专题2.17 圆周角（直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

这是一份专题2.17 圆周角（直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版），共21页。

专题2.17 圆周角（直通中考）（基础练）
【要点回顾】
1.圆周角定理：
　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2.圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
3.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．
一、单选题
1．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
2．（2023·吉林·统考中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（    ）
  
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
4．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）
  
A． B． C． D．
5．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，是的外接圆，若，则（    ）
  
A． B． C． D．
6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）
  
A． B． C． D．
7．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
8．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，是的直径，，则（   ）
  
A． B． C． D．
9．（2023·山西·统考中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
10．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　）
  
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．

12．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则 度．
  
13．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．
  
14．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
  
15．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．
  
16．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，则的度数为 ．
  
17．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ．

18．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，是的直径，点、在上，，则 度．

19．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则 °

20．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 ．

三、解答题
21．（2022·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度．







22．（2018·广西河池·统考中考真题）如图，在中，．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的垂直平分线，垂足为；
②以为圆心，长为半径作圆，交于（异于），连接；
（2） 探究与的位置关系，并证明你的结论．











23．（2013·浙江温州·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA
与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．







24．（2017·山东临沂·中考真题）如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求外接圆的半径.







25．（2016·山东潍坊·中考真题）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
































参考答案
1．C
【分析】由，可得，结合，可得，再利用圆周角定理可得答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点拨】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
2．D
【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
解：∵，，
∴，
∵，
∴的度数可能是
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．A
【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解．
解：∵圆内接四边形中，，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴,
故选：A．
【点拨】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．D
【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：如图，
  
半径互相垂直，
，
所对的圆心角为，
所对的圆周角，
又，
，
故选D．
【点拨】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
5．D
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用半径相等得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
解：如图所示，连接，
  
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
6．A
【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．
解：连接，如图所示：
  
点在上，为的中点，
，
，
，
根据圆周角定理可知，
，
故选：A．
【点拨】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
7．D
【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选D．
  
【点拨】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键．
8．B
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【点拨】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
9．B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
10．A
【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
解：，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．
11．1
【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
解：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点拨】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键．
12．
【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．
解：在中，
，

故答案为：．
【点拨】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．
13．
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
14．4
【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解．
解：∵，
∴对应的圆心角的度数为，
∵，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台；
故答案为：4
【点拨】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
15．35
【分析】由题意易得，，则有，然后问题可求解．
解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为35．
【点拨】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
16．/30度
【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答即可．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
17．40°/40度
【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
18．120
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则．
解：∵ ，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角，
∴，
∴，
故答案为：120．
【点拨】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．
19．62
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得．
解：连接，

∵AB是的直径，
∴，
，
，

故答案为：62
【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
20．30°/30度
【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
解：∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点拨】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
21．（1）△ABC是等腰直角三角形；证明见分析；（2）；
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
解：（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
22．（1）见分析；（2）（或垂直），理由见分析．
【分析】（1）①根据尺规作垂直平分线即可求解；②根据题意即可作圆；
（2）根据圆周角定理即可得到．
（1）解：如图，①作出的垂直平分线
②以点为圆心，长为半径作圆，连接
（2）（或垂直），理由如下:
∵是的直径
∴
∴．

【点拨】此题主要考查尺规作图与圆周角定理，解题的关键是熟知直径所对的圆周角为90°．
23．（1）见分析（2）
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，，可得方程：，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵DC=CB
∴AD=AB
∴∠B=∠D
（2）设BC=x，则AC=x－2，
在Rt△ABC中，，
∴，解得：（舍去）．
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E
∴CD=CE
∵CD=CB，
∴CE=CB=．
24．试题分析：（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．
解：（1）平分，平分，
，
又，，
,.
.
（2） 解：连接，
，
是圆的直径
.，
.
，
，
，
是等腰直角三角形.
，
.
的外接圆的半径为.

考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理
25．（1）详见分析；（2）详见分析
【分析】（1）根据正方形的性质、圆周角定理及平行线的性质可证∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，即可判定四边形EBFD是矩形；
（2）根据正方形的性质可得的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．
解：（1）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
（2）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴的度数是90°，
∴∠AFD=45°，
又∵∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠DFG=45°，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF，
∴BE=DG．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键．