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    (新)苏教版高中数学必修第一册学案:第6章 章末综合提升(含解析)
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    苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀学案设计

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    这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀学案设计,共6页。




    [巩固层·知识整合]





    [提升层·题型探究]


    函数的图象是研究函数性质的前提和基础,它较形象直观地反映了函数的一切性质.教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质,由具体到抽象的过程,突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用.


    【例1】 (1)若函数f(x)=lg2eq \f(a·4x+2x+1,3)的定义域为(-∞,1),则a= .


    (2)若函数f(x)=lg2eq \f(a·4x+2x+1,3)在(-∞,1]上有意义,则a的取值范围是 .


    [思路点拨] 分别将两个问题转化为求定义域问题和恒成立问题,然后求解.


    (1)-eq \f(3,4) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4),+∞)) [(1)因为x<1,所以0<2x<2.


    要使f(x)有意义,则a·4x+2x+1>0,令t=2x,则t∈(0,2),


    由题知y=at2+t+1开口向下,且t=2是方程at2+t+1=0的根,


    所以4a+2+1=0,所以a=-eq \f(3,4).


    (2)原问题等价于a·4x+2x+1>0,对任意x∈(-∞,1]恒成立.


    因为4x>0,所以a>-eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)))在(-∞,1]上恒成立.


    令g(x)=-eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x))),x∈(-∞,1].


    由y=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)与y=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在(-∞,1]上均为增函数,可知g(x)在(-∞,1]上也是增函数,所以g(x)max=g(1)=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)+\f(1,2)))=-eq \f(3,4).


    因为a>-eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)))在(-∞,1]上恒成立,所以a应大于g(x)的最大值,即a>-eq \f(3,4).


    故所求a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4),+∞)).]





    1.识别函数的图象从以下几个方面入手:


    (1)单调性:函数图象的变化趋势;


    (2)奇偶性:函数图象的对称性;


    (3)特殊点对应的函数值.


    2.指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0=1,lga1=0.





    eq \([跟进训练])


    1.已知f(x)=lg2 (x+1)+lg2 (1-x),


    (1)求f(x)的定义域,并求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))的值;


    (2)判断f(x)的奇偶性;


    (3)判断f(x)的单调性.


    [解] (1)由题知,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+1>0,,1-x>0,))解得-1

    ∴f(x)的定义域为{x|-1

    feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))=lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(\r(2),2)))+lg2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(\r(2),2)))


    =lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(\r(2),2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(\r(2),2)))=lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,2)))=-1.


    (2)f(-x)=lg2(-x+1)+lg2(1+x)=f(x),


    又f(x)的定义域为{x|-1

    故f(x)为偶函数.


    (3)f(x)=lg2 (x+1)(1-x)=lg2 (1-x2),


    设u(x)=1-x2,则u(x)是开口向下的二次函数,


    在(-1,0)上,u(x)单调递增,在(0,1)上,u(x)单调递减,又y=lg2 u是增函数,


    ∴f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.


    1.比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.


    2.当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.


    3.比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即先将它们分为“小于0”“大于等于0,小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.


    【例2】 比较下列各组数的大小:


    (1)0.65.1,5.10.6,lg0.65.1;


    (2)lg712,lg812;


    (3)a=0.2eq \s\up12(eq \f(1,2)),b=0.3eq \s\up12(eq \f(1,2)),c=3eq \s\up12(eq \f(1,3)),d=5eq \s\up12(eq \f(1,3)).


    [思路点拨] (1)采用“媒介法”引入0,1,把三个数与0,1相比较得结论;


    (2)真数相同,底数不同,可用图象法或换底法比较大小;


    (3)利用幂函数的性质求解.


    [解] (1)因为0<0.65.1<1,5.10.6>1,lg0.65.1<0,所以5.10.6>0.65.1>lg0.65.1.


    (2)法一:在同一坐标系中作出函数y=lg7x与y=lg8x的图象:





    由底数变化对图象位置的影响知:lg712>lg812.


    法二:eq \f(lg712,lg812)=eq \f(\f(lg 12,lg 7),\f(lg 12,lg 8))=eq \f(lg 8,lg 7)=lg78>1.


    ∵lg812>0,∴lg712>lg812.


    (3)因为0

    又因为0.3eq \s\up12(eq \f(1,2))<1,3eq \s\up12(eq \f(1,3))>1,所以b




    1.比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等.


    2.当两个数都是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.


    3.比较多个数的大小时,先利用“0”“1”作为分界点,然后在各部分内再利用函数性质比较大小.





    eq \([跟进训练])


    2.比较大小:


    (1)lgeq \s\d12(eq \s\up7(eq \f(1,4))) 3,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.2),2eq \s\up12(eq \f(1,3));


    (2)lg3 2,lg2 3,lg2 5.


    [解] (1)lgeq \s\d12(eq \s\up7(eq \f(1,4))) 3<0,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.2)∈(0,1),2eq \s\up12(eq \f(1,3))>1,故lgeq \s\up7(eq \f(1,4)) 3

    (2)∵lg3 2

    本章中,指数函数、对数函数的性质均与a的范围有较大的关系,因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用.


    【例3】 已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=0,求不等式f(lga x)>0(a>0,且a≠1)的解集.


    [思路点拨] 根据偶函数的性质,将f(lga x)>0转化为lga x与eq \f(1,2)和-eq \f(1,2)的大小关系,然后分类讨论求解不等式.


    [解] ∵f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,


    又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=0,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=0.


    故若f(lga x)>0,则有lga x>eq \f(1,2)或lga x<-eq \f(1,2).


    ①当a>1时,由lga x>eq \f(1,2)或lga x<-eq \f(1,2),得x>eq \r(a)或0

    ②当0eq \f(1,2)或lga x<-eq \f(1,2),得0eq \f(\r(a),a).


    综上可知,当a>1时,f(lga x)>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0, \f(\r(a),a)))∪(eq \r(a),+∞);当00的解集为(0,eq \r(a))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a),a),+∞)).





    将例题中“偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数”改为“奇函数f(x)在[0,+∞)上为增函数”应如何解答?


    [解] ∵f(x)是奇函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=0,


    ∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数,且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=0.


    ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lga x))>0可转化为lga x>eq \f(1,2)或-eq \f(1,2)

    ①当a>1时,上述两不等式的解为x>eq \r(a)和eq \f(\r(a),a)

    ∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\r(a)或\f(\r(a),a)

    ②当0

    ∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

    综上,当a>1时,不等式的解集为


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\r(a)或\f(\r(a),a)

    当0

    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0




    1.研究函数的性质要树立定义域优先的原则.


    2.对于指数函数、对数函数含参数的问题,要根据底中参数的取值进行分类讨论.





    函数的图象与性质
    比较大小
    分类讨论思想
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