八年级上册1 认识无理数优秀教案

导入新课

师:同学们已经上了好多年的学,学过很多的数,同学们能概括一下都学过哪些数吗?

生1:在小学我们学过自然数、小数、分数.

生2:在初一我们还学过负数.

师:对,我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?今天这节课我们就来共同研究这个问题.

教师提问勾股定理与勾股定理逆定理知识点，由学生回答。

唤起学生的知识记忆，以便进入新的学习。

讲授新课

1.提出问题.

师:请同学们四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好吗?

生:好!

(学生非常高兴地投入到活动中.)

师:经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请同学们把自己拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

师:现在我们一齐把大家的做法总结一下:

师:下面再请大家共同思考一个问题,假设拼成的大正方形的边长为a,那么a应满足什么条件呢?

生1:a是正方形的边长,所以a肯定是正数.

生2:因为两个小正方形的面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形的面积公式可知a2=2.

生3:由a2=2可判断a应是1点几.

师:同学们说得都有道理,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,那么a是整数吗?a是分数吗?请大家分组讨论后回答.

生1:我们组的结论是:因为12=1,22=4,32=9,…,可知整数的平方越来越大,所以a应在1和2之间,故a不可能是整数.

生2:因为×=,×=,×=,…,两个相同分数的乘积都为分数,所以a不可能是分数.

师:经过大家的讨论可知,在等式a2=2中,a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数,但在现实生活中确实存在像a这样的数,由此看来,数又不够用了.

2.做一做.

(教师多媒体出示图片)

(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?

(2)设该正方形的边长为b,那么b应满足什么条件呢?

(3)b是有理数吗?

师:请大家先回忆一下勾股定理的内容.

生:在直角三角形中,若两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,则有a2+b2=c2.

师:在这道道题中,两条直角边长分别为1和2,斜边长为b,根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,那么b是有理数吗?请举手回答.

生1:因为22=4,32=9,22<b2<32,所以b在2,3之间,不可能是整数.

生2:没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数.

生3:因为没有一个整数或分数的平方为5,所以b不是有理数.

师:大家分析得很准确,像上面讨论的数a、b都不是有理数.下面我们再来看一个问题:

(教师多媒体出示)

面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?

(1)如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.

(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.

(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?

　　师:事实上,a=1.41421356…是一个无限不循环小数.同样,对于体积为2的正方体,借助计算器,可以得到它的棱长为1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.请同学们把下列各数表示成小数:

学生计算并回答.

师:通过计算,同学们发现了什么?

生:这些数可以用有限小数表示,或者可以用无限循环小数表示.

师:很好!事实上,有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.我们把无限不循环小数称为无理数.我们十分熟悉的圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,因此它也是一个无理数.还有如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1),也是无理数.

三、例题讲解

【例】下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?

3.14,-,0.,0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).

学生实验、合作、交流.

先独立完成,再小组交流结果.

教师启发学生根据上一题，求出这一题的结果，由师生共同完成。

借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近思想。

把探索过程整理成表格展示出来

学生独立练习将自己的思考与小组成员交流，由代表回答。

利用图片的剪拼,调动学生的学习积极性,激发学生对潜在无理数探索的兴趣.

教师通过启发，带领学生动手操作，大大提高学生的课堂参与度，并让学生感受到探索发现的快乐。

让学生自己展示答案，增强学生的成就感，并让学生体会到数学可以是“从做中学”，从实践中探索真理。

教师带领学生回顾上一个探究发现的过程，让学生说出所用的知识点，进一步巩固学习。

从学生熟悉的正方形面积计算公式,以及勾股定理,引导学生推导得出边长,猜测并用计算器探索边长的精确值,进而引出无限不循环小数——无理数,这样经历实验、探索知识的过程,能充分调动学生学习的积极性,培养学生分析问题、概括问题的能力.

学生练习，加深对无理数的理解。

课堂练习

1．下列各数中，是有理数的是(　　)

A．面积为3的正方形的边长    

B．体积为8的正方体的棱长

C．两直角边分别为1和2的直角三角形的斜边长

D．长为3，宽为2的长方形的对角线长

2.下列一组数：-8，2.5，30,π, 0.161616 … ，0.6，0.080 080 008…（相邻两个8之间依次增加一个0），其中无理数有               （　）

A.0个     B.1个     C.2个      D.3个

3．如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积为2，则图中的四条线段中长度是有理数的线段是______________．

4．面积为7的正方形的边长为x.请你回答下列问题：

(1)x的整数部分是多少？

(2)把x的值精确到十分位时是多少？精确到百分位呢？

(3)x是有理数吗？请说明理由．

学生利用所学知识做练习。

从简单的问题入手，运用勾股定理解决问题，让学生在解题过程中掌握勾股定理的应用,达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力和推理论证的能力

课堂小结

通过本节课的学习，你们有什么收获？

学生归纳本节所学内容，并体验核心素养的形成。

通过小结让学生理清本节课的知识结构，感受探究过程中乐趣，体验克服困难的过程，树立学习数学的信心。

板书

1.认识无理数

1.剪拼正方形——等积变形思想方法

2.面积对比,利用计算器探索平方数——无限逼近思想方法

3.任何有限小数或无限循环小数都是有理数

4.无限不循环小数称为无理数