【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第08讲 函数的概念和图像 讲义

5.1 函数的概念和图像

【知识梳理】

1.函数：一般地，设A,B是两个非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确认的对应关系,在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称:A→B为从集合A到集合B的一个函数,

记作：.

其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；

与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

2.函数的三要素： 定义域（集合A）、值域、对应关系（判断是否为同一函数只要看定义域、对应关系是否完全相同）.

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的定义域

关于函数定义域的求法

(1)  分式分母不为0,

(2)  二次根式的被开方数不小于0,

(3)  0次幂的底数不为0.

(4)如果解析式中含有多个式子,则用大括号将x满足的条件列成不等式组,解出各个不等式后求交集.

4.抽象函数求定义域

抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下几点：

（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；

（2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.

（3）对于抽象函数定义域的求解，（1） 若已知函数的定义域为，则复合函数 的定义域由不等式 .

（4）若复合函数 的定义域为，则函数的定义域为在上的值域.

5.常见函数求值域

（1）直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围；

（2）配方法：适用于与二次函数有关的函数

（3）分离常数法

形如的函数可变形为函数后求值域.

（4）换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解

（5）对勾函数：对勾函数是指形如的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．

(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)值域：(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)．

（6）图象法

画出图像，根据图像的最高点、最低点来判断

【典型例题】

考点一：函数概念

1. 下列各式中，函数的个数是(    )
   ；；；．

1.  B.  C.  D.

  考点二：函数图像

2. 若函数的定义域，值域，则函数的图象可能是(    )

A.   B.
C.  D.

3. 已知，，下列图形能表示以为定义域，为值域的函数的是(    )

1.  B.
   C.  D.

 考点三：相等函数

4. 下列四组函数中，不表示同一函数的一组是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

5. 下列函数中，与函数是相等函数的是(    )

1.  B.  C.  D.

   考点四：函数的定义域

6. 求下列函数的定义域：

；    ；      ；

7. 函数的定义域为(    )

1.  B.
   C.  D.

 考点五：抽象函数的定义域

8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为          ．
9. 已知的定义域为，则的定义域为          ．
10. 已知函数，则的定义域为(    )

1.  B.  C.  D.

 考点六：定义域求参

11. 已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是          ．
12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是(    )

1.  B.
   C.  D.

 考点七：函数值

13. 设函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

14. 已知函数的对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，，，则的值为(    )
    
     

A.  B.  C.  D.

15. 函数，，则的值域为(    )

1.  B.  C.  D.

16. 已知，．

求，，的值；

求的值；

考点八：函数值域

17. 函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

18. 函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

19. 函数的值域为          
20. 函数的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

21. 求下列函数的值域：；
    ．
    
    
    
     
22. 函数的值域为          ．
23. 求下列函数值域：

24. 求下列函数的值域：

；；．




考点九：函数定义域值域综合

25. 已知函数的值域是，则其定义域不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

26. 已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为(    )

A.  B.  C.  D.

27. 已知函数的定义域是，值域是，则实数的取值范围是          ．
28. 函数的定义域为，值域为，则          
29. 函数．
    若函数的定义域为，求的值域；
    若的值域为，且定义域为，求的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
30. 设表示不超过的最大整数，已知函数，则          ；其值域为          ．
31. 若两个函数的定义域不同，但解析式与值域相同，则称这两个函数互为“和谐函数”，若函数的定义域为，值域为，则与该函数互为“和谐函数”的个数为(    )

1.  B.  C.  D.

培优练习

一、单选题

1．函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

2．已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）

A． B． C． D．

3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（       ）

A．0个 B．1个

C．0或1个 D．无数个

4．已知函数的定义域为，则实数a的取值集合为（       ）

A．{1} B． C． D．

5．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

三、填空题

7．如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．

四、解答题

8．已知函数，

(1)点在的图象上吗？

(2)当时，求的值；

(3)当时，求x的值；

(4)求的值.

9．求下列函数的值域．

（1）求函数的值域．

（2） 求函数的值域．

（3）求函数，的值域．

10．已知函数.

(1)若函数定义域为，求的取值范围；

(2)若函数值域为，求的取值范围.

11．已知函数

(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)当时，解关于x的不等式．

12．已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，

(1)当时，求；

(2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围．