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初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品巩固练习
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这是一份初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品巩固练习，文件包含专题09轴对称中的最值模型问题将军饮马专训原卷版docx、专题09轴对称中的最值模型问题将军饮马专训解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
题型一求两条线段和的最小值
题型二求两条线段差的最大值
题型三求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四最值问题的实际应用
【知识梳理】
将军饮马中最短路径问题四大模型
一两定点在直线的异侧
二两定点在直线的同侧
三两动点一定点问题
四造桥选址问题
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以先行学习第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一求两条线段和的最小值】
【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，，，于点D，1．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6B．7C．7.5D．8.3
2．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，是的两条中线，是线段上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为．
4．（2023·广西防城港·统考三模）如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以每秒的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，，和交于点F．
(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
(2)连接，求t为何值时，；
(3)若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，．
(1)作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹）．
(2)连接，若，的周长是．
①求的长；
②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
【经典例题二求两条线段差的最大值】
【例2】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
【变式训练】
1．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
【经典例题三求三条线段和的最小值（双动点问题）】
【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是( )
A．6B．12C．16D．20
【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．
3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．
【经典例题四最值问题的实际应用】
【例4】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上．
(1)求出的面积；
(2)画出关于直线对称的；
(3)在直线上画出点，使得的值最小．
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线上找出一点，使；
(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；
(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
(1)若，则的度数是___________度；
(2)若．的周长是，
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．
(1)作线段和射线；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作；
(3)在平面内作一点P，使得的和最短．
【重难点训练】
1．（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．12B．8C．10D．20
2．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在中，，，是下方的一动点，记，的面积分别记为，．若，则线段长的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝，在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（ ）
A．136°B．96°C．90°D．84°
6．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．B．2C．D．4
7．（2020秋·广东广州·八年级校考期中）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1B．2C．4D．1.5
8．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在中，，以AC为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交AB，AC于点E，F．若，，点P是直线DE上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．15B．17C．18D．20
9．（2023春·全国·八年级专题练习）在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为．
11．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在中，，点是边上的一动点．已知，现将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则，长度的最小值为．
12．（2023春·八年级课时练习）如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．若，则周长的最小值为．
13．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为．
14（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，，点，分别在射线，上，且，，点，分别是射线，上的动点，求的最小值为．
15．（2022秋·八年级课时练习）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为．
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则图中长度与的最小值相等的线段是．
17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线上找出一点，使；
(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；
(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．
18（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图．
(1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；
(2)若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置；
(3)当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；
(4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处．
19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．
(1)作线段和射线；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作；
(3)在平面内作一点P，使得的和最短．
20．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小．
(1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）；
(2)若不计杂料，所用水管之和为米，且比长米，两村庄购买水管花费元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？
21．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
22．（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
问题1
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
连接AB，与直线l的交点P即为所求。
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。
问题2：将军饮马
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。
化折为直；
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。
问题3：两个动点
作法
图形
原理
点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB
边上找一点D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。
两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。
问题4：造桥选址
作法
图形
原理
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。
将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。
两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。
题型一求两条线段和的最小值
题型二求两条线段差的最大值
题型三求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四最值问题的实际应用
【知识梳理】
将军饮马中最短路径问题四大模型
一两定点在直线的异侧
二两定点在直线的同侧
三两动点一定点问题
四造桥选址问题
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以先行学习第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一求两条线段和的最小值】
【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，，，于点D，1．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6B．7C．7.5D．8.3
2．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，是的两条中线，是线段上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为．
4．（2023·广西防城港·统考三模）如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以每秒的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，，和交于点F．
(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
(2)连接，求t为何值时，；
(3)若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，．
(1)作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹）．
(2)连接，若，的周长是．
①求的长；
②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
【经典例题二求两条线段差的最大值】
【例2】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
【变式训练】
1．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
【经典例题三求三条线段和的最小值（双动点问题）】
【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是( )
A．6B．12C．16D．20
【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．
3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．
【经典例题四最值问题的实际应用】
【例4】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上．
(1)求出的面积；
(2)画出关于直线对称的；
(3)在直线上画出点，使得的值最小．
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线上找出一点，使；
(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；
(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
(1)若，则的度数是___________度；
(2)若．的周长是，
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．
(1)作线段和射线；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作；
(3)在平面内作一点P，使得的和最短．
【重难点训练】
1．（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．12B．8C．10D．20
2．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在中，，，是下方的一动点，记，的面积分别记为，．若，则线段长的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝，在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（ ）
A．136°B．96°C．90°D．84°
6．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．B．2C．D．4
7．（2020秋·广东广州·八年级校考期中）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1B．2C．4D．1.5
8．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在中，，以AC为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交AB，AC于点E，F．若，，点P是直线DE上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．15B．17C．18D．20
9．（2023春·全国·八年级专题练习）在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为．
11．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在中，，点是边上的一动点．已知，现将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则，长度的最小值为．
12．（2023春·八年级课时练习）如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．若，则周长的最小值为．
13．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为．
14（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，，点，分别在射线，上，且，，点，分别是射线，上的动点，求的最小值为．
15．（2022秋·八年级课时练习）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为．
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则图中长度与的最小值相等的线段是．
17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线上找出一点，使；
(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；
(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．
18（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图．
(1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；
(2)若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置；
(3)当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；
(4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处．
19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．
(1)作线段和射线；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作；
(3)在平面内作一点P，使得的和最短．
20．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小．
(1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）；
(2)若不计杂料，所用水管之和为米，且比长米，两村庄购买水管花费元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？
21．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
22．（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
问题1
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
连接AB，与直线l的交点P即为所求。
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。
问题2：将军饮马
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。
化折为直；
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。
问题3：两个动点
作法
图形
原理
点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB
边上找一点D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。
两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。
问题4：造桥选址
作法
图形
原理
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。
将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。
两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。
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