初中数学湘教版九年级上册1.3 反比例函数的应用同步练习题

这是一份初中数学湘教版九年级上册1.3 反比例函数的应用同步练习题，文件包含专题03反比例函数与几何综合问题压轴题七种模型全攻略解析版docx、专题03反比例函数与几何综合问题压轴题七种模型全攻略原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27103" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27103 \h 1
\l "_Tc1196" 【考点一 已知比例系数求特殊图形的面积】 PAGEREF _Tc1196 \h 1
\l "_Tc29099" 【考点二 根据图形面积求比例系数(解析式)】 PAGEREF _Tc29099 \h 3
\l "_Tc16045" 【考点三 反比例函数与三角形的综合问题】 PAGEREF _Tc16045 \h 6
\l "_Tc30487" 【考点四 反比例函数与平行四边形的综合问题】 PAGEREF _Tc30487 \h 12
\l "_Tc7482" 【考点五 反比例函数与矩形的综合问题】 PAGEREF _Tc7482 \h 15
\l "_Tc29598" 【考点六 反比例函数与菱形的综合问题】 PAGEREF _Tc29598 \h 20
\l "_Tc12602" 【考点七 反比例函数与正方形的综合问题】 PAGEREF _Tc12602 \h 24
\l "_Tc9341" 【过关检测】 PAGEREF _Tc9341 \h 27
【典型例题】
【考点一 已知比例系数求特殊图形的面积】
例题：（2023春·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考阶段练习）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ___________ ．
【答案】1
【分析】延长交轴于点，根据反比例函数系数的几何意义求出的面积与的面积，然后相减即可得解．
【详解】解：延长交轴于点．
，，
则
故答案是：1．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点，本题作辅助线把的面积转化为两个三角形的面积的差是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是和设点在图象上，垂直于轴于点，交图象于点，垂直于轴于点，交图象于点，则四边形的面积为_______
【答案】/
【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，，然后利用四边形的面积进行计算．
【详解】
解：轴，轴，
，，
四边形的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
【变式1-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线上的一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会________．（填“逐渐增大”或“不变”或“逐渐减小”）
【答案】逐渐减小
【分析】由双曲线设出点的坐标，运用坐标表示出四边形的面积函数关系式即可判定．
【详解】解：设点的坐标为，
轴于点，点是轴正半轴上的一个定点，
四边形是个直角梯形，
四边形的面积，
是定值，对于，由反比例函数的性质知，
当点的横坐标逐渐增大时，的值也随着减小，从而四边形的面积逐渐减小．
故答案为：逐渐减小．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出四边形的面积的函数关系式．
【考点二 根据图形面积求比例系数(解析式)】
例题：（2023·西藏拉萨·统考一模）如图，一直线经过原点，且与反比例函数相交于点、点，过点作轴，垂足为，连接．若面积为，则___．
【答案】4
【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知、两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值．
【详解】解：反比例函数与正比例函数的图像相交于、两点，
、两点关于原点对称，
，
的面积的面积，
又是反比例函数图像上的点，且轴于点，
的面积，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．
【变式2-1】（2023·山西忻州·统考一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴交于点D，过点A作轴于点C，若，则k=______．
【答案】
【分析】连接，由轴于点C，得出轴，即可得出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出，解得．
【详解】解：连接，
∵过点A作轴于点C，
∴轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了同底等高的三角形面积相等，反比例函数系数k的几何意义，明确是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）如图，反比例函数和的图象在第一象限内分别交矩形的顶点和对角线的中点，则的值为______．
【答案】4
【分析】利用点是线段的中点，利用点的坐标表示点的坐标和点的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可．
【详解】解：设点
则点，点，点
点是线段的中点，
，即
∵点在反比例函数图象上，代入得：
，即
又∵点在反比例函数图象上，
∴代入点得：
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查矩形的性质以及反比例函数，熟练掌握矩形的性质以及运用中点公式整体代入求解的值是解决本题的关键．
【考点三 反比例函数与三角形的综合问题】
例题：（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图象上，且轴于点．若点的坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】首先根据等边三角形的性质得到，进而求出，然后利用角直角三角形的性质求出，然后利用等边三角形的性质得到，利用勾股定理得到，进而得到点B的坐标，然后代入即可求出k的值．
【详解】∵为等边三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点恰好在反比例函数的图象上，
∴，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求得点B的坐标是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．
【答案】/
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去) ，
∴点B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
设BF=n，则点C（2+n，n）．
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去)，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【变式3-2】（2023·山东济南·统考一模）已知在等腰直角三角形中，，，．
(1)如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数上，则______；
(2)如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m；
(3)如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）过C作轴，垂足为D，证明，得到，，即可得到结果；
（2）根据平移得到，，根据函数图像上的点得到，求出m值，再将代入表达式可得；
（3）求出的坐标，求出的表达式，得到与y轴交点坐标，再根据面积关系，作交y轴于点P，求出直线的表达式，得到点P坐标，再由平行线之间的距离的性质得到另一个点P坐标．
【详解】（1）解：如图，过C作轴，垂足为D，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
又，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，代入中，
得；
（2）由平移可得：，，
∵，都在反比例函数上，
∴，
解得：，
即，，
∴；
（3）存在，理由是：由平移可得，
设中点为D，则，即，
设的表达式为，
则，解得：，
∴的表达式为，
令，则，
∴直线与y轴交点为；
∵的面积是面积的一半，
∴作交y轴于点P，
设的表达式为，将D代入，
得，解得：，
∴的表达式为，
令，则，
∴，
∴点关于直线的对称直线与y轴交点为，
即，
综上：点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，图像的平移，一次函数解析式，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，（3）问较为综合，解题的关键是将面积与中点联系起来，结合平行线之间的距离求解．
【考点四 反比例函数与平行四边形的综合问题】
例题：（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为_______．
【答案】6
【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案．
【详解】解：过点A作于，如图，
四边形为平行四边形，
轴，
四边形为矩形，
，
∵，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
【变式4-1】（2023春·山东济南·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，．反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，则________
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，利用平移坐标变化规律求出点C的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点A平移到点B，横坐标减2，纵坐标加1，
根据平行四边形的性质可知，点O平移到点C也是如此，
∴C点坐标为，
代入得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键是熟练运用平行四边形的性质求出反比例图象上点的坐标．
【变式4-2】（2023·河南·模拟预测）如图，平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y（k＞0）的图象上，已知点B的坐标为（8，4），点C的横坐标为2．
(1)求反比例函数y（k＞0）的解析式；
(2)求平行四边形OABC的面积S．
【答案】(1)y
(2)16
【分析】（1）根据题意C（2，），利用平行四边形的性质得到A（6，4），代入y（k＞0）即可求得k＝6；
（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则S△COD＝S△AOE|k|，利用S＝S△COD+S梯形BCDF﹣S△AOE﹣S梯形AEFB＝S梯形BCDF﹣S梯形AEFB即可求得．
【详解】（1）解：∵平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y（k＞0）的图象上，点C的横坐标为2，
∴C（2，），
∵点B的坐标为（8，4），
∴A（6，4），
∴，
解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y．
（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则S△COD＝S△AOE|k|，
∵k＝6，
∴C（2，3），A（6，1），B（8，4），
∴CD＝3，AE＝1，BF＝4，
∴S＝S△COD+S梯形BCDF﹣S△AOE﹣S梯形AEFB
＝S梯形BCDF﹣S梯形AEFB
（3+4）（8﹣2）（1+4）（8﹣6）
＝21﹣5
＝16
【点睛】本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
【考点五 反比例函数与矩形的综合问题】
例题：（2023·广东佛山·石门中学校考一模）如图，矩形ABCD的边轴，顶点A在反比例函数上，点B、D在反比例函数上，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】A
【分析】设点A坐标（m，），分别表示B、D的坐标，用坐标表示长和宽，再求矩形的面积即可．
【详解】解：设A点坐标为（m，），
∵ADx轴，且D在反比例函数（x＞0）上，
∴D（，），
∵ABx轴，且B在反比例函数（x＞0）上，
∴B（m，），
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数，通过设点坐标表示矩形的长和宽是解决本题的关键．
【变式5-1】（2023·广东湛江·校考一模）如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E．
(1)求k的值及直线的解析式；
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，则，由轴对称的性质推出当最小时，的周长最小，即此时三点共线，求出直线的解析式为，再求出当时，，即可得到．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过点D，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，
∴，
由轴对称的性质可知，
∴的周长，
∵是定值，
∴当最小时，的周长最小，即此时三点共线，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称——最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是的中点，过点D的反比例函数图像交于E点，连接．若，．
(1)求过点D的反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)x轴上是否存在点P使为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，或
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，得点坐标，然后再利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）先求点的坐标，得出的长，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据已知先设，然后根据为直角三角形，分两种情况进行讨论：①当时；②当时；然后分别进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
设反比例函数解析式为，
∵点D在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵D为的中点，且，
∴，
∴E点横坐标为8，且E在反比例函数图像上，
在中，令，可得，
∴，
∴，且，
∴；
（3）解：∵P在x轴上，
∴可设，
∵为锐角，
∴当为直角三角形时，有或，且点P在x轴正半轴上，
①当时，则轴，此时P点坐标为；
②当时，由，，
∴，且，，
由勾股定理可得，即，
解得，
∴；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或．
【点睛】此题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关的方法、性质与公式，灵活运用分类讨论的思想方法是解答此题的关键．
【考点六 反比例函数与菱形的综合问题】
例题：（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则的值为__________．
【答案】3
【分析】连接交于，由菱形的性质可知．根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出的值；
【详解】解：连接交于．
四边形是菱形，
，
菱形的面积，
顶点在反比例函数 的图象上，
，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线．
【变式6-1】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且若将该菱形向下平移个单位后，顶点恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为________．
【答案】
【分析】过点C作轴于点D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示和点B向下平移个单位的点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可解题．
【详解】解：过点C作轴于点D，设菱形的边长为a，
在中，
，，
则，，
点B向下平移个单位的点为，即
则有
解得，
∴，
∴反比例函数的表达式为
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，坐标与图形的性质、菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)设点在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．
【答案】(1)y
(2)或
【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值；
（2）设点M的坐标，根据的面积是菱形面积的，列方程解出即可．
【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图1所示．
∵点的坐标为，
，
∵四边形为菱形，
，
三点共线，
∴点坐标为．
∵点在反比例函数y的图象上，
；
∴y；
（2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为y，
设点的坐标为，
的面积是菱形面积的，
，
，
或，
或．
【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形和三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）利用勾股定理及菱形的性质，找出点的坐标；（2）根据反比例函数解析式设点的坐标，列方程解决问题．
【考点七 反比例函数与正方形的综合问题】
例题：（2023·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______．
【答案】4
【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标，再根据反比例函数的图象经过点B，把点B的坐标代入反比例函数，即可求出k的值．
【详解】解：正方形中，
，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质与待定系数法求反比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是本题的关键．
【变式7-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点A，B分别在函数，的图象上，点D，C在x轴上．若四边形为正方形．则点A的坐标是______．
【答案】
【分析】设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，根据点A，B分别在函数，的图象上得，，根据四边形为正方形得，解得，得点A的纵坐标为5，将代入，进行计算即可得．
【详解】解：设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，
∵点A，B分别在函数，的图象上，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴
，
，（舍），
∴点A的纵坐标为5，
将代入得，，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
【变式7-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图像经过点．
(1)点的坐标为 ；
(2)求反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)y
【分析】（1）先求出正方形边长，即可得的坐标；
（2）把的坐标代入，求出值，即可得反比例函数解析式．
【详解】（1）∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
故答案为：
（2）由（1）可得，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式．
【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标和待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是求出， 的坐标和掌握待定系数法．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·北京西城·九年级北京四中校考开学考试）下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：第1个图中，阴影面积为3，故符合题意；
第2个图中，阴影面积为，故不符合题意；
第3个图中，阴影面积为，故符合题意；
第4个图中，阴影面积为，故符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与轴平行，，两点纵坐标分别为，，反比例函数经过，两点，若，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点作，设，，根据的长度，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作，
∵，两点纵坐标分别为，，反比例函数经过，两点，
∴设，，
∴，，
∵
在中，，
即，解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点、在轴上在的左侧，且，连接、，这关于四边形的面积的结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．四边形的面积无法确定
【答案】A
【分析】先证得四边形是平行四边形，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，即可利用即可求解．
【详解】解：连接，
∵点P是函数图象上的一个动点，过点P作轴于D，交函数的图象于点Q，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴轴，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为8，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由于是反比函数上的点，可得出故①正确；当P的横纵坐标相等时，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形的面积为定值，故③正确；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【详解】解：∵是反比函数上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；
∵P是的图像上一动点，
∴矩形的面积为4，
∴，故③正确；
连接，

∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
二、填空题
5．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点，连接，则面积为________．
【答案】3
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解．
【详解】解：点在函数的图象上，轴于点，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，掌握过反比例函数图象上的点向轴或轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积的计算方法是解本题的关键．
6．（2023秋·福建福州·九年级校考期末）如图，是反比例函数的图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积是______．
【答案】6
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：设，
∵轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
7．（2023春·山东济南·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别与反比例函数和的图象交于、两点，若，则的值为______．
【答案】
【分析】由直线轴，得到轴，轴，于是得到，，再根据即可求得的值．
【详解】解：直线轴，
轴，轴，
，，
，，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴或轴作垂线，与原点形成的三角形的面积等于．
8．（2023·河北沧州·校考三模）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接，．若四边形的面积为3，则的值为________．

【答案】
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
【详解】解：的图象均在第一象限，
，
点，均在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
，
矩形的顶点在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围城的矩形的面积是定值．
三、解答题
9．（2023·福建宁德·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点，交于点．

(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）根据正方形的性质得到，再根据点的横坐标相等即可解答．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴
∴把代入得，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，，反比例函数与几何图形的关系，掌握反比例函数与几何图形的关系是解题的关键．
10．（2023·山东淄博·二模）如图，平面直角坐标系中，的边在x轴上，对角线交于点D，函数的图像经过点和点D．

(1)求点D的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)36
【分析】（1）设，先把点坐标代入得，所以反比例函数解析式为；再根据平行四边形的性质和中点坐标公式得到，，则，解方程求出得到点D的坐标；
（2）先求出点B的坐标，再求出的长，最后计算的面积．
【详解】（1）设，
函数的图象经过点，
，
反比例函数解析式为；
点为平行四边形的对角线的交点，
点为的中点，
，
，，
把，代入得，
解得，
点的坐标为；
（2）∵点的坐标为，，
，
，
，
的面积．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解析式．也考查了平行四边形的性质．
11．（2023·河南商丘·统考三模）如图，菱形顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点为．

(1)求的值；
(2)点为反比例函数图象上一个动点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，勾股定理求得，进而根据菱形的性质得出，待定系数法求反比例函数解析式即可求解；
（2）先求得直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，根据题意，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，

点的坐标为，
，，
；
菱形，点在轴上，
，三点共线，
点坐标为，
．
（2）点坐标为，
反比例函数表达式为；
的表达式为．
设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，
，
，
，
解得：舍去，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与结合图形综合，反比例函数与一次函数综合，菱形的性质，坐标与图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12．（2023·江苏苏州·校考二模）如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

(1)求点C的坐标；
(2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点C作轴，交于点H，设，则，根据正方形的性质及各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可确定点C的坐标；
（2）利用（1）中方法确定，由点恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H，

∵，
∴设，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴，
∴；
∴；
（2）解：如图所示，过点D作轴，，，
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形为矩形，

∴，
∴，
∵点恰好落在反比例函数的图象上，
∴当时，，
∴
∴点A向右平移个单位得到点，
∴即；
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质等，求出点的坐标从而确定平移方式是解题关键．
13．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，

∵点，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，

∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
14．（2023·山东济南·统考三模）如图，矩形的顶点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，反比例函数图象经过的中点，且与交于点．

(1)求的值和点的坐标：
(2)连接，，求四边形的面积；
(3)为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出，两点的坐标；不存在，请说明理由．
【答案】(1)的值为6，点的坐标
(2)
(3)存在，，或，；
【分析】由，可得，，则，由的中点，可得，将代入，解得，则反比例函数解析式为，当，，则；
（2）如图，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分①当为平行四边形的边，②当为平行四边形的对角线，两种情况求解：①当为平行四边形的边时，则，且，由，，的纵坐标为0，可知的纵坐标为，令，则，解得，即（舍去）；令，则，解得，即；进而可得；②当为平行四边形的对角线时，，，中点坐标为，设，，则，解得，，，解得，即，．
【详解】（1）解：由，可得，，
∴，
∵的中点，
∴，
将代入，解得，
∴反比例函数解析式为，
当，，
∴，
∴的值为6，点的坐标；
（2）解：如图，

，
∴四边形的面积为；
（3）解：存在，理由如下：
由题意知，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分①当为平行四边形的边，②当为平行四边形的对角线，两种情况求解：
①当为平行四边形的边时，则，且，
∵，，的纵坐标为0，
∴的纵坐标为，
令，则，解得，即（舍去）；
令，则，解得，即；
∴，；
②当为平行四边形的对角线时，，，中点坐标为，
设，，
∴，解得，，
，解得，
∴，；
综上，存在，，或，．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，矩形的性质，平行四边形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，与相交于点E，且点．

(1)求反比例函数的关系式；
(2)求四边形的面积；
(3)若反比例函数的图象与矩形的边交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，若，求直线的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)解析式为
【分析】（1）先根据点D为对角线的中点求出D点坐标，代入反比例函数得出结论；
（2）根据（1）中反比例函数的解析式求出E点坐标，根据即可得出结论；
（3）连接，先求出F点的坐标，再由图形翻折变换的性质得出，根据勾股定理求出的长，进而得出G点坐标，根据，求出H点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数关系式即可．
【详解】（1）解：∵，点D为对角线OB的中点，
∴，
∵点D在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的关系式为：；
（2）解：∵反比例函数的关系式为，四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设点，，
∵反比例函数的图象与矩形的边交于点F，
∴，解得，
∴，
连接，设，则，，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，解得或（舍去），
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得 ，
∴直线的解析式为．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握矩形的性质和待定系数法．