数学选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列优秀随堂练习题

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4．2．2 等差数列的前n项和公式
【题型归纳目录】
题型一：等差数列前项和的有关计算
题型二：等差数列前项和的比值问题
题型三：等差数列前项和的性质
题型四：等差数列前项和的最值问题
题型五：求数列的前项和
题型六：等差数列前n项和公式的实际应用
题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列
题型八：等差数列片段和的性质
题型九：等差数列的奇数项与偶数项和
【知识点梳理】
知识点一、等差数列的前项和公式
等差数列的前项和公式
公式一：
证明：倒序相加法
①
②
①+②：
因为
所以
由此得：
公式二：
证明：将代入可得：
知识点诠释：
①倒序相加是数列求和的重要方法之一．
②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．
知识点二、等差数列的前项和的有关性质
等差数列中，公差为，则
①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．
②若项数为，则，，
③若项数为，则，，，，
知识点三、等差数列中的函数关系
等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数）
等差数列中，，令，则：
（，是常数且为公差）
（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．
（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．
①当时，一次函数单调增，为递增数列；
②当时，一次函数单调减，为递减数列．
等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）
由，令，，则：
（，是常数）
（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点．
（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点．
①当时有最小值
②当时，有最大值
知识点诠释：
1、公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数．
2、（，是常数）是数列成等差数列的充要条件．
3、公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数．
4、（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件．
【方法技巧与总结】
1、等差数列前项和的最值
（1）在等差数列中，
当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定．
（2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值．
【典型例题】
题型一：等差数列前项和的有关计算
例1．（重庆市璧山来凤中学校九校2022届高三上学期联考模拟（二）数学试题）设等差数列的前项和为，若，则（    ）
A．150 B．120 C．75 D．60
【答案】D
【解析】因为也成等差数列，故，同理
因为，所以，故
所以.
故选：D
例2．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）
A．77 B．88 C．99 D．110
【答案】B
【解析】，得，解得，
，得，解得，
故，
.
故选：B
例3．（2022·江苏·盱眙县第二高级中学高二期中）等差数列的前项和为，满足：，则（    ）
A．72 B．75 C．60 D．100
【答案】B
【解析】由可得：
，
故选：B
变式1．（2022·浙江·镇海中学高二期中）等差数列中，已知，，，则n为（    ）
A．58 B．59 C．60 D．61
【答案】C
【解析】由是等差数列，，得
则
即，
故选：C.
变式2．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知等差数列的前3项和为27，，则（    ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
由题意，，
解得，，
所以．
故选：C
【方法技巧与总结】
等差数列中的基本计算
（1）利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
（2）结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用．
题型二：等差数列前项和的比值问题
例4．（2022·江苏省震泽中学高二阶段练习）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列，所以，
所以，
又因为分别是等差数列与的前项和，且，
所以,
故选：.
例5．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.
故选：A
例6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，.则，，所以.
故选：B.
变式3．（2022·全国·高三专题练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为和是等差数列,故
故选:C
变式4．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两等差数列，，前n项和分别是，，满足，
所以.
故选：B
变式5．（2022·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（    ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
【答案】C
【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．
∵a1＝﹣2018，，
∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，
∴2018+2019×1＝1，
∴S2020＝2020．
故选：C．
变式6．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(    )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设的公差为d，
∵
∴，
即{}为等差数列，公差为，
由知，
故﹒
故选：A﹒
【方法技巧与总结】
设，的前项和为，，则．
题型三：等差数列前项和的性质
例7．（2022·四川·成都市新津区成实外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，则（    ）
A．若，，则， B．若，，则，
C．若，，则， D．若，，则，
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
A选项，若，，，，则，
，则，
，无法判断符号，A选项错误.
B选项，，则，
所以，所以.
，则，
所以，，B选项正确.
C选项，若，，，
，则，
，则，
则，，C选项错误.
D选项，若，，则，
当时，所以，
但，所以D选项错误.
故选：B
例8．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））等差数列的前项和为，若，，，则下列结论错误的是（    ）
A． B．
C．数列是递减数列 D．
【答案】D
【解析】由，则，即，
又，故A正确；
，，
则，故，B正确；
由，，即，
所以，数列是递减数列，故C正确；
，D错误.
故选：D
例9．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知等差数列的前n项和为，若，则下列选项不正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】等差数列的前n项和满足，，则，，
所以，，故A，B正确；
由，可知，所以，故C正确；
因为，所以，故D不正确．
故选: D
变式7．（2022·四川成都·高一期中（理））已知等差数列的前项和为，若，且，则使成立的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由
又，所以公差


所以使成立的最大值为
故选：C
变式8．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，满足，则（    ）
A． B．的最小值为
C． D．满足的最大自然数的值为25
【答案】C
【解析】由于 ， ，
∴上式中等差中项， ，即 ，
故A错误；
由等差数列的性质可知 ， ，即 ，
故B错误；
由以上分析可知C正确，D错误；
故选：C.
变式9．（2022·陕西渭南·一模（理））已知数列为等差数列，其前项和为，若，则（    ）
A．12 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解析】因为数列为等差数列，所以，
所以.
故选：B.
变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】方法一：∵∴
∴
∴
，
方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，
故选:B
变式11．（2022·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k的值为（    ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【解析】设等差数列公差为，所以
，
所以可看成关于n的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，可得，解得．
故选：C．
【方法技巧与总结】
利用等差数列前n项和的性质简化计算
（1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；
（2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
题型四：等差数列前项和的最值问题
例10．（2022·陕西·镇巴中学高二期中（文））在等差数列中，，则数列的前项和的最大值为（    ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】因为是等差数列，，
所以，整理得，
又因为，所以；
所以．
故当时，取得最大值．
故选：A.
例11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得，即，解得，
故选：A．
例12．（2022·北京八中高二期中）等差数列中，，，则当前项和最小时，（    ）
A．7 B．8 C．6或7 D．7或8
【答案】C
【解析】设公差为，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以，所以，，
所以，
所以当或时，取得最小值.
故选：C
变式12．（2022·湖南·南县第一中学高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（    ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．2021
【答案】B
【解析】由于等差数列的前项和的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由，可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为,
∴取得最小值时n的值为1011．
故选：
变式13．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二阶段练习（文））等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（    ）
A． B．
C．当时最小 D．时的最小值为
【答案】C
【解析】对于A选项，因为等差数列是递增数列，则，A对；
对于B选项，因为，即，可得，B对；
对于C选项，，
所以，当或时，最小，C错；
对于D选项，，因为，解得，故时的最小值为，D对.
故选：C.
变式14．（2022·全国·高二课时练习）设数列为等差数列，其前n项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，
由解得
∴．
∴当时，取得最大值．
∵对任意都有成立，
∴为数列的最大值，∴．
故选：B.
变式15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，由，得，即，
又，所以，所以，令，可得，
所以数列满足：当时，；当时，；当时，，
所以取得最大值时，的取值为11或12.
变式16．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为.
故选：B
变式17．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（    ）
A．1 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】设数列的公差为，
由已知得，解得，
，
由于，，即时，时，，
所以时，递减，时，递增，其中，
由的表达式得，，，
所时，最小．
故选：D．
变式18．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（    ）
A．2022 B．2021 C．1012 D．1011
【答案】D
【解析】因为等差数列的前项和为，，，
所以，
所以，，
所以，，即等差数列的公差，
所以，时，；时，，
所以，使得前项和取得最大值时的值为.
故选：D
变式19．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前 项和最大，则当时，（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件可知，当时，，，
解得：，因为，
所以，得，
，解得：或（舍）.
故选：D
变式20．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（    ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴取得最大值.
故选：C.
【方法技巧与总结】
（1）等差数列前项和最大（小）值的情形
①若，，则存在最大值，即所有非负项之和．
②若，，则存在最小值，即所有非正项之和．
（2）求等差数列前项和最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
或来寻找．
②运用二次函数求最值．
题型五：求数列的前项和
例13．（2022·河南安阳·高二期中）已知数列的前项和为的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
【解析】（1）因为，
所以当时，，
当时，，
所以，
经检验：满足，
所以.
（2）由（1）可知，令，则，得，
又，所以当时，；当时，；
所以.
例14．（2022·山东青岛·高二期中）已知是数列的前项和，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求.
【解析】（1）
当时，，
当时，，
也符合上式，所以，
（2）因为，所以时，；时，，
当时，，
当时，
.
综上：
例15．（2022·山西省浑源中学高二阶段练习）表示等差数列的前项的和，且，.
(1)求数列的通项及；
(2)求和
【解析】（1）设等差数列的公差为，由可得，
因为，解得，所以，，
.
（2），
当且时，；
当且时，.
综上所述，.
变式21．（2022·江苏·常熟中学高二期中）已知等差数列的前n项和为．公差（其中）．
(1)求m；
(2)求．
【解析】（1）∵是等差数列，，
所以，
解得，
即；
（2）由（1）可知，
∴，
∴


.
变式22．（2022·广东·中山纪念中学高二期中）数列的前项和为，若，点在直线上．
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）因为点在直线上，
所以，
从而，
因为，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列；
故，即    ①，
当时，    ②，
由①②相减可得，，
当时，也满足题意，
故的通项公式为：.
（2）因为，
所以，
当时，；当时，，
由(1)中结论可知，当时，；
当时，，
从而.
【方法技巧与总结】
已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．
题型六：等差数列前n项和公式的实际应用
例16．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．

【答案】153
【解析】因为：1，
，
，
，
；
即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；
所以：；
第9个六边形数为：．
故答案为：153．
例17．（2022·全国·高二课时练习）有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，则到收割完毕需要24h．现在这些收割机是每隔相同的时间依次投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收割完这片土地上的小麦需要______h．
【答案】40
【解析】设这台收割机工作的时间（单位：）依次为，，…，，
依题意，是一个等差数列，且①，②；
由②得，所以③．
将①③联立，解得．
故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要．
故答案为：
例18．（2022·全国·高二课时练习）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为______斤．
【答案】【解析】解法一：设该若干段的质量从大到小构成等差数列，
其公差为d，前n项和为，由题意每4段为1尺，可得，，
∴解得，
，∴中间两段的质量和为．
解法二：设该若干段的质量从大到小构成等差数列，
由题意每4段为1尺，可得，，
两式相加得，则．
故答案为：.
变式23．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．
【答案】9
【解析】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，其公差为3，
所以，解得，
所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．
故答案为：9
变式24．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______.
【答案】
【解析】由题意知，
前99组数共包含
个数，
则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，
即.
故答案为：
变式25．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二阶段练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上､中､下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，均为9环，则三层共有扇面形石板（不含天心石）数量是___________.

【答案】3402
【解析】从上层第一环石板数记为，向外向下石板数依次记为，此数列是等差数列，公差为，首项，三层共27项．
所以和为．
故答案为：3402．
【方法技巧与总结】
（1）与等差数列前项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
（2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．
题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列
例19．（2022·湖南·雅礼中学高二期中）已知数列的前项和为.
(1)证明：.
(2)求数列的通项公式.
【解析】（1）证明：
当时，，

又，故可知
所以
（2）由题意得：
当时，，又因为，故可知
由，可知数列的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为，首项分别为：1，3
当时，
当时，

例20．（2022·全国·高二课时练习）已知一个数列的前项和．
(1)当时，求证：该数列是等差数列；
(2)若数列是等差数列，求满足条件．
【解析】(1)当时，，令，，
所以时，
，
所以，
此时，
所以，
所以，
可得数列是公差为的等差数列.
(2)，
令，得，
所以时，
，
所以，
所以，
可得时，数列是公差为的等差数列，
若数列是等差数列，则，
所以．
例21．（2022·全国·高二）数列的前项和.
（1）判断是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）当时，.
∵适合上式，
∴.
∵为常数，
∴数列是首项为99，公差为-2的等差数列．
（2）由（1），令，得，∵，∴，
即当时，，当时，，
①当时，，此时，∴的前项和.
②当时，，此时，
由，
得数列的前项和
.
由①②得数列的前项和为.
变式26．（2022·云南大理·高二期末）数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【解析】（1）当时，，
，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
（2）由（1）得：，
.
【方法技巧与总结】
（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件．
题型八：等差数列片段和的性质
例22．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知等差数列前项和为，若，则的值为__________.
【答案】0
【解析】依题可知成等差，所以，解得：．
故答案为：0．
例23．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））已知是等差数列的前项和，若，，则__________．
【答案】
【解析】由等差数列性质知：，，成等差数列，
，即，解得：.
故答案为：.
例24．（2022·江苏南通·高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________
【答案】
【解析】由题设成等差数列，
所以，则，
所以.
故答案为：
变式27．（2022·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则______．
【答案】32
【解析】由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得，
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，
解得.
故答案为：32.
变式28．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二阶段练习）已知等差数列的前n项和为．若，，则__________．
【答案】42
【解析】因为数列为等差数列，所以，，也是等差数列．由题意得，，则，所以．
故答案为：
【方法技巧与总结】
连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．
题型九：等差数列的奇数项与偶数项和
例25．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________.
【答案】3
【解析】解:由题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为,
故有
,
两式相减,
因为,
故,
故.
故答案为:3
例26．（2022·河南·高二阶段练习（理））在等差数列中，已知公差，且，则__________.
【答案】145
【解析】等差数列中，已知公差，



.
故答案为：145.
例27．（2022·全国·高二）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
【答案】2
【解析】解:由,得,
所以＝5d＝10，所以d＝2.
故答案为：2.
变式29．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
【答案】29
【解析】因为为奇数，所以，解得．
所以，所以．故所求的中间项为29．
故答案为：29
变式30．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二阶段练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差d为_________.
【答案】5
【解析】设偶数项和为，则奇数项和为，由 可得，
故公差，
故答案为：5．
变式31．（2022·甘肃·武威十八中高二课时练习）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分别为______．
【答案】11，7
【解析】设等差数列项数为，
，
，
∴，解得n=3，∴项数2n+1=7，
又因为，所以，所以中间项为11．
故答案为：11，7.
【方法技巧与总结】
（1）若项数为，则，，
（2）若项数为，则，，，，
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知是等差数列的前项和，若，则（    ）
A．250 B． C．180 D．
【答案】B
【解析】由已知，数列为等差数列， ，
所以.
故选：B.
2．（2022·陕西·无高二期中（理））已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为等差数列，所以成等差数列，
因为，设，
由，即，则，
所以，所以，
所以.
故选：B.
3．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二期中）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（    ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【答案】C
【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A正确；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：C
4．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）在等差数列中，为其前n项和，若，，则其公差为（    ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，，解得，
故选：D.
5．（2022·江苏苏州·高二期中）为等差数列前项和，若，，则使的的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，可得，
而，所以，
，，
可转化为，
即，
即，解得，
而，所以的最大值为11.
故选：C
6．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））设为等差数列的前项和，且,．记，其中表示不超过的最大整数，如，则的值为（    ）
A．11 B．1 C．约等于1 D．2
【答案】B
【解析】，解得：，
所以，，
所以.
故选：B
7．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列与的前n项和分别为，且，则 （    ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】∵数列与均为等差数列，则，
∴，即.
故选：B.
8．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ）
A．230 B．115 C．110 D．100
【答案】B
【解析】，①
，②
两式相加，又因为
故，所以
所以的前20项的和为

故选：B
二、多选题
9．（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（    ）
A． B．
C．数列单调递减 D．对任意，有
【答案】BCD
【解析】，
，，B正确；
而，故无法判断的正负，A错误；
，数列单调递减，C正确；
当时，有最大值，即，D正确.
故选：BCD
10．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】根据题意，可知，且，故A错误，B正确，
因为，所以
，
所以，C正确；
因为，故D错误.
故选：BC
11．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．取得最大值时，
【答案】AB
【解析】由，得即，
又，所以，选项A正确；
由； ，得，选项B正确；
由，得，又，所以，选项C错误；
，令，得，
解得，又，所以，
即数列满足：
当时， ，
当时， ，所以取得最大值时，，选项D错误．
故选：AB．
12．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知等差数列的公差，当且仅当时，的前项和最大，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】当且仅当时，最大，当时，；当时，，
，解得：，
；
；；
；ABD正确；
，则当时，；当时，；当时，；C错误.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2022·浙江·镇海中学高二期中）把自然数按如下规律排列：0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，……，则第2022个数是________.
【答案】63
【解析】设最后一个出现在第个位置，
则，
则，，
第2022个数是63，
故答案为：63
14．（2022·上海·高二专题练习）若等差数列满足，，则当n＝__时，的前n项和最大.
【答案】8
【解析】由等差数列的性质可得，
∴，又，
∴，
∴等差数列数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，
∴等差数列的前8项和最大，
故答案为：8.
15．（2022·广东·深圳中学高二期中）数列的前n项和为，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以

故答案为：
16．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））已知数列满足，，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】，
，
，

，
由累加得
，
所以
，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，且，
或5时最小，
时，；
时，；
所以的最小值为
故答案为：．
四、解答题
17．（2022·江苏·盱眙县第二高级中学高二期中）在等差数列中，已知 且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，，
解得，，
，；
（2）因为，
所以.
18．（2022·陕西西安·高二期中）设为数列的前项和，.
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)判断这个数列是否是等差数列.
【解析】（1）当时，，
当且时，，
也满足，故对任意的，.
（2）对任意的，.
因此，数列为等差数列.
19．（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知为等差数列的前项和，若，．
(1)求；
(2)记，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，
解得 ，
故；
（2）因为，
所以，
故.
20．（2022·宁夏·平罗中学高二期中（理））数列的各项均为正数，，当时，.
(1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，证明：．
【解析】（1）由得
因为数列的各项均为正数，故，
，又
所以是以1为首项，1为公差的等差数列.

即；
（2）由（1）得，
，

，
则，，
即.
21．（2022·河南安阳·高二期中）已知等差数列的各项均不为0，记为前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设（为非零常数），若数列为等差数列，求的值．
【解析】（1）因为是等差数列，，
所以由，得，解得或（舍去），
故.
（2）由（1）得，，则，
所以，，，
因为数列为等差数列，
所以，即，解得或（舍去），
故.