高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念优秀课堂检测

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4．1 数列的概念
【题型归纳目录】
题型一：数列的有关概念和分类
题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式
题型三：数列通项公式的简单应用
题型四：递推公式的应用
题型五：前项和公式与通项的关系
题型六：数列单调性的判断
题型七：求数列的最大项与最小项
题型八：周期数列
【知识点梳理】
知识点一、数列的概念
数列概念：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列．
知识点诠释：
（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
数列的项：
数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项．
知识点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号．
类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：
（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；
（2）可重复性：数列中的数可以重复；
（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的．
数列的一般形式：
数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项．
知识点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项．
知识点二、数列的分类
根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．
常数数列：各项相等的数列．
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
知识点三、数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式
如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．
知识点诠释：
（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；
（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的．
如数列：1，0，1，0，1，0，…
它的通项公式可以是，也可以是．
（3）数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项．
（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．
数列的前n项和
数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即；
与的关系
当时；
当时，
故．
知识点四、数列的表示方法
通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．
列表法
相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列．
1
2
…

…


…

…
图象法：
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．
具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
递推公式也是给出数列的一种方法．如：
数列：，1，5，9，13，…，
可用递推公式：，表示．
数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，
可用递推公式：，，表示．
知识点五、数列与函数
（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上．
数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；
（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式．
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．
（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点
数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式．
【方法技巧与总结】
1、判断数列的单调性的方法
（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；
⇔数列是递减数列；
⇔数列是常数列．
（2）作商比较法：ⅰ．当时，则
⇔数列是递增数列；
⇔数列是递减数列；
⇔数列是常数列；
ⅱ．当时，则
⇔数列是递减数列；
⇔数列是递增数列；
⇔数列是常数列．
（3）结合相应函数的图象直观判断：
写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
2、求数列最大（小）项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用，求数列中的最大项；
利用，求数列中的最小项．
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
【典型例题】
题型一：数列的有关概念和分类
例1．（2022·安徽·定远县育才学校高二阶段练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（    ）
A．1，，，，… B．，，，
C．，，，，… D．1，，，…，

例2．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）函数的图象在下列图中并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（    ）
A． B．
C． D．

例3．（2022·全国·高二课时练习）下列有关数列的说法正确的是（    ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列，，与数列，，是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为
D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列

变式1．（2022·江苏·高二专题练习）下列命题中错误的是（    ）
A．是数列的一个通项公式
B．数列通项公式是一个函数关系式
C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示
D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列

变式2．（2022·全国·高二课时练习）现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（    ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

变式3．（2022·全国·高二课时练习）若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述不正确的是（    ）
A．此数列不能用图像表示
B．此数列的图像仅在第一象限
C．此数列的图像为直线
D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点

【方法技巧与总结】
（1）判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
（2）判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外．
题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例4．（2022·河南安阳·高二期中）已知数列的前几项为，，，，…，则的一个通项公式为______．

例5．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））根据图中的5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第个图中有__________个点．


例6．（2022·全国·高二单元测试）数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．

变式4．（2022·全国·高二课时练习）数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式______．

变式5．（2022·全国·高二课时练习）（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______；
（2）数列，，，，…的一个通项公式为=______；
（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______．

变式6．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知无穷数列满足，，，写出的一个通项公式：______.（不能写成分段函数的形式）

变式7．（2022·全国·高二课时练习）题图甲是第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是题图乙所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺线，记，，，…，的长度组成数列，则______．


变式8．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）数列，，，，…的一个通项公式是______．

【方法技巧与总结】
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
（3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号．
（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
题型三：数列通项公式的简单应用
例7．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（文））在数列0，，，…，，…中，是它的第__项．

例8．（2022·全国·高二课时练习）数列，的前5项为______．

例9．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，（，），则______．

变式9．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）已知数列，，，…，，…，则是该数列的第______项．

变式10．（2022·江苏·高二课时练习）在数列中，若，则的值为______．

【方法技巧与总结】
（1）利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
（2）判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
题型四：递推公式的应用
例10．（2022·江苏·高二课前预习）如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有条边.

（1）写出的值.
（2）求出数列的递推公式.




例11．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知数列满足，，则________.

例12．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知数列满足，，则_______.

变式11．（2022·全国·高二课时练习）如果且，则______．

【方法技巧与总结】
递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项．
题型五：前项和公式与通项的关系
例13．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））记数列的前项和为，且，则（    ）
A． B． C． D．

例14．（2022·北京平谷·高二期末）若是数列的前项和，，则的值为（    ）
A．26 B．18 C．22 D．72

例15．（2022·福建·三明一中高二期中）已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

变式12．（2022·北京·北师大二附中高二期中）设数列的前项和，则的值为（    ）
A．15 B．16 C．17 D．18

变式13．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，则（   ）
A． B． C． D．

变式14．（2022·江苏·高二课时练习）如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ）
A．18 B．19 C．20 D．21

变式15．（2022·广东汕头·高二阶段练习）已知数列的前n项和，，则k的值为（    ）
A．2 B． C．1 D．

【方法技巧与总结】
已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式．
题型六：数列单调性的判断
例16．（2022·福建省诏安县桥东中学高二期中）若数列是递增数列，则的通项公式可能是（    ）
A． B．
C． D．

例17．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）在数列中， ， ，则（　　）
A．数列单调递减 B．数列单调递增
C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减

例18．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，则（    ）
A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列

变式16．（2022·湖南师大附中高二期中）数列的通项若是递增数列，则实数t的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

变式17．（2022·上海·高二期中）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

变式18．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

变式19．（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．

变式20．（2022·北京·高二期末）已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【方法技巧与总结】
1、判断数列的单调性的方法
（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；
⇔数列是递减数列；
⇔数列是常数列．
（2）作商比较法：ⅰ．当时，则
⇔数列是递增数列；
⇔数列是递减数列；
⇔数列是常数列；
ⅱ．当时，则
⇔数列是递减数列；
⇔数列是递增数列；
⇔数列是常数列．
题型七：求数列的最大项与最小项
例19．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求数列中的最大项．




例20．（2022·全国·高二课时练习）已知，求数列的最小值.




例21．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)讨论数列的单调性；
(2)求数列的最大项和最小项.




变式21．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，，则该数列是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．




变式22．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)依次写出数列的前项；
(2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项．




变式23．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，.
(1)求证：数列先递增后递减；
(2)求数列中的最大项.




【方法技巧与总结】
可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项．
题型八：周期数列
例22．（2022·甘肃省会宁县第四中学高二期中）已知数列中，，则_________．

例23．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）已知数列中，，，则___________.

例24．（2022·海南省洋浦中学高二期中）已知数列满足,,,则______.

变式24．（2022·北京石景山·高二期末）在数列中，，，，则_________．

变式25．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，，则的值为______．

变式26．（2022·全国·高二期末）设数列满足，，若数列的前n项之积为，则的值为_________．

变式27．（2022·全国·高二单元测试）已知数列满足，若对任意正整数，，则_______．

变式28．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，，则______．

变式29．（2022·湖北·高二阶段练习）数列满足，，则数列的第2020项为__________.

变式30．（2022·湖北·沙市中学高二期末）已知数列满足，则_____________．

【方法技巧与总结】
列举法
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知数列满足，，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京师大附中高二期中）已知数列的首项为2，满足，则（    ）
A．2 B． C． D．
3．（2022·浙江·测试·编辑教研五高二期中）已知数列满足，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建·莆田一中高二期中）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：，，，，，，，，，，，，，这就是著名的斐波那契数列．则该数列的前2022项中奇数的个数是（    ）
A．1012 B．1346 C．1348 D．1350
5．（2022·福建·莆田一中高二期中）数列，则该数列的第n项为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）数列满足，，则（    ）
A． B． C．2 D．3
7．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知数列满足，，则（     ）
A． B． C． D．
8．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二期中）已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）若数列对任意满足，若，则可能是（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）下列数中，是数列中的一项的是（    ）
A．90 B．29 C．30 D．23
11．（2022·全国·高二课时练习）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（    ）
A． B．
C． D．
12．（2022·河北·高二阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，则（    ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022·上海·高二期中）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则an＝_____．
14．（2022·河南·鹤壁高中高二阶段练习）若数列满足，则_____．
15．（2022·江苏·常熟中学高二期中）已加数列满足，若恒成立.则a的取值范围是_________．
16．（2022·福建龙岩·高二期中）已知数列满足，，则________．
四、解答题
17．（2022·山西省浑源中学高二阶段练习）写出下列数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；




18．（2022·甘肃·白银市第九中学高二阶段练习）已知数列 ， ， ，求 .




19．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足．
(1)写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式．




20．（2022·甘肃·高台县第一中学高二期中）已知数列前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.




21．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．