数学人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质精品当堂检测题

这是一份数学人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质精品当堂检测题，文件包含54三角函数的图象与性质原卷版docx、54三角函数的图象与性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

5.4 三角函数的图象与性质

思维导图

新课标要求
1.能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上、正切函数在 上的性质。

知识梳理
一、正弦函数的图象
1．正弦曲线的定义
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．

2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆上点T(x0，sin x0)画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
二、余弦函数的图象
1．余弦曲线的定义
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．

2．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin.
(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
三、周期性
1．函数的周期性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦、余弦函数的周期性
正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.
四、正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
五、正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数
余弦函数
图象


定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在(k∈Z)上单调递增，
在(k∈Z)上单调递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1

六、函数y＝tan x的图象与性质
解析式[来源:学科网]
y＝tan x
图象

定义域

值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在每个开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性
对称中心(k∈Z)

名师导学
知识点1 正弦函数、余弦函数图象的初步认识
解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）函数，的图像与直线的交点的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3

【例1-2】函数y＝sin |x|的图象是(　　)


【变式训练1-1】关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；
②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
【变式训练1-2】（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）函数与函数图像的交点个数是（    ）个
A．5 B．4 C．3 D．2


知识点2 用“五点法”作简图
作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤

【例2-1】用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]．






【变式训练2-1】利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．








知识点3 正弦(余弦)函数图象的应用
利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值．
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集．
(4)根据公式一写出定义域内的解集．

【例3-1】不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]解集为(　　)
A. B.
C. D.
延伸探究
1．在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．



2．试求关于x的不等式





【变式训练3-1】在[0,2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为________．

知识点4 三角函数的周期问题
求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．

【例4-1】（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的周期：
(1)；
(2)；
(3)；






【例4-2】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的最小正周期16，则=___________.
【变式训练4-1】（2022·辽宁·高一期末）的最小正周期为___________.
【变式训练4-2】（2021·全国·高一课时练习）设函数(其中的大致图象如图所示， 则的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

知识点5 三角函数的奇偶性
判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．

【例5-1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin xcos x；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.












【例5-2】（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ）
A． B．1 C．1或-1 D．
【变式训练5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数为偶函数，则的取值可以为（    ）
A． B． C． D．0
【变式训练5-2】（2022·全国·高一课时练习）函数，若，则＝________．


知识点6 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个．

【例6-1】定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
【变式训练6-1】（2022·江苏镇江·高一期末）请写出一个定义域为R，周期为π的偶函数_______．

知识点7 求正弦、余弦函数的单调区间
求正弦、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．

【例7-1】（2022·全国·高一课时练习）函数在上的增区间是（    ）
A． B．
C． D．
【例7-2】（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（    ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）的单调增区间是（    ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】（2022·湖北黄石·高一期末）函数在上的单调递增区间为______．


知识点8 三角函数值的大小比较
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．

【例8-1】比较下列各组数的大小：
(1)sin 220°与sin 230°；
(2)cos 与cos ；
(3)sin与cos.








【例8-2】（2022·全国·高一单元测试）已知定义域为R的函数满足，且在区间上是增函数，若，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-1】比较大小：(1)cos与cos ；
(2)sin 与cos .











【变式训练8-2】（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（    ）
A． B．
C． D．

知识点9 正弦、余弦函数的最值(值域)
三角函数值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．

【例9-1】（2022·全国·高一单元测试）函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
【例9-2】（2022·全国·高一课时练习）若函数在处取得最小值3，那么的值为（    ）
A． B． C． D．
【变式训练9-1】（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
【变式训练9-2】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则当该函数取得最大值时的取值集合是______．
【变式训练9-3】（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．


知识点10 正弦、余弦函数的对称性
正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题，培养直观想象的核心素养．

【例10-1】（2022·全国·高一课时练习）函数图象的一条对称轴是直线，则可以为___________.（写出一个符合题意的值即可）
【例10-2】（2022·陕西西安·高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线
C．是奇函数 D．若，则
【变式训练10-1】（2022·江西上饶·高一阶段练习）函数的图象关于原点对称，则的最大负值为______．
【变式训练10-2】（2022·陕西省商洛中学高一期末）已知函数的图象关于直线对称，则___________．

知识点11 正切函数的图象与性质
1.与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
2.(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．
当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
3.解答正切函数图象与性质问题的注意点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每一个区间
(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增．

【例11-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间为（    ）
A．， B．，
C． ， D． ，
【例11-2】（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【例11-3】（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（    ）
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C． D．在上单调递减
【变式训练11-1】（2022·全国·高一课时练习）函数，的值域为（    ）
A． B． C． D．
【变式训练11-2】（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．是的一个周期 B．
C．的定义域是 D．的图象关于点对称
【变式训练11-3】（2022·全国·高一单元测试）若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______．


名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）与图中曲线对应的函数可能是（    ）

A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象的一个对称轴方程是（    ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江·高一期末）函数为增函数的区间是（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江·杭州四中高一期末）在区间上为减函数，且为奇函数的是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2022·陕西师大附中高一期中）按从小到大排列的顺序为（    ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高一课时练习）若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（    ）
A． B．2 C． D．8
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（    ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
10．（多选）（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列函数是奇函数的有（    ）
A． B． C． D．
11．（多选）（2022·浙江·杭州四中高一期末）下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
12．（多选）（2022·全国·高一课时练习）关于函数的说法中正确的是（    ）
A．定义域是， B．图像关于点对称
C．图像关于直线对称 D．在区间上单调递增
13．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则下列结论中正确的有（    ）
A．函数是奇函数
B．函数的一个周期为
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数图象的对称轴方程为
14．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数单调递增区间为________.
15．（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数______．（注：不是常函数）
①；②．
16．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围为_________．
17．（2022·辽宁营口·高一期末）函数在上单调递增，则取值范围为_____
18．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性并证明；





19．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.








20．（2022·江西省万载中学高一期中）已知函数，，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.


















B组-[素养提升]
1．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为________.
3．（2022·河北保定·高一期末）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.
4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)若，函数的最大值为0，最小值为，求，的值；
(2)当时，函数的最大值为2，求的值.















5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．