人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列第2课时达标测试

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4.3.2 等比数列的前n项和公式 第2课时 等比数列的前n项和的性质及其应用
A级　基础巩固
1.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn= (　　)
A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1
解析:由数列{an}为等比数列,设其公比为q,则an=2qn-1.又因为数列{an+1}也是等比数列,所以(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1),所以+2an+1=anan+2+an+an+2,又因为=anan+2,所以an+an+2=2an+1,所以an(1+q2-2q)=0,得q=1,所以an=2,所以Sn=2n.
答案:C
2.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,设Sn=-+-+…+-,则Sn= (　　)
A.(2n-1) B.(1-24n)
C.(4n-1) D.(1-2n)
解析:在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,可得an=2n-1.
Sn=-+-+…+-=1-4+16-64+…+42n-2-42n-1=
=(1-42n)=(1-24n).
答案:B
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6= (　　)
A.768 B.769 C.1 024 D.1 025
解析:当n≥1时,an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,
所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,
所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列.
因为a2=3S1=3a1=3,所以an=
所以当n=6时,a6=3×46-2=3×44=768.
答案:A
4.已知{an}是等比数列,若a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(1-4-n).
解析:设数列{an}的公比为q,因为=q3=,所以q=,
所以a1==4,an·an+1=4·n-1·4·n=25-2n.
故a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=23+21+2-1+…+25-2n==(1-4-n).
5.已知{an}为等差数列,前n(n∈N*)项和为Sn,{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.结合q>0,解得q=2,所以bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8,　 ①
由S11=11b4,可得=11b4,则11a6=11b4,a1+5d=16.②
联立①②,解得a1=1,d=3,所以an=3n-2.
所以数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由(1)得,a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,所以a2nb2n-1=(3n-1)×4n.
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, ③
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1. ④
③-④,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)4n+1-8,
所以Tn=×4n+1+,
所以数列{a2nb2n-1}的前n项和为×4n+1+.
B级　拓展提高
6.等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S10∶S5=1∶2,则= (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析:因为数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,
所以S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
因为S10∶S5=1∶2,即S10=S5,
所以等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=-,
所以S15-S10=-(S10-S5)=S5,
所以S15=S5+S10=S5,
所以=.
答案:A
7.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为 (　　)
A.25 B.20 C.15 D.10
解析:因为{an}是正项等比数列,S8-2S4=5,
所以S8-S4=5+S4,且S4,S8-S4,S12-S8也是等比数列,
所以=S4·(S12-S8).
整理得S12-S8==+S4+10≥2+10=20(当且仅当S4=5时,取等号).
因为S12-S8=a9+a10+a11+a12,
所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.
答案:B
8.已知数列{an}的通项公式为an=3n,记数列{an}的前n项和为Sn,若∃n∈N*,使得k≥3n-6成立,则实数k的取值范围为.
解析:因为an=3n,所以Sn==,所以Sn+=.
因为∃n∈N*,使得k≥3n-6,
所以∃n∈N*,使得k≥==,即k≥.
令bn=,则bn+1-bn=-=,
所以当n≤2时,bn+1>bn;当n≥3时,bn+1 所以b1b4>…>0,
所以=b1=-,所以k≥-,
所以实数k的取值范围为.
9.已知数列{an}和{bn},{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,{bn}是各项均为正数的等比数列,且b3=,b1+b2+b3=.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{an-4bn}的前n项和Tn.
解:(1)当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n.
a1=2也适合上式,所以an=2n(n∈N*).
设数列{bn}的公比为q,则q>0,
由题意,得
由②÷①,得30q2-q-1=0,解得q=或q=-(舍去),
可得b1=1,所以bn=b1qn-1=.
(2)设数列{bn}的前n项和为Bn,则Bn===,
所以Tn=Sn-4Bn=n2+n-4×=n2+n-=n2+n-5+.
10.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为Tn,求;
(3)判断数列{3n-an}中是否存在三项成等差数列,并证明你的结论.
解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,即an=2an-1.
因为a1≠0,所以=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n.
(2)因为==4n,所以=4,故数列{}是以4为首项,4为公比的等比数列,从而Tn==(4n-1),而S2n==2(4n-1),所以=.
(3)不存在.证明如下:
假设数列{3n-an}中存在三项成等差数列,不妨设第m,n,k(m 则2(3n-an)=3m-am+3k-ak,
即2(3n-2n)=3m-2m+3k-2k.
因为m 令f(n)=3n-2n(n∈N*),则f(n)=2n·,显然f(n)在N*上是增函数,所以f(k)≥f(n+1),即3k-2k≥3n+1-2n+1,所以2(3n-2n)=3m-2m+3k-2k≥3m-2m+3n+1-2n+1,所以-3n≥3m-2m,其左边为负数,右边为正数,故矛盾,所以数列{3n-an}中不存在三项成等差数列.
C级　挑战创新
11.多选题设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且满足条件a1>1,a1 019·a1 020>1,<0.下列结论正确的有(　　)
A.S1 019 B.a1 019a1 021-1<0
C.T1 020是数列{Tn}中的最大项
D.数列{Tn}中无最大项
解析:当q<0时,a1 019a1 020=q<0,与已知条件矛盾;
当q≥1时,由a1>1,得a1 019>1,a1 020>1,>0,与已知条件矛盾.
故01,0S1 019,A项正确.
a1 019a1 021-1=-1<0,故B项正确.
T1 019是数列{Tn}中的最大项,故C,D项错误.
故选A,B.
答案:AB
12.多选题将n2个数排成一个n行n列的数阵,如图所示.

该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S,下列结论正确的是 (　　)
A.m=3
B.a67=17×37
C.aij=(3i-1)×3j-1
D.S=n(3n+1)(3n-1)
解析:由该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0),且a11=2,a13=a61+1,可得a13=a11m2=2m2,a61=a11+5m=2+5m,所以2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-(舍去),所以选项A正确.
因为a67=a61m6=(2+5×3)×36=17×36,所以选项B错误.
因为aij=ai1mj-1=[a11+(i-1)m]×mj-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以选项C正确.
因为S=(a11+a12+…+a1n)+(a21+a22+…+a2n)+…+(an1+an2+…+ann)=++…+=(3n-1)·=n(3n+1)(3n-1),所以选项D正确.
故选A,C,D.
答案:ACD