初中数学苏科版九年级上册2.4 圆周角精品达标测试

这是一份初中数学苏科版九年级上册2.4 圆周角精品达标测试，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题2.15 圆周角（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．下列图形中的角是圆周角的是（    ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形内接于⊙O，若，则的度数是（    ）

A．75° B．105° C．110° D．115°
3．如图，内接于，CD是的直径，，则（    ）

A．70° B．60° C．50° D．40°
4．如图，四边形内接于，连接，，，若，则（    ）

A． B． C． D．
5．如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．
6．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（   ）

A．4 B． C．3 D．
7．如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ）

A． B．4 C．6 D．
9．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
10．如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．中，，，则外接圆半径长为 ．
12．如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 ．
  
13．如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．
  
14．如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则 ．
  
15．如图，已知为的直径，，交于点D，交于点E，．则的度数等于 度．

16．一块直角三角板的 角的顶点 落在 上，两边分别交 于 、 两点，若弦 ，则 的半径为 .  
    
17．如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
  
18．如图，在半径为3的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，则的长度是 ．
  
三、解答题
19．已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E．
（1）求证：．
（2）若，求圆弧所对的圆心角的度数．



20．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结CG，DG
（1）若∠A＝25°，求弧CD的度数；
（2）求证：∠DGC＝2∠BAC；
（3）若⊙O的半径为5，BE＝2，求弦AC的长．







21．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．






22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E.
（1）求证：AB=AC；
（2）若BD=18，DE=2，求CD的长.







23．已知，中，，是上的点，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，连接，，，，若，求，的大小．








24．如图所示，在锐角三角形ABC中，AB>AC，AD⊥BC于点D，以AD为直径的⊙0分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF，
（1）求证：∠EAF+∠EDF=180°.
（2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD=BD时，连接AP，交⊙O于点G，连接DG，设∠EDG=∠α，∠APB=∠β，那么∠α与∠β有何数量关系?试证明你的结论.（在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用（1）的结论进行推理与解答）





























参考答案
1．C
【分析】根据圆周角的定义判断即可．
解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，
选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．
故选C．
【点拨】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角．
2．B
【分析】根据圆内接四边形对角互补进行求解即可．
解：∵四边形内接于⊙O，，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键．
3．C
【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
4．B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可．
解：∵四边形内接于，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∵
∴
故选：B．
【点拨】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．A
【分析】根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．
解：，，


故选：A．
【点拨】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．B
【分析】过点作，交于点，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．
解：过点作，交于点，

是的外接圆，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故选：．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键．
7．C
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．
解：是等边三角形，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．A
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得．
解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
故选A．
【点拨】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
9．A
【分析】先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，然后根据角的和差即可得．
解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．
10．C
【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，

∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
11．3
【分析】根据题意作出图像，利用圆周角定理求出，再根据等边三角形的性质求出的外接圆半径．
解：如图，设的外接圆为，连接、，
  
∵，
∴根据圆周角定理可知，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的外接圆半径是3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查三角形的外接圆、圆周角定理、等边三角形的判定和性质，属于综合题型，解题的关键是证明是等边三角形．
12．35
【分析】由同弧所对的圆周角相等，得再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
解：是所对的圆周角，

是的直径，
，
在中，，
故答案为: ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
13．
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
14．/61度
【分析】如图，连接，证明，求出，可得结论．
解：如图，连接．
  
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
15．23
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出，，再根据圆周角定理得到，则利用互余可计算出，然后计算即可．
解：，，
，
，
为直径，
，
，
．
故答案为：23．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
16．1
【分析】连接、，由题意易得，则有是等边三角形，然后问题可求解．
解：连接OB、OC，如图所示：
  
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，即的半径为1；
故答案为1．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．
【分析】连接，根据弧相等，得到，设出，根据外角的性质得出，进而利用三角形的内角和求出即可解答．
解：连接，
  
弧、、的长相等，
，
设，
，
，
，
在中，，
解得，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
18．
【分析】根据半径为3的中，点A是劣弧的中点，得，，，则，根据得，则，即，即可得，即可得．
解：如图所示，
  
∵半径为3的中，点A是劣弧的中点，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂经定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
19．（1）证明见分析；（2）分别为40°、40°、100°
【分析】（1）连接BE，AD，利用AB是圆的直径，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据是圆的直径可知，从而求出，再根据圆周角定理求解即可；
（1）解：连接，
∵是圆的直径，
∴，

∴是的高，
∵，
∴．
（2）解：∵是圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由圆周角定理得：所对的圆心角的度数是，
所对的圆心角的度数是，
所对的圆心角的度数是
【点拨】本题主要考查了圆的相关知识，掌握直径所对的圆周角是 、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
20．（1）；（2）见分析；（3）
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，得，根据∠A=25°，即得为50°，即可得到；
（2）连接AD，根据弦CD⊥直径AB，可得∠BAC=∠BAD，即∠DAC=2∠BAC，又∠DGC=∠DAC，即可得∠DGC=2∠BAC；
（3）连接OC，由⊙O的半径为5，BE=2，得OC=5，OE=3，AE=8，根据CD⊥AB，得CE2=16，在Rt△ACE中，即可得AC=4
解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴，
∵∠A=25°，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接AD，如图：

∵弦CD⊥直径AB，
∴，
∴∠BAC=∠BAD，
∴∠DAC=2∠BAC，
又∵∠DGC=∠DAC，
∴∠DGC=2∠BAC；
（3）连接OC，如图：

∵⊙O的半径为5，BE=2，
∴OC=5，OE=OB-BE=3，AE=AB-BE=8，
∵CD⊥AB，
∴CE2=OC2-OE2=52-32=16，
在Rt△ACE中，AE2+CE2=AC2，
∴．
【点拨】本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、圆周角定理等圆的性质及熟练运用勾股定理．
21．（1）见分析；（2）DF=2；（3）的最小值为
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD−OF即可；
（3）作C点关于AB的对称点，D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC＋PD的值最小，再计算出∠DO＝120°，作OH⊥D于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值．
解：（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点．
（2）解：，
，
而，
为的中位线，
，
．
（3）解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，则，，
在中，，
，
，
的最小值为．

【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
22．（1）证明如下；（2）
【分析】（1）根据平分，得，根据圆内接四边形的性质，得，平角的性质，等量代换，得，根据同弧所对的圆周角相等，得，再根据等角对等边，即可证明；
（2）过点作于点，得，根据平分，得，再根据，是公共边，得，得到，；又根据，得，得；最后根据，，即可求出的值．
解：（1）∵平分
∴
∵，
∴
∵
∴
∴．
（2）过点作于点
∴
∵平分
∴
∵
∴
又∵是公共边
∴
∴，
又∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴．

【点拨】本题考查圆的综合应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角的性质，全等三角形的判定与性质等．
23．（1）见分析；（2）；
【分析】（1）利用垂径定理证明，再根据即可证明；
（2）先利用圆的内接四边形的性质求出的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等即可求出和的大小．
解：（1）中，，
．
，
．
（2）四边形是圆内接四边形，
．
．
中，，
．
．
，
．
【点拨】本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型．
24．（1）见分析；（2），证明见分析.
【分析】（1）由直径对的圆周角是直角和四边形的内角和是360度可证得∠EAF+∠EDF=180°；
（2）证得△ABD≌△APD后，可得到∠EAG+2∠β=180°，再由（1）可得∠α=2∠β．
解：（1）证明：∵AD是⊙O的直径
∴∠AED=∠AFD=90°
∵∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°
∴∠EAF+∠EDF=180°
（2）解：
证明：∵DP=BD，AD⊥BC
∴AB=AP，∴∠B=∠APB=∠β
由结论（1）可知∠BAP+∠EDG=180°
∵∠BAP+∠B∠APB=180°
∴∠BAP=180°-2∠β
∴180°-2∠β+∠=180°
∴
【点拨】本题考查圆周角定理和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和三角形内角和定理.