初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形优秀练习题

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专题08等腰三角形、直角三角形中的分类讨论问题专训
【题型目录】
题型一等腰三角形中的分类讨论问题专训
题型二直角三角形中的分类讨论问题专训


【知识梳理】
1、等腰三角形中的分类讨论：
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可．
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论．
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰

方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）

②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）


【经典例题一等腰三角形中的分类讨论问题】
【例1】1．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）
  
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置．
【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，；
②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，；
③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰，
∴符合条件的点C共7个，
故选：D．
  
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在中，，．点P为直线上一动点，并沿直线从右向左移动，若点P与三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，则将点P在直线上进行标记．那么满足条件的点P（不与点B、C重合）的位置有（　　）

A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．
【详解】解：如图：

中，，，
，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形（舍去）；
当与重合时，为等腰三角形（舍去）；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点的位置有6个．
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
2．（2023春·江西抚州·七年级统考期末）如图，在中，，，射线于点D，点M为射线上一点，如果点M满足三角形为等腰三角形，则的度数为．
  
【答案】或或
【分析】根据等腰三角形的性质，得到，分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解，即可得到答案．
【详解】解：，，
平分，
，
①如图1，当时，是等腰三角形，
，
，
，
；
②如图2，当时，是等腰三角形，
；
③如图3，当时，是等腰三角形，
，
，
综上可知，三角形为等腰三角形，的度数为或或，
故答案为：或或．
  
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为．
    
【答案】或或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，
    
由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，
  
，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，
  
∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，
    
∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
4．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期中）如图，在等腰中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点．
  
(1)点运动到图①位置时，，则_________，________；
(2)如图②，当时，求证：
(3)在点的运动过程中，的形状也在变化，判断当是等腰三角形时，等于多少度？（请直接写出结果）
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或

【分析】（1）根据三角形内角和与三角形外角等于与其不相邻两内角的和的关系进行求解即可；
（2）根据全等三角形的性质及判定定理综合运用求解即可；
（3）根据是等腰三角形，分①当，②，③三种情况进行讨论即可．
【详解】（1），
，
又，
，
是等腰三角形，
，
，
所以答案为，；
（2）证明∵，
∴
∵，，
∴
在和中，

∴，
（3）①当时，，
，，
，不与、重合，
；
②当时，，
，
；
③当时，，
，
，
．
综上所述，当是等腰三角形时，度数为或．
【点睛】本题主要考查了三角形动点问题以及全等三角形和等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
5．（2022秋·吉林四平·八年级四平市第三中学校校考期末）如图，在中，，，点D在边上运动（D不与A，B重合），连接，作，交与点E．

(1)当时，若，则　　．
(2)当时，判断的形状，并说明理由．
(3)在点D运动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由见详解
(3)或

【分析】（1）先求出，根据，可得，进而可得，在中，可得，同理可得：，问题随之得解；
（2）由得到，再由，得到，则是直角三角形；
（3）分类讨论：当时，；当时，；当时，；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．
【详解】（1）如图，

∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
同理可得：，
∵，
∴；
（2）∵中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，  
∴是直角三角形；
（3）可以是等腰三角形．理由如下：
①当时，，
∴，
∵，
∴，
②当时，，
∵，
∴，
∴，
③当时，，
即，
∵，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，可以是等腰三角形，此时的度数为或．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、外角的性质以及含角的直角三角形的性质等，关键在于运用数形结合的思想，熟练地运用相关的性质定理，认真地进行计算．



【知识梳理】
2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论．
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成

方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）

【经典例题二直角三角形中的分类讨论问题】
【例2】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（    ）秒时，是直角三角形．

A．5 B．5或 C．5或 D．或
【答案】A
【分析】先证明，，由时间相同，速度相等，证明，可得，利用全等三角形的性质得出，根据，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点从顶点，点从顶点同时出发，它们的速度都是，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在、运动的过程中，不变，，
∵，
∴不可能是直角，
∴只能是是直角，
当是直角，即，
∵，
∴，
∴，
∴当运动时间为5秒时，是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明．
【变式训练】
1．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为（    ）
  
A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7
【答案】D
【分析】由条件可求得，再求出点从点运动到点所需的时间为6秒，然后根据和两种情况，根据当为直角三角形时，只有或，利用含角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：在中，，，，，
∴，
∵点以的速度从点出发，沿着的方向运动，
点从点运动到点所需的时间为秒，
则分以下两种情况：
①当时，，，
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，符合题设；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，符合题设；
②当时，，
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，不符合题设，舍去；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得，符合题设；
综上，的值为2或5或7，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，正确分情况讨论是解题关键．
2．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（    ）秒时，是直角三角形．

A．5 B．5或 C．5或 D．或
【答案】A
【分析】先证明，，由时间相同，速度相等，证明，可得，利用全等三角形的性质得出，根据，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点从顶点，点从顶点同时出发，它们的速度都是，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在、运动的过程中，不变，，
∵，
∴不可能是直角，
∴只能是是直角，
当是直角，即，
∵，
∴，
∴，
∴当运动时间为5秒时，是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明．
3．（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
  
（1）当时，为等腰三角形；
（2）当时，为直角三角形．
【答案】 2或
【分析】（1）先求出，；则当为等腰三角形，为等边三角形，由等边三角形的性质得到，由此建立方程进行求解；
（2）当为直角三角形可分当时和当时两种情况进行求解即可．
【详解】解：（1）∵在中，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
当为等腰三角形时，由于，则为等边三角形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）当时，则，
∴，
∴，
解得；
当时，则，
∴，
则，
解得；
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
4．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E是上一个动点．若是直角三角形，则的度数可以是．

【答案】或
【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的性质可得，再分两种情况：；；进行讨论即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
当时，
，
则：；
当时，
．
故的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线，注意分类思想的应用．

5．（2022秋·四川泸州·八年级四川省泸县第四中学校考期末）如图1，已知等边边长为，点P、Q分别是边上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为．连接交于点M．

(1)求证：；
(2)连接，何时是直角三角形？
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交于点M，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)点P、Q运动到第秒或第秒时，为直角三角形
(3)120°

【分析】（1）由证明即可；
（2）分和两种情况，由含角的直角三角形的性质得出方程，求解即可；
（3）证，得，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1）在等边中，
∵，
又∵点A、B同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴．
（2）设运动时间为t秒，则
①当时，
∵，
∴．
∴，即，解得；
②当时，
∵，
∴．
∴，即，解得；
∴当点P、Q运动到第秒或第秒时，为直角三角形．
（3）∵在等边中，，
∴，
∵点A、B同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．（2019秋·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）阅读材料：
    
如图①，在中，，若，则有；
利用以上结论解决问题：
如图②，等边的边长为，动点P从点B出发，以每秒的速度向点A移动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向点C移动，两动点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止移动．设动点P的移动时间为t秒．
(1)填空： ______（度）；t的取值范围是_____；
(2)试求当t取何值时，的形状是等边三角形；
(3)试求当t取何值时，的形状是直角三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)t的值为4或10

【分析】（1）由等边三角形的性质即可得的度数；动点Q的速度大于动点P的速度，所以动点Q先于动点P到达终点，由点Q的速度及运动距离即可求得其到达终点的时间，从而确定t的范围；
（2）当时，的形状是等边三角形，据此求出此时t的值即可；
（3）分两种情况：时；时，由此建立方程即可求得t的值．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，；
∵动点Q的速度大于动点P的速度，
∴动点Q先于动点P到达终点，点Q到达终点的时间为：（秒）
∴t的范围为：；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴当时，的形状是等边三角形，
由题意：，
∴；
∴，
解得：，
即当t为秒时，的形状是等边三角形；
（3）解：当或时，
∵，
∴由题目材料结论知，的形状是直角三角形；
①当时，即，
得：；
②时，即，
得：；
综上，当t的值为4或10时，的形状是直角三角形．
【点睛】本题是动点问题，考查了等边三角形的性质与判定，解一元一次方程等知识，掌握它们是关键．在解答（3）小题时注意运用题中材料的结论．


【重难点训练】
题型一等腰三角形中的分类讨论问题专训
1．（2023·全国·九年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形底角的度数为（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】在等腰中，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．
【详解】解：在等腰中，为腰上的高，，
当在内部时，如图1，
∵为高，
∴，
∴，
∵，
∴；
当在外部时，如图2，
∵为高，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（    ）．

A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°
【答案】D
【分析】由于中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：当时，如图所示，

，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，

，，
，
平分，
，
，
．
当时，如图所示，

，，
，
平分，
，
，
，
故的度数是：、或，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质及分类讨论的思想求解，本题属于中等题型．
3．（2021秋·河北邢台·八年级统考期末）若以的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点也在的其他边上，则这样的等腰三角形最多能画出（   ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】先以Rt△ABC三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点，也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点．
【详解】解：如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则△BCD是等腰三角形；
如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则△ACD是等腰三角形；
如图，作的垂直平分线，交于点，连接，则△BCD是等腰三角形；
如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，交AB于点F，连接，CF则△BCD、△BCF是等腰三角形；
如图，作的垂直平分线，交于点，连接，则△BCD是等腰三角形；
如图，作的垂直平分线，交于点，连接，△ACD是等腰三角形，
∴符合题意的等腰三角形最多能画个，
故选：D．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．
4．（2022秋·河南三门峡·八年级校考期末）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是______．

【答案】或
【分析】过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，

∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故答案为：或，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（2021秋·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）（1）等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为 ___．
（2）若BD是等腰三角形ABC中一条腰上的高，且∠ABD＝50°，则等腰三角形ABC的顶角的度数为 ___．
【答案】 8或6 40°或100°或140°
【分析】（1）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是12，哪个是9，因此，有两种情况，分类讨论求解即可．
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再分点A是顶角顶点，点A是底角顶点两种情况求解．
【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如图所示，

设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，
∵BD是腰上的中线
∴AD=DC=x
①若AB+AD的长为12，则2x+x=12
解得x=4
∴AB=2x=8；
②若AB+AD的长为9，则2x+x=9
解得x=3
∴AB=2x=6，
故答案为：8或6．
（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，
①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为∠A，是40°；

②如图2，点A是底角顶点时，

顶角∠BCA=180°-40°×2=100°，
③如图3，点A是顶角顶点时，

顶角∠BAC=180°-40°=140°，
综上所述，等腰△ABC的顶角的度数为40°或100°或140°．
故答案为：40°或100°或140°．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据题意分情况讨论．
6．（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在中，，点D 在边上，且，则_____度；
（2）在中，和是的“好好线”，点D在边上，点E 在边上，且，，则的度数为____________．

【答案】或．
【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设，表示出与，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的度数；
（2）设，①当时，利用三角形外角的性质得到，解得，②当时，利用三角形内角和定理得到，解得．
【详解】解：（1），
，
，
，，
设，
则，，
即，
解得，
则，
故答案为：；
（2）设，
①当时，如图：

，
；
②当时，如图：

，
，
所以的度数为或；
故答案为：或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（2022·内蒙古呼和浩特·统考一模）在中，，，，在直线BC上取一点P使得是等腰三角形，则可以考虑点P在线段延长线上和______上的情况；当点P在线段延长线上时，等腰三角形PAB的腰长为______．
【答案】线段BC； 2
【分析】分P在线段BC上和线段的延长线上，按照等腰三角形的边两两相等分三种情况分析即可求解．
【详解】解：可以考虑点P在线段延长线上和线段BC上的情况，如图，

∵由题意可得：在直线BC上取一点P
∴当点P在线段BC上时，等腰三角形，
点P在线段BC延长线时，
等腰三角形，=2
等腰三角形，=2
点P在线段CB延长线上时
等腰三角形，=2
∴当点P在线段延长线上时，等腰三角形PAB的腰长为2
故答案为∶线段BC；2；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，是等腰三角形，平分；点是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，那么的度数是____．
  
【答案】40°、70°或100°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当BC=BD时，③当BC=DC时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴,
∵BP平分，
∴,
①当,即D点在D1处时，此时

；
②当BC=BD时，即D点在D2处时，此时
，
③当BC=DC时，即D点在D3处时，此时
,
综上所述的度数是40°、70°或100°，
故答案为：40°、70°或100°．
  
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．
9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）很多三角形过它一个顶点的一条直线，可把它分成两个小等腰三角形．由此，请你探究如下几个问题．
（1）如图1，在中，，，，直线交于D，求证：与都为等腰三角形；
（2）请你在图2、图3中，分别过一个你认为合适的三角形顶点画出一条直线，把它们各自分成两个小等腰三角形，并在图中标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；

（3）在（1）、（2）中，都是将一个等腰三角形，分成两个小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成两个小等腰三角形吗？若能，请你设计符合上述条件且6个内角度数均不同的两个三角形，并且分别过一顶点画一直线分成两个小等腰三角形；同时标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解．
【分析】（1）根据等边对等角，，易得∠C=72°，∠1=∠2=36°，那么∠BDC=72°，则可得AD=BD=CB，因此△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；
（3）只要所给的三个角中有2个角是2倍关系都可得到等腰三角形．
【详解】（1）证明：在△ABC中，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠ABC =36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形；
（2）解：如下图所示：

（3）解：如下图所示：


【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．
10．（2023春·上海长宁·七年级统考期末）在中，，点代别在上，且，联结交于点．
  
(1)如图1，是底边上的中线，且，
①试说明的理由；
②如果为等腰三角形，求的度数：
(2)如图2，联结并延长，交延长线于点G．如果，，试说明的理由．
【答案】(1)①说明理由见解析；②减45°
(2)说明理由见解析

【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出，利用ASA证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质即可得解；②要使为等腰三角形，只有，所以，得，然后分情况讨论：当时，，；当时，，，进而可以解决问题．
（2）证明，即可解决问题．
【详解】（1）证明：①∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∵是底边上的中线，
∴，
∴．
②根据题意可知：要使为等腰三角形，只有，
∴，
∴，
∵，是底边上的中线，
∴，
设，则，
∵，所以，
显出，
在中，，
∴，
∴，
，
①当时，，．
②当时，，．
综上，减45°．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是得到．
11．（2023春·甘肃白银·七年级统考期末）如图，在等边中，，现有M、N两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M、N两点同时停止运动．
  
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边？（提示：有一个角是的等腰三角形是等边三角形）
(3)当点M、N在边上运动时，是否存在以为底边的等腰？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)M、N运动12秒后，M、N两点重合
(2)点M、N运动4秒后，可得到等边
(3)存在，点M、N运动的时间为16秒

【分析】（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，根据题意，列出方程，解方程求解即可；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边．则，，因为是等边三角形，所以，即，求解即可；
（3）设当点M、N在BC边上运动时，点M、N运动的时间为y秒，是等腰三角形，所以，，由，得，求解即可．
【详解】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合．
根据题意，得，解得．
即M、N运动12秒后，M、N两点重合．
（2）解：如图，设点M、N运动t秒后，可得到等边．
根据题意，得，，
因为是等边三角形，所以，解得，
所以点M、N运动4秒后，可得到等边．
  
（3）解：当点M、N在边上运动时，存在以为底边的等腰．
由（1）知12秒时M、N两点重合，且恰好在顶点C处．
如图，假设是等腰三角形，所以，所以，
所以，因为是等边三角形，所以．
在和中，因为，，，
所以，所以．
设当点M、N在边上运动时，点M、N运动的时间为y秒，是等腰三角形，
  
所以，，由，得，解得．故假设成立．
所以当点M、N在边上运动时，存在以为底边的等腰，此时点M、N运动的时间为16秒．
【点睛】此题是三角形的综合问题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论．
12．（2023春·山东济南·七年级统考期末）在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等）
    
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，若，，是否存在这样的x的值，使得是以为腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，或

【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据平行线的性质定理证明；
（2）根据，求得，然后分、两种情况，列方程解答即可；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，，
①当时，，
解得：，
②当时，，
解得，，
综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于、翻转变换的性质是解题的关键．
13．（2023春·上海杨浦·七年级统考期末）已知在中，，点是边上一点，．
  
(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②当时，或当时，．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，推得，根据等腰三角形的判定即可证明；
（2）①根据三角形内角和可推得，设，则，推得，，即可得到；
②根据等腰三角形的性质进行分类讨论：当时，，推得，，即可求得；
当时，，推得，即可求得；
当时，，，故不存在．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①∵，∴，
∵，∴
设，则．
∴．
∵，
∴，
∴．
②∵是等腰三角形，
∴ⅰ）；ⅱ）；ⅲ），
ⅰ）当时，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
ⅱ）当时，，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴；
ⅲ）当时，，
∵，
∴不存在．
综上所述，当时，或当时，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
14．（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线．
  
(1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线．
(2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
(3)在中，为的等腰分割线，且，，请直接写出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；第二种：等腰的顶角，等腰的顶角；等腰分割见解析
(3)或或

【分析】（1）证明，，从而得出结论；
（2）是腰时，，；是底时，，，可画出图形；
（3）分为，及三种情形，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线；
（2）解：如图1，

第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；
第二种：等腰的顶角，等腰的顶角．
（3）解：如图2，

当，时，，
如图3，

当，时，，
如图4，

当，时，，
综上所述：或或．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类讨论问题，三角形内角和定理，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
15．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，点O是等边内一点，以OC为边作等边三角形OCD，连接OD．
  
(1)求证：；
(2)若，，当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)或或

【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明结论即可；
（2）分、、三种情况，先用表示出三个角的度数，再利用等腰三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
，
，
当时，，则，
∴，
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴，
综上，当为或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、解一元一次方程，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．


题型二直角三角形中的分类讨论问题专训
1．（2020秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（    ）

A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s
【答案】D
【分析】先根据时间和速度确定两动点P和Q的路程：AP＝BQ＝t，根据直角三角形30度的性质得AB的长，分两种情况：当∠APQ＝90°和∠AQP＝90°，根据AQ＝2AP和AP＝2AQ列方程可得结论．
【详解】解：由题意得：AP＝BQ＝t，
Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴AC＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∴当△APQ是直角三角形时，有两种情况：
①当∠APQ＝90°时，如图1，∠AQP＝30°，

∴AQ＝2AP，
∴6﹣t＝2t，
t＝2；
②当∠AQP＝90°时，如图2，

当0＜t≤3时，AP＝2AQ，即t＝2(6﹣t)，
t＝4（不符合题意），
当t＞3时，P与C重合，则AQ＝＝6﹣t，
t＝4.5，
综上，t的值为2s或4.5s；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形中的动点问题，涉及含30°直角三角形的性质，解题的关键是用时间和速度表达出线段的长度，并熟悉直角三角形的性质．
2．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）等边的边长为，点、分别是边、上的动点，点、分别从顶点、同时出发，且速度都是，则经过______秒后，是直角三角形．


【答案】或
【分析】根据题意得出，求出，根据等边三角形的性质得出，①若时，，根据含角的直角三角形的性质得出，得出方程，求出方程的解即可；②若，，根据，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
若时，，
∴，
即，
解得：；
若，
∴，
∴，
即，
解得：，
所以当或时，是直角三角形；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，含30度角的直角三角形，一元一次方程的应用，分情况讨论是解题的关键．
3．（2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，点P是BC边上的动点，设，当为直角三角形时，x的值是______．

【答案】或
【分析】分两种情况讨论：①，②，分别作图利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解出x．
【详解】①当时，如图所示，

在中，

，,

②当时，如图所示，

在中，，


，

故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，等边三角形中，，于点D，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为______．

【答案】或
【分析】由等边三角形的性质可得，由是直角三角形，分两种情况讨论，由含的直角三角形的性质可求的长．
【详解】解：∵是等边三角形，，
∴，，
由折叠可得，
分两种情况：
①若，
∵，
∴，则：，
又∵
∴，
∴，
∴，
②若，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为/s，点N的速度为2/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 _____秒后，可得到直角三角形．

【答案】或或或9
【分析】分点N在，，上运动的三种情况，再分别就和列方程求解可得．
【详解】当点N在上运动时，如图3，

若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
解得；
如图4，若，

由得，
解得；
当点N在上运动时，点M也在上，此时A，M，N不能构成三角形；
当点N在上运动时，
如图5，

当点N位于中点处时，由是等边三角形知，即是直角三角形，
则，
解得；
如图6，

当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当或或或9时，可得到直角三角形．
故答案为：或或或9．
【点睛】此题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的定义与性质、一元一次方程的应用，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
6．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，等边三角形的边长是2，点在等边三角形的边上（除点外），以为一边作等边三角形，顶点、、逆时针排序．若三角形是直角三角形时，则的长度是____________．

【答案】1
【分析】根据等边三角形的性质以及三角形全等的判定可证，再根据是直角三角形，以及三角形内角和定理可求出，然后再根据含直角三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：∵等边三角形的边长是2，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴即，
∴，
∴，，
又∵是直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，含角的直角三角形的三边关系，解题关键是证出．
7．（2022秋·北京顺义·九年级校考期中）如图，在中，，，，点为中点，若动点以1cm/s的速度出发，沿着由的方向运动，设点E运动的时间为秒，连接，当为直角三角形时的值为______．

【答案】2秒或秒．
【分析】先求出的长，再分时，时，利用含的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
当时，而，如图，

∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，则，
∴
当时，如图，

由，，可得，
∴，
∴，
∴，
∴
综上所述，t的值为2秒或秒．
故答案为：2秒或秒．
【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，清晰的分类讨论解本题的关键．
8．（2023·河北·模拟预测）如图，等边三角形的边长为，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿方向匀速运动，点P的速度是，点Q的速度是，当Q到达C点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若为直角三角形，则t的值是___________．

【答案】或3
【分析】用含t的代数式表示出，，再分和两种情况，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，列出等式，即可求解．
【详解】解：等边三角形的边长为，
，，
由题意可知，点Q到达C点所用时间为：，
．
t秒时，，，
若为直角三角形，分以下两种情况：
当时，，
，
，
；
当时，，
，
，
，
综上可知，t的值是或3．
故答案为：或3．
【点睛】本题考查列代数式，等边三角的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是牢记直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，注意分情况讨论，避免漏解．
9．（2022秋·浙江金华·八年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）如图，已知，P点是射线上的一个动点，，

（1）当______时，是直角三角形；
（2）设，则满足______时，是钝角三角形．
【答案】 6或24 或
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，然后分类讨论，根据直角三角形的性质解答；
（2）根据（1）的结论和钝角三角形的定义解答．
【详解】解：（1）当时，，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：6或24；
（2）当或时，为钝角三角形，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，在中，，，若过顶点的一条直线交于点，且，则直线是的关于点的二分割线．如图，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线，则的度数为______．

【答案】或或
【分析】根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论．
【详解】解：如图2所示：，

如图3所示：，

如图所示：，

故答案为：或或．
【点睛】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“△ABC的关于点B的二分割线”是解题的关键．
11．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P从A点出发，以的速度向B运动，同时点Q从B点出发以速度向C运动，当Q点到达点时，两点停止运动．设点P的运动时间为t（），则
  
(1) ___________， ___________；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，是等边三角形？
(3)当t为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)，
(2)2
(3)或3

【分析】（1）根据等边三角形得到，再根据运动方向和速度可列代数式；
（2）根据等边三角形的判定得：，列等式可得的值；
（3）分两种情况：①当时，，则；②当时，，则，分别求出的值．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
，，
故答案为：；
（2）是等边三角形，
，
当时，是等边三角形，
则，
解得：，
当时，为等边三角形；
  
（3）分两种情况：
①如图，当时，
，
，
，
则，
解得：；
  
②如图，当时，
，
，
，
，
解得：，
  
由题意得：，
当或3时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、角的直角三角形的性质、动点运动问题，本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定，要注意直角三角形分情况讨论．
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，．

(1)当_____时，是直角三角形；
(2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度．
【答案】(1)3
(2)2或4
(3)线段长度不变，

【分析】（1）根据等边三角形的性质，当，即为的中点时，是直角三角形，据此求解即可；
（2）分①当时，②当时，根据含30度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程求解即可；
（3）过作，进而证明，可得，问题得解．
【详解】（1）解：依题意，，
当是直角三角形时，，
是等边三角形，
则此时为的中点，
，
，
故答案为：3；
（2）解：依题意，，，
①当时，如图，

是等边三角形，
，，
，则，
在中，，
，
，
即，
解得；
②当时，如图，

同理可得，
即，
解得；
综上所述，当t为或时，是直角三角形；
（3）线段长度不变，理由如下：
如图，过点作，交于点F，

是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
，
，
，
，，
的速度相等，
，
∴，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
13．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在等边中，厘米，厘米．如果点以3厘米/秒的速度运动．

(1)如果点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动．它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等．经过2秒后，和是否全等？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
(3)若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25秒点与点第一次相遇，请直接写出点的运动速度是多少厘米/秒？
【答案】(1)，理由见解析
(2)当运动时间为秒或秒时，是直角三角形
(3)厘米/秒或厘米/秒

【分析】（1）分别求出运动2秒后，的长，然后利用证明即可；
（2）设运动时间为t秒，分别表示和．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：当；当；
（2）点M与点N第一次相遇，有两种可能：点M运动速度快；点N运动速度快．分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题意得，运动2秒后，厘米，厘米，
∴厘米，
∵是等边三角形，
∴，
又∵厘米，厘米，
∴；
（2）解：设运动时间为秒，是直角三角形有两种情况：
当时，
∵，
∴
∴，
∴
解得；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）解：分两种情况讨论：
若点运动速度快，则，解得；
若点运动速度快，则，解得；
综上所述，点N的运动速度为厘米/秒或厘米/秒．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，一元一次方程的应用，解题的关键在于运用分类讨论的思想列出方程求解．
14．（2023春·广东河源·八年级统考期中）如图①，和中，，，且，，的延长线交交于点．

(1)求证：；
(2)当是等边三角形时，求的度数；
(3)如图②，当是直角三角形时，请直接写出的度数为________；如图③，当是任意等腰三角形时，请直接写出与某个内角之间的数量关系为________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)；

【分析】（1）先证明，再根据即可证明；
（2）由，推出，再根据三角形的外角性质即可求解；
（3）同理证明，推出，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
设，交于点，

则，
∴；
（3）解：当是直角三角形时，
同理，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
设，交于点，

则，
∴；
当是任意等腰三角形时，
同理，
∴，
设，交于点，

则，
∴；
故答案为：；．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识与方法，根据等腰三角形的性质得出三角形的两条边相等，据此根据判定证三角形的全等是解题的关键．
15．（2023春·河南郑州·八年级统考阶段练习）如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

(1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在；当M、N运动秒时，点N追上点M；
(2)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
(3)当为直角三角形时，运动时间t的值是
【答案】(1)线段的中点，6
(2)存在，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形
(3)，，，9

【分析】（1）先求解N第一次到达B的时间，可得M的位置，再点M、N运动x秒后，M、N两点重合，可得，再解方程即可；
（2）先证明，可得，再建立方程，即可得到答案；
（3）当点N在上运动时，如图3，若，如图4，当，再利用含的直角三角形的性质列方程即可，当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：当点N第一次到达B点时，，
此时运动了，
∴点M的位置在线段BC的中点，
设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，，
解得：，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M．
（2）当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设是等腰三角形，

∴，
∴．
∴，
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
在和中，
∵，，
∴
∴，
∴，
解得，符合题意．                            
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形．
（3）当点N在上运动时，如图3，
若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，解得．

如图4，当，
同理可得：由得，解得；
当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：
当点N在上运动时，
如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，
即是直角三角形，
则，解得．

如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当，，，9时，可得到直角三角形．
【点睛】本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
16．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．

(1)如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明；
(2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
(3)若，当是直角三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)是等边三角形；见解析
(2)
(3)或

【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；
（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到的长度．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，解得，
∴；
（3）解：的长是或，理由如下：
当时，点在内（如图所示）

∵，
∴，
∴
由折叠得，
∴，
∴，
∴；
当时，点在外，

同理可得，
∴
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
17．（2022秋·天津和平·八年级校考期末）如图1，在中，，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连接，并以为边在射线上方，作等边，连接．

(1)当时，___________；
(2)请添加一个条件：___________，使得为等边三角形；
①如图1，当为等边三角形时，求证：；
②如图2，当点运动到线段之外时，其它条件不变，当为等边三角形，是以为斜边的直角三角形时，请直接写出线段长度．
【答案】(1)
(2)；（答案不唯一）；①见解析；②4

【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，继而由含度角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用含一个角的等腰三角形是等边三角形的判定解答；①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明，从而利用全等三角形的性质求解；②利用等边三角形的性质求得，，，再根据是以为斜边的直角三角形，求得，进而根据含度角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）当时，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵在中，，
∴当时，可得△ABC为等边三角形；
故答案为；（答案不唯一）
①如图1中，

∵与是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴；
②如图2中，

∵与是等边三角形，
∴，，，
∵是以为斜边的直角三角形，即，
又，
∴,
∴,
又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，熟练掌握基本知识点是解题关键．