a<1,1<b<2,

所以0<a<1<b<2,故A错误,B正确;

因为a<b,所以g(a)<g(b)=0,0=f(a)<f(b),即f(b)>0,所以g(a)<0<f(b),故C正确;

令f(x)=ex+x-2=0,g(x)=ln x+x-2=0,则ex=2-x,ln x=2-x.

因为函数y=ex,y=ln x的图象都和y=2-x的图象相交,且y=ex和y=ln x的图象关于直线y=x对称,又y=2-x和y=x图象的交点为(1,1),所以a+b=2,

故D正确.

故选BCD.

三、填空题

13.答案　2

解析　设f(x)=xα,由题意得f(4)=4x=2,

解得α=,故f(x)=,

所以f(8)=2.

14.答案　{1}

解析　设t=-x2+2ax,其图象的对称轴为直线x=a,∵f(x)在区间(1,2)上是减函数,∴a≤1,又易知-22+4a≥0,∴a≥1,

∴a=1.

15.答案　(-∞,-1)

解析　由题意可知f(x)=lox,

故f(x2-2x-3)=lo(x2-2x-3).

令t=x2-2x-3,

则y=lot,t>0,

求原函数的单调递增函数,只需求t=x2-2x-3在定义域内的单调递减区间,

∴解得x<-1.

故f(x2-2x-3)的单调递增区间是(-∞,-1).

16.答案　4 032;0

解析　因为对于x1,x2∈[-2 016,2 016],都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2 016,所以令x1=x2=0,得f(0)=2 016.设x1<x2,则f(x2-x1)>2 016,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)-2 016=f(x2-x1)-2 016>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在[-2 016,2 016]上为单调递增函数,所以f(x)max=

f(2 016), f(x)min=f(-2 016).因为f(2 016)+f(-2 016)=f(0)+2 016=4 032,所以M+N=

4 032,M-N=0.

四、解答题

17.解析　(1)因为f(x)=lg(x-1)的定义域为(1,+∞),g(x)=lg(4-x)的定义域为(-∞,4),(4分)

所以函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域为(1,4).(5分)

(2)不等式f(x)>g(x)即为lg(x-1)>lg(4-x),即x-1>4-x,解得x>.(7分)

又由(1)知函数h(x)的定义域为(1,4),所以实数x的取值范围为<x<4.(10分)

18.解析　(1)由题意得(2分)

解得(4分)

所以f(x)=-1+log2x.(6分)

(2)设t=-1+log2x,t∈R,则g(t)=t2-t=

,(10分)

故当t=,即x=2时,函数g(x)取得最小值,最小值为-.(12分)

19.解析　(1)因为f(x)=是奇函数,

所以f(-x)=-f(x),即,

即,(2分)

所以=a+1=0,

所以a=-1.(4分)

(2)由(1)知,f(x)=,

其定义域为R.

因为4x>0,所以0<<1,即-1<f(x)<1.

所以函数f(x)的值域为(-1,1).(8分)

(3)函数f(x)在R上为增函数.

证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=

=.(10分)

因为x1<x2,所以+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

所以函数f(x)在R上为增函数.(12分)

20.解析　(1)由已知得(2分)

消去b得loga8-loga2=loga4=2,即a2=4,又a>0,a≠1,所以a=2,b=4.(4分)

(2)由(1)知f(x)=log2x+4,

则g(x)=4x-2x+2.

函数f(x)=log2x+4单调递增,当x∈[1,4]时,其值域为A=[4,6].(6分)

令2x=t,当x∈[0,log25]时,t∈[1,5],

于是g(x)=y=t2-4t=(t-2)2-4∈[-4,5].(8分)

设函数h(x)=g(x)+m,则函数h(x)的值域为B=[-4+m,5+m],

根据条件知A⊆B,于是

解得1≤m≤8.(11分)

所以实数m的取值范围为[1,8].(12分)

21.解析　(1)AM=A'M.证明如下:

设A(m,log2m),B(n,log2n)(0<m<n),

则M(m,log4m),N(n,log4n).

∴AM=log2m-log4m=log2m-log2m,(4分)

又∵A'M=log4m=log2m,∴AM=A'M.(5分)

(2)∵AN平行于x轴,∴log2m=log4n,

∴log2m=log2n,∴log2m=log2,

∴m=.(6分)

又∵log2m=km,log2n=kn,∴联立方程得解得(8分)

∴A(2,1),B(4,2),M,N(4,1).(10分)

故四边形AMNB的面积为.(12分)

22.解析　(1)因为奇函数f(x)与偶函数g(x)均为定义在R上的函数,

所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),(1分)

因为f(x)+g(x)=2x(*),

所以f(-x)+g(-x)=2-x,

即-f(x)+g(x)=2-x(**),

(*)-(**)得2f(x)=2x-2-x,(3分)

所以f(x)=2x-1-2-x-1.(4分)

(2)由(1)得h(x)=f(x)+x=2x-1-2-x-1+x.①h(x)为R上的单调递增函数.证明如下:

任取x1,x2∈R,且x1<x2,

则h(x1)-h(x2)

=·-x2

=,(6分)

因为x1<x2,所以<0,x1-x2<0,所以h(x1)-h(x2)<0,即h(x1)<h(x2),

所以h(x)为R上的单调递增函数.(8分)

②设log2m=t,则f(t)+f(2t-1)≤1-3t,即f(t)+f(2t-1)≤-t-(2t-1),

即f(t)+t+f(2t-1)+2t-1≤0,

即h(t)+h(2t-1)≤0,

因为h(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-h(x),x∈R,定义域关于原点对称,所以h(x)为奇函数,(10分)

由h(t)+h(2t-1)≤0,得h(t)≤-h(2t-1)=h(1-2t),又因为h(x)为R上的单调递增函数,所以t≤1-2t,即t≤,所以log2m≤,解得0<m≤,故实数m的取值范围为(0,].(12分)