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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
7.5 正态分布（同步练习）
一、选择题
1.设随机变量X的正态密度函数为f(x)＝·e，x∈R，则参数μ，σ的值分别是( )
A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2
C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝
2.已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于( )
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
3.若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100 C. D.
4.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )
A．(90,100] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115]
5.若随机变量X～N(1,22)，则D等于( )
A．4 B．2 C. D．1
6.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5.)
A．0.045 6 B．0.135 9 C．0.271 8 D．0.317 4
7.（多选）对于标准正态分布N(0,1)的正态密度函数f(x)＝·e－，下列说法正确的是( )
A．f(x)为偶函数 B．f(x)的最大值是
C．f(x)在x>0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数
D．f(x)关于x＝1对称
8.（多选）已知正态分布X～N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝·e，x∈R的图象．下列命题正确的是( )
A．对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立
B．如果随机变量X服从X～N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X
D．随机变量X服从X～N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0
二、填空题
9.在某项测量中，测量结果X服从正态分布X～N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________
10.如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________，________，________
11.设ξ～N(2,1)，则P(1<ξ≤3)＝________；P(3<ξ≤4)＝________
12.如图，已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X
三、解答题
13.在一次测试中，测试结果X服从正态分布X～N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X>4)．
14.有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布X～N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
15.某学校的功能室统一使用某品牌的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布ξ～N(μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.
(1)求这种灯管的平均使用寿命；
(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率．
16.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8
附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
参考答案：
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.ABC
8.ABD
解析：如果随机变量X～N(108,100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故C错，画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图所示．由图可得，图象关于x＝μ对称，故A正确，随x的增加F(x)＝P(X
二、填空题
9.答案：0.8 10.答案：①，②，③ 11.答案：0.682 7，0.135 9
12.答案：0.36
解析：因为＝2，所以正态分布密度曲线图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X
三、解答题
13.解：(1)由X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图，
因为P(0
14.解：(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%.
因此尺寸在24～26 mm间的零件大约5 000×2.14%≈107(个)．
∴这批零件中不合格的零件大约有107个．
15.解：(1)因为ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2，所以P(ξ<12)＝0.2，显然P(ξ<12)＝P(ξ≥24)，
由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝＝18，即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月．
(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，
假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B(4,0.2)，
故至少两支灯管需要更换的概率P＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C0.84－C0.83×0.2＝0.180 8.
16.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8
7.5 正态分布（同步练习）
一、选择题
1.设随机变量X的正态密度函数为f(x)＝·e，x∈R，则参数μ，σ的值分别是( )
A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2
C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝
2.已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于( )
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
3.若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100 C. D.
4.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )
A．(90,100] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115]
5.若随机变量X～N(1,22)，则D等于( )
A．4 B．2 C. D．1
6.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5.)
A．0.045 6 B．0.135 9 C．0.271 8 D．0.317 4
7.（多选）对于标准正态分布N(0,1)的正态密度函数f(x)＝·e－，下列说法正确的是( )
A．f(x)为偶函数 B．f(x)的最大值是
C．f(x)在x>0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数
D．f(x)关于x＝1对称
8.（多选）已知正态分布X～N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝·e，x∈R的图象．下列命题正确的是( )
A．对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立
B．如果随机变量X服从X～N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X
D．随机变量X服从X～N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0
二、填空题
9.在某项测量中，测量结果X服从正态分布X～N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________
10.如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________，________，________
11.设ξ～N(2,1)，则P(1<ξ≤3)＝________；P(3<ξ≤4)＝________
12.如图，已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X
三、解答题
13.在一次测试中，测试结果X服从正态分布X～N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X>4)．
14.有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布X～N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
15.某学校的功能室统一使用某品牌的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布ξ～N(μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.
(1)求这种灯管的平均使用寿命；
(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率．
16.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8
附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
参考答案：
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.ABC
8.ABD
解析：如果随机变量X～N(108,100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故C错，画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图所示．由图可得，图象关于x＝μ对称，故A正确，随x的增加F(x)＝P(X
二、填空题
9.答案：0.8 10.答案：①，②，③ 11.答案：0.682 7，0.135 9
12.答案：0.36
解析：因为＝2，所以正态分布密度曲线图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X
三、解答题
13.解：(1)由X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图，
因为P(0
14.解：(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%.
因此尺寸在24～26 mm间的零件大约5 000×2.14%≈107(个)．
∴这批零件中不合格的零件大约有107个．
15.解：(1)因为ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2，所以P(ξ<12)＝0.2，显然P(ξ<12)＝P(ξ≥24)，
由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝＝18，即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月．
(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，
假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B(4,0.2)，
故至少两支灯管需要更换的概率P＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C0.84－C0.83×0.2＝0.180 8.
16.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8
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