高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 5.1.2 第1课时 导数的概念

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。5．1.2　导数的概念及其几何意义第1课时　导数的概念学习目标　1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．导语同学们，经过上节课的学习，我们把物理中的平均速度和瞬时速度对应到了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法，从此也可看出，现实中的瞬时速度实际上是不存在的，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短时间内拍两次，然后看你发生的位移，原理也是极限的思想，但在几何上，曲线的切线斜率却是存在的，今天我们继续研究更一般的问题．一、导数的概念问题　瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？知识梳理1．平均变化率对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．2．导数如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).注意点：(1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数；(2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价．例1　已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01；(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？跟踪训练1　求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．二、导数定义的直接应用例2　求函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数．跟踪训练2　(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　)A．2x B．2 C．2＋Δx D．1(2)已知f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值等于(　　)A．－4 B．2 C．－2 D．±2三、导数在实际问题中的意义例3　(教材P65例2改编)航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？(2)求第2s内的平均速度；(3)求第2s末的瞬时速度．跟踪训练3　一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3t2，0≤t<3,15＋3t－12，t≥3，))求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．1．知识清单：(1)导数的概念．(2)导数定义的直接应用．(3)导数在实际问题中的意义．2．方法归纳：定义法．3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．1．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是(　　)A．0 B．1 C．2 D．Δx2．若函数f(x)可导，则eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f1－Δx－f1,2Δx)等于(　　)A．－2f′(1) B.eq \f(1,2)f′(1)C．－eq \f(1,2)f′(1) D．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)等于(　　)A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)24．已知函数f(x)＝eq \r(x)，则f′(1)＝________.课时对点练1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)A．1 B．－1 C．2 D．－22．已知函数f(x)可导，且满足eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f3－f3＋Δx,Δx)＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　)A．－1 B．－2 C．1 D．23．设函数f(x)在x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b4．已知某质点的运动方程为s＝2t2－t，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在2s末的瞬时速度为(　　)A．3 m/s B．5 m/s C．7 m/s D．9 m/s5．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)等于(　　)A．－2 B．2 C．－1 D．16．(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则eq \o(lim,\s\do6(h→0)) eq \f(fx0＋h－fx0,h)的值(　　)A．与x0有关 B．与h有关C．与x0无关 D．与h无关7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.8．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________.9．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．10．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．11．设f(x)为可导函数，且满足eq \o(lim,\s\do6(x→0)) eq \f(f1－f1－2x,2x)＝－1，则f′(1)为(　　)A．1 B．－1 C．2 D．－212．已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B．f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率13．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝a，则f′(x0)＝________.14．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq \f(f1,f′0)的最小值为________．16．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？