高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 5.2.2 导数的四则运算法则

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。5．2.2　导数的四则运算法则学习目标　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．导语同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容．一、f(x)±g(x)的导数问题1　利用定义求函数的导数的一般步骤是什么？提示　第一步：求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；第二步：求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)；第三步：取极限，得导数y′＝f′(x)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx).问题2　令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？提示　Δy＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx＋Δx＋gx＋Δx))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx＋gx))；eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx＋Δx＋gx＋Δx))－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx＋gx)),Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq \f(gx＋Δx－gx,Δx)，y′＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋\f(gx＋Δx－gx,Δx)))＝f′(x)＋g′(x)．所以有[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．知识梳理两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．例1　求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cos x；(2)y＝lg x－ex.解　(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(cos x)′＝5x4－3x2－sin x.(2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝eq \f(1,xln 10)－ex.反思感悟　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可．跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2＋sin x；(2)g(x)＝x3－eq \f(3,2)x2－6x＋2.解　(1)∵f(x)＝x2＋sin x，∴f′(x)＝2x＋cos x.(2)∵g(x)＝x3－eq \f(3,2)x2－6x＋2，∴g′(x)＝3x2－3x－6.二、f(x)g(x)和eq \f(fx,gx)的导数问题3　你能利用定义求y＝f(x)g(x)的导数吗？提示　第一步：Δy＝f(x＋Δx)g(x＋Δx)－f(x)g(x)；第二步：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq \f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx＋Δx＋fxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)·g(x＋Δx)＋eq \f(gx＋Δx－gx,Δx)·f(x)；第三步：其中eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝f′(x)，eq \o(lim,\s\do6(Δx→0))g(x＋Δx)＝g(x)，eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(gx＋Δx－gx,Δx)＝g′(x)，所以y′＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；所以eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fxgx))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．问题4　对于eq \f(fx,gx)，(g(x)≠0)如何求导？提示　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(\f(fx＋Δx,gx＋Δx)－\f(fx,gx),Δx) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(fx＋Δxgx－fxgx＋Δx,gxgx＋ΔxΔx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(fx＋Δxgx－fxgx＋fxgx－fxgx＋Δx,gxgx＋ΔxΔx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(\f(fx＋Δx－fx,Δx)·gx－\f(gx＋Δx－gx,Δx)·fx,gxgx＋Δx)＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2).知识梳理1．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式．例2　求下列函数的导数：(1)y＝x2＋xln x；(2)y＝eq \f(ln x,x2)；(3)y＝eq \f(ex,x)；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．解　(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·eq \f(1,x)＝2x＋ln x＋1.(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln x,x2)))′＝eq \f(ln x′·x2－ln xx2′,x4)＝eq \f(\f(1,x)·x2－2xln x,x4)＝eq \f(1－2ln x,x3).(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x)))′＝eq \f(ex′x－exx′,x2)＝eq \f(ex·x－ex,x2).(4)方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.反思感悟　利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练2　求下列函数的导数：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；(2)y＝x2＋tan x；(3)y＝eq \f(ex,x＋1).解　(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.(2)因为y＝x2＋eq \f(sin x,cos x)，所以y′＝(x2)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin x,cos x)))′＝2x＋eq \f(cos2x－sin x－sin x,cos2x)＝2x＋eq \f(1,cos2x).(3)y′＝eq \f(ex′x＋1－x＋1′ex,x＋12)＝eq \f(exx＋1－ex,x＋12)＝eq \f(xex,x＋12).三、导数四则运算法则的应用例3　(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝eq \f(4 000,100－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(800)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)A．－1 B．－2 C．2 D．0答案　B解析　∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.5．已知f(x)＝eq \f(1,4)x2＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　)答案　A解析　∵f(x)＝eq \f(1,4)x2＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝eq \f(1,4)x2＋cos x，∴f′(x)＝eq \f(1,2)x－sin x．易知f′(x)＝eq \f(1,2)x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.由f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq \f(π,12)－eq \f(1,2)<0，排除C，故选A.6．(多选)当函数y＝eq \f(x2＋a2,x)(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是(　　)A．a B．0 C．－a D．a2答案　AC解析　y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq \f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq \f(x2－a2,x2)，由xeq \o\al(2,0)－a2＝0得x0＝±a.7．已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．答案　y＝x解析　∵f(x)＝ex·sin x，∴f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－4x，x<0，,－\f(1,x)－ln x，00，所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·eq \f(1,x)，所以f′(1)＝1＋a.又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝－eq \f(1,2)，所以a＝－eq \f(3,2).13．如图，有一个图象是函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于(　　)A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(7,3) D．－eq \f(1,3)或eq \f(5,3)答案　B解析　f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，即f′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由图(3)得对称轴为－eq \f(2a,2)＝－a>0，则a<0，解得a＝－1.故f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq \f(1,3).14．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cos x＋sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为________．答案　1解析　∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))sin x＋cos x，∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1.∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cos x＋sin x，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1.15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.答案　4 096解析　因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212＝4 096.16．已知函数f(x)＝eq \f(ax,x2＋b)，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．解　(1)由题意得f′(x)＝eq \f(ax′x2＋b－axx2＋b′,x2＋b2)＝eq \f(ax2＋b－2ax2,x2＋b2)＝eq \f(－ax2＋ab,x2＋b2)，因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f′1＝\f(－a＋ab,1＋b2)＝0，,f1＝\f(a,1＋b)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，))则f(x)＝eq \f(4x,x2＋1).(2)由(1)可得，f′(x)＝eq \f(－4x2＋4,x2＋12)，所以直线l的斜率k＝f′(x0)＝eq \f(4－4x\o\al(2,0),x\o\al(2,0)＋12)＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x\o\al(2,0)＋12)－\f(1,x\o\al(2,0)＋1)))，令t＝eq \f(1,x\o\al(2,0)＋1)，则t∈(0,1]，所以k＝4(2t2－t)＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2－eq \f(1,2)，则在对称轴t＝eq \f(1,4)处取到最小值－eq \f(1,2)，在t＝1处取到最大值4，所以直线l的斜率k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4)).