高中苏教版 (2019)5.3 函数的单调性精品课后测评

函数的单调性

【知识梳理】

1.函数的单调性

设函数的定义域为A，区间，

如果对于区间I内的任意两个值，当时，

都有,

那么称函数在这个区间I上是增函数，I称为的增区间；

如果对于区间I内的任意两个值，当时，

当时，都有,

那么称函数在这个区间I上是减函数，I称为的减区间.

2.单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.

注：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接

3.性质

(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；

(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；

(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；

若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.

4.函数单调性的判断方法

(1)定义法；

(2)图象法；

(3)性质法；

(4)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.

5.利用定义证明函数单调性的步骤

6.函数的最大（小）值

一般地，设函数的定义域为，

如果存在，使得对于任意的，都有，

那么，我们称是函数的最大值，记为；

如果存在，使得对于任意的，都有，

那么，我们称是函数的最小值，记为.

【典型例题】

考点一：定义法求单调性

例1：求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.

【答案】证明见详解.

【解析】证明：在区间上任取，

则

因为，故可得；又因为，故可得.

故，即.故在区间上单调递增.

例2：证明在其定义域上是增函数.

【答案】证明见解析；

【解析】证明：函数的定义域为设且，

因为，所以，所以，即

所以在其定义域上是增函数.

例3：（多选）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．

【详解】由函数单调性的定义可知，若函数在给定的区间上是增函数，

则与同号，由此可知，选项A，B正确；

对于选项C，D，因为的大小关系无法判断，

则的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确.

故选：AB

【点睛】结论点睛：

若函数在上是增函数，对于任意的，则有（或者）；

若函数在上是减函数，对于任意的，则有（或者）；

针对练习：

1.用定义法证明函数f（x）在（，+∞）上是增函数.

【答案】见解析

【解析】f（x）1

任意设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）（）[]＝（），

∵x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，x1，x20，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在（，+∞）上是增函数

考点二：判定单调性与单调区间

例1：函数在（       ）

A．上是增函数 B．上是减函数

C．和上是增函数 D．和上是减函数

【答案】D

【分析】根据可判断.

【详解】因为，定义域为，

在和上是减函数，

所以在和上是减函数.

故选：D.

例2：判断下列函数的单调区间；

(1) ；  (2)

【解答】（1）在上递减，在 上递增，在上递减，在上递增；

（2）在 上递减，在上递增.

【解析】(1)由图象对称性，画出草图

∴在上递减，在 上递增，在上递减，在上递增.

(2) ，

∴图象为

∴在 上递增，在上递增.

例3：（1）函数的单调递增区间为__________．

（2）函数的单调增区间为______．

【答案】（1），（2）[-1，1]

【解析】（1）由题意，令，解得或，

所以函数的定义域为；

因为在上单调递减，在上单调递增，

故函数的单调递增区间为 ，

（2）由﹣x2+2x+3≥0，得﹣1≤x≤3，所以函数f（x）的定义域为[﹣1，3]．

函数可看作由y，t＝﹣x2+2x+3复合而成的，

y单调递增，要求函数的单调增区间，只需求t＝﹣x2+2x+3的增区间即可，t＝﹣x2+2x+3在[﹣1，3]的单调增区间为[﹣1，1]，

所以函数的单调增区间为[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．

例4:函数，的单调递增区间是_____．

【答案】

【解析】根据二次函数的开口方向以及对称轴即可求解.

【详解】解：的图象开口向下，

又的对称轴为，

的单调递增区间是.

故答案为：.

针对练习：

1.函数的单调递减区间为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，

二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 故选：A．

2.函数的单调递增区间是(　　)

A． B．和

C．和 D．和

【答案】B

【解析】，

当或时，；

当时，，

如图所示，函数的单调递增区间是和.故选B.

3.的单调增加区间是__________.

【答案】

【解析】函数，

设t=x2+3x﹣4，由t≥0，可得（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞），则函数y=，

由t=x2+3x﹣4在[1，+∞）递增，

故答案为:（1，+∞）（或写成[1，+∞））

考点三、函数求最值

例1：已知二次函数，分别求下列条件下函数的最值

（1），；

（2）；

（3），．

【答案】见解析

【解析】由题意得，y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，关于x＝2对称，如：

（1）函数在[﹣1，0]上递减，

则当x＝0时，y＝5．当x＝﹣1时，y＝10．

即当x∈[﹣1，0]时，y∈[5，10]．

（2）函数在（1，2]上递减，（2，3）上递增，

则x∈（1，3）时，x＝2时，y最小值为1．

当x＝1或x＝3时，y＝2．

又∵x∈（1，3），∴点（1，2），（3，2）为虚点．

∴当x∈（1，3）时，y∈[1，2）．

（3）函数在（4，5]上递增，

当x∈（4，5]时，x＝4时，对应值y＝5，（4，5）为虚点．

当x＝5时，y＝10，（5，10）为实点．

∴当x∈（4，5]时，y∈（5，10]．:

例2：已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．

 [解]　因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，

当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；

当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.

例3：已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.

①当时，函数在区间上单调递增，则；

②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

此时，函数在或处取得最大值，由于，

所以，，即，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是，故选D.

针对练习：

1.求下列函数的最小值

（1）y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2）（2）

答案：（1），对称轴为，

故当1≤x≤2时，函数y单调递减，

ymax＝﹣1﹣1+1＝﹣1，ymin＝﹣4﹣2+1＝﹣5，

（2）函数y＝2x﹣2可得函数的定义域为．

方法一：函数y单调递增，

∴y，

方法二：令，解得．

∴y＝f（t）2+tf（0），

∴函数y＝2x﹣2的值域为．

2.函数f(x)＝x2－x＋1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．

[解]　当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝，

①当t≥时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；

②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在其上是减函数，

∴f(x)min＝f(t＋1)＝2＋＝t2＋t＋1；

③当t<<t＋1，即－<t<时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝.

3.已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.

【答案】

【详解】由题易知，即，

所以，

又，

所以.

下证时，在上最大值为3.

当时，，;

当，若，即，

则，满足;

若，即，

此时，

而，满足;

因此，符合题意.

考点四：单调性的应用

命题角度1　利用单调性求参数范围

例1：若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.∪

答案　A

解析　要使f(x)在R上是减函数，需满足：

解得≤a＜.

例2：已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线，

其对称轴左侧的图像是下降的，，故，

因此，实数的取值范围是，故选：D．

例3：已知函数，若fm2f4，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【分析】确定函数的奇偶性，单调性，函数值的取值范围，特别是时，且，这样易解得题设不等式．

【详解】，是偶函数，

时，，时，是增函数，时，是减函数，

且当时，，，

所以由得，．

故答案为：．

命题角度2　用单调性解不等式

例4：　已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围．

解　f(1－a)<f(2a－1)等价于

解得0<a<，

即所求a的取值范围是0<a<.

总结　若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．

命题角度3  不等式比较大小

例5：设函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则       （       ）

A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)

C．f(a2+a)<f(a) D．f(a2+1)<f(a)

【答案】D

【分析】利用排除ABC，作差可知，根据单调性可知D正确.

【详解】当时，选项A、B、C都不正确；

因为，所以，

因为在上为减函数，所以，故D正确.

故选：D

针对练习：

1.若函数，则不等式的解集合是______________

【答案】

【详解】函数在上单调递增，且，

则化为：或，解得或，

所以不等式的解集合是.

故答案为：

2.已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)

A. (－∞，1]    B. (－∞，－1]

C. [－1，＋∞)    D. [1，＋∞)

【答案】A

【解析】由题意知 ，解得 ，故选A.

3.若函数y＝x2＋bx＋c在区间[0，＋∞)上是单调函数，则b的取值范围是(　　)

A. b≥0    B. b≤0  C. b>0    D. b<0

【答案】A

【解析】函数y＝x2＋bx＋c在上单调递减,在上单调递增,又在区间[0，＋∞)上是单调函数，所以,解得b≥0,故选A.

4.若函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

答案：因为函数为上的减函数，所以,

,是减函数，且当时，，故只需满足，解得，故选C.

5.函数在上为增函数，则的取值范围为（       ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】根据的正负性结合对勾函数的单调性进行求解即可.

【详解】当时，函数显然在上为增函数，故符合题意；

当时，根据函数单调性的性质可知：函数在上为增函数，故符合题意；

当时，函数在上单调递增，因此要在上为增函数，

只需，即 ，

综上所述：，

故选：A

考点五：抽象函数

例1：已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为   （       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由于，

令则，即，

则，

由于，则，

即有，

由于对于，都有，

则在上递减，

不等式即为．

则原不等式即为，即有，

即有，即解集为．

故选：D．

例2：已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；

(1)求证：；

(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；

(3)解不等式

（1）

令，得，解得

再令，则

所以

（2）

在上为增函数，证明如下：

设，则，

因为时，

所以

由（1）知

所以

所以在上为增函数.

（3）

因为，

所以，得，

又因为，

所以，

所以

由上可知，是定义在上为增函数

所以，原不等式，

解得，即原不等式的解集为.

考点六：不等式恒成立

例1：已知函数

(1)证明函数在区间上是增函数；

(2)当时，不等式恒成立，求正实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用函数单调性定义证明函数在区间上单调性的方法和步骤直接证明即可.

(2)利用(1)的结论脱去法则“f”，分离参数转化成求函数最值即可得解.

(1)

，，则

，

因，则，于是得，即，

所以在区间上是增函数.

(2)

由得，，

由(1)知，在上单调递增，而，即，，

于是得，依题意，在恒成立，令，则，

即，令，由(1) 知在上单调递增，

当时，，从而得，

所以正实数的取值范围是.

例2：已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞)．

（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）(－3，＋∞).

【分析】（1），利用作差法判断[1，＋∞)上的单调性，即可求得；

（2）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）的最小值大于零，令y＝x2＋2x＋a，求y的最小值即可.

【详解】（1）当a＝时，，

设1≤x1＜x2，则，

∵1≤x1＜x2，

∴2x1x2＞2，2x1x2-1>0，>0，

∴，

∴f（x）在区间[1，＋∞)上为增函数，

∴f（x）在区间[1，＋∞)上的最小值为f（1）＝，

（2）在区间[1，＋∞)上f（x）＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立，

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数，

∴当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，

于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，

故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．