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人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教案，共12页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
《等差数列》教学设计
课时1等差数列的概念
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
等差数列的概念
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
【考查内容】
1.等差数列中基本量的计算(知三求二),通常涉及用性质解决等差数列的片段求和等问题
2.求等差数列前n项和的最值
3.依据求与等差数列相关的递推数列的求和问题(如裂项相消求和、分组求和及倒序相加求和)
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
等差数列的性质及应用
逻辑推理
数学运算
等差数列的前n项和公式
逻辑推理
数学运算
等差数列前n项和公式的应用
数学建模
数学运算
一、本节内容分析
本节内容是对等差数列及其前n项和公式的初步探究,主要介绍等差数列的概念、性质及应用;等差数列前n项和公式的性质及应用,这些内容是等差数列的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题,体会等差数列与一元一次函数的关系.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.等差数列的概念
2.等差数列的性质及应用
3.等差数列的前n项和公式
4.等差数列前n项和公式的应用
数学运算
数学建模
逻辑推理
核心素养
二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生已经学习了数列的概念以及表示方法,所以学习本节等差数列是有知识基础的,但是本节知识作为高考数学深入探究考查的一个重点,大部分学生还是会对等差数列的性质应用以及前n项和公式的推导及应用等方面有难度,不仅包括理解上的难度,也有计算上的难度.对前n项和公式的推导上也存在逻辑推理的困难.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等差数列的概念
2.等差数列的性质及应用
3.等差数列的前n项和公式
4.等差数列前n项和公式的应用
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并利用等差数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模核心素养水平.
【教学策略设计】
因为等差数列问题在日常生活中有大量的应用,如存款利息,每日温差等与人们生活关系密切的现实问题,人们解决许多实际问题也需要有关数列的知识.实际教学中可以利用教材中的实际案例作为教学引入,引导学生注意观察数字或图形的变化特征,锻炼逻辑推理核心素养,充分发挥学生自主探究学习的能动性,实现情境教学、先学后教的教学策略,提高学生自主探究的能力,对等差数列及其前n项和有深入的理解和灵活的掌握.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系.
难点:
1.概括通项公式推导过程中体现出的数学思维方法.
2.等差数列前n项和公式推导思路的获得.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,请打开课本,我们上课之前先看一下这两个例子:
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.
2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48.
师:以上两个例子中的数据有什么特点?它们都是数列,但是这两个数列从数据上来看有怎样的特点.
【学生思考,合作交流,回答问题】
师:这都是日常生活中的例子,它们的共性就是这一个数列中每相邻两项差的数值大小都相等,生活中还有很多这样的例子.比如某地垂直地面方向上海拔500以下的大气温度,还有向银行贷款的利息等等.那么具有这种特征的数列叫做什么呢?
【设计意图】
由日常生活中的实例,让学生思考其中的共性,分析数列中数据的特点,由学生自己总结出其中的特点,引出课题.
教学精讲
【要点知识】
发现规律
北京天坛圜丘坛的地面从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.计算一下,从第2项起,每一项与前一项的差都是多少?
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定,从第2项起,每一项与前一项的差都是9】
【设情境 巧激趣】
在具体的问题情境中,学生根据教师列出的数据的特点,发现规律,从而得到本节课重点内容即等差数列的概念,激发学生学习的兴趣.
【要点知识】
等差数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母表示.
师:这就是等差数列的定义,同学们分析一下等差数列数据排列的特点,我们以其中相邻三项为例,你又能发现什么计算上的规律?
生:相邻三项里中间项的值等于前后两项相加再除以2.
师:很好,这其实又是一个数学上的概念,就是等差中项.
【概括理解能力】
教师讲授等差数列概念,学生分析数列特点,总结概括等差中项的特点从而抽象出等差中项的概念,提升概括理解能力.
【要点知识】
等差中项
由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时,叫作与的等差中项,且.
师:由上一节课我们知道数列的三种表示方法:表格、图象、通项公式,当然递推公式也可以表示数列.那等差数列既然是一种特殊数列,它的通项公式又是怎样表示的呢?同学们可以先试着自己把它的递推公式写一下,然后把通项公式表示出来.
生:根据个等式递推公式是.
师:很好,那么再分析整合一下,使通项公式中只含有公差和首项,可以怎样写?
【学生独立思考,推理演算,教师予以肯定】
【要点知识】
等差数列的通项公式
以为首项,为公差的等差数列的通项公式为.若针对数列局部某几项,则有.
师:同学们还记得数列与函数的联系吗?
生:数列是一种特殊函数.
师:而数列的通项公式对应的就是函数的解析式,那现在等差数列的通项公式我们已经知道了,你从中能判断出它和哪一类函数有关吗?
【推测解释能力】
学生能提取相关知识,对其进行直接推理,从等差数列的递推公式中总结出通项公式,知识掌握更牢固,提升推测解释能力.
【教师引导学生思考,自主阅读教材内容,回答问题,教师予以肯定】
【要点知识】
等差数列和函数的对应关系
可化为的形式.当时,是关于的一次函数,即.
师:也就是说,在平面直角坐标系中画出函数的图象,就得到一条斜率为,截距为的直线.那么同学们,再思考一下,等差数列的图象是怎样的?
生:是点图象,位于轴右侧的离散的孤立的点,点的连线是一条直线.
【自主学习】
学生通过阅读教材把数列的通项公式和函数解析式类比,得出等差数列和一次函数相关联的结论,学习等差数列新概念的同时也对一次函数的概念加深了认识.
【要点知识】
等差数列的图象表示
师:观察得到,公差的等差数列的图象是点组成的集合,这些点均匀分布在直线上.反之,任给一次函数(为常数),则,,构成一个等差数列,其首项为,公差为.
【情境学习】
以直观的教学手段来理解数学的抽象,以图象展示等差数列的特点,更能把抽象的等差数列形象地展示出来,有助于学生对知识的理解和掌握.
师:好的,那接下来我们利用通项公式解决等差数列的一些问题.
【典型例题】
通项公式的简单应用
例1 (1)已知等差数列的通项公式为,求的公差和首项;
(2)求等差数列的第20项.
师:在第(1)题中,我们由所给的通项公式,类比,可以直接得到数列的公差是多少?
【同学们积极思考,齐声回答,教师归纳整理,公差是-2】
师:好的,那首项也就可以求出来了.这道题我们也可以根据等差数列的定义写出解答过程:
【教师黑板书写解答过程】
师解:(1)当时,由的通项公式,可得.于是.把代入通项公式,得.所以,的公差为,首项为3.
师:在第(2)题中,我们需要先利用所给已知项求出数列的通项公式,再利用通项公式求第20项.
【引导学生思考,独立完成,完整写出解题过程,教师巡视指导,归纳总结】
师:这个数列的第20项是,同学们要注意把等差数列的通项公式记准确,把过程书写完整.
【简单问题解决能力】
引导学生根据所理解的概念,实际操作,已知等差数列前几项,独立完成,求出通项公式,培养学生简单问题解决能力.
师:接下来我们来看下道例题.
【典型例题】
通项公式的简单应用
例2 是不是等差数列的项?如果是,是第几项?
师:要解决这道题的关键是先求出什么?
生:通项公式.
【引导学生积极思考,独立完成,指定同学发言,教师予以肯定】
师:是这个数列的项,并且是第100项.由以上两道例题,我们知道:由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.其实也就是“知三求一”,在四个基本量中已知其三可求一.
【概括理解能力】
通过等差数列的概念、等差中项以及通项公式的讲授,学生掌握判定数列为等差数列的判定方法,提升了概括理解能力.
师:好的,同学们,通过这节课我们知道了等差数列的概念,等差中项以及等差数列的通项公式,那么反过来我们是不是也得到了怎样判定一个数列是否是等差数列的方法?
【学生总结,教师补充、完善】
【要点知识】
判定数列为等差数列的方法
1.定义法:证明对任意正整数都有等于同一个常数.
2.等差中项法:证明对任意正整数都有后,可递推得出,根据定义得出数列为等差数列.
3.通项公式法:得出为常数)后,得对任意正整数恒成立,根据定义判定数列为等差数列.
师:以上的判定方法,其实又是对等差数列概念的加深理解过程.好了,我们接下来练习一些题目巩固一下.
【巩固练习】
等差数列的概念
1.判断下列数列是否是等差数列.如果是,写出它的公差.
(1);(2);
(3);(4).
2.求下列各组数的等差中项:
(1)647和895;
(2)和.
3.已知是一个等差数列,请在下表中的空格处填入适当的数.
4.已知在等差数列中,.求.
5.在7和21中插入3个数,使这5个数成等差数列.
【分析计算能力】
能够在熟悉的数学问题情境中直接应用数学知识进行列式、计算解决问题.通过巩固练习加深对知识的理解,锻炼分析计算能力.
【整体学习】
教师引导学生对当堂所学知识通过习题进行巩固,培养学生对本节学习内容的整体认识和把握.
师:好的,同学们,本节课我们主要学了等差数列的概念以及通项公式的一些简单应用,本节课的重点概念如下:
【课堂小结】
等差数列的概念
本节课共学习了以下主要内容:
(1)等差数列的概念,即从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个常数叫作公差.
(2)等差中项,即若由三个数组成的等差数列,则中间的数等于前后两项相加除以2.
(3)等差数列的通项公式.
(4)等差数列和一次函数的关系,等差数列的图象是位于轴右侧的直线上的点.
(5)通项公式的简单应用,即“知三求一”,在四个基本量中已知其三可求一.
师:这节课内容还是侧重概念理解的,下一节课我们会在理解概念的基础上学习等差数列的性质,并利用性质解决一些问题.
【设计意图】
本节课通过情境导入,先学后教、自主、整体学习等方式,理解等差数列的概念、通项公式的意义,培养了概括理解、推测解释、简单问题解决能力,提升数学运算,逻辑推理核心素养.
教学评价
等差数列的通项公式和前项和公式本身具有很多性质,有关通项公式和前项和公式的应用问题解法角度会有多个,解决问题需应对解题策略方法有所选择.
应用所学知识,完成下面各题:
1.若数列为等差数列,求.
思路:本题通过等差数列的概念和性质来求解通项公式.
解析:方法一:令数列的首项为,公差为,则即解得
方法二:∵,∴.
方法三:∵为等差数列,,∴解得.
方法四:∵为等差数列,∴为等差数列,
∴,又.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提高学生的学科能力,提升核心素养.
2.等差数列的前项和为,若.
(1)求公差的取值范围;
(2)为何值时,最大,并说明理由.
思路:本题通过利用等差数列的前项和性质求基本量的取值范围和最值.
解析:(1)由
又由,得,代入不等式组,∴解得.
(2)方法一:由(1)知:且数列是递减数列,由得即中最后一个正数项是开始为负数项,∴当时,最大.
方法二:由(1)知:且数列是递减数列,若要最大,需确定数列中最后一个非负数项是第几项.由,即,由,即,∴中最后一个正数项是开始为负数项,∴当时,最大.
方法三:,
∵当最小时,有最大值,
∴当时,,
∴当时,最小,即最大.
方法四:是等差数列,故设,如图所示.
∵,
∴抛物线与轴的另一个交点在与之间.
∴对称轴的位置在6与之间,
易知对应的点与对称轴的距离比对应的点与对称轴的距离要近,故为最高点,最大.
【分析计算能力】
本题为已知等差数列的某两项,来求解通项公式,通过4种不同的方法分析计算.培养学生的类比、分析计算能力.
【简单问题解决能力】
本题为等差数列前n项和的性质及应用,求解公差的取值范围利用的公式即可.求解的最大值,需利用通项公式法和二次函数法提高学生的简单问题解决能力.
教学反思
学完本节,我们应该理解等差数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等差数列的性质,从函数角度出发的单调性以及从图象出发的对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解倒序相加法,掌握前n项和的三种公式,当利用二次函数的性质求最值时,需要注意n为正整数.
【以学定教】
理解等差数列的概念、通项公式、前n项和公式以及其性质和应用,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生学习等差数列概念及性质与应用等知识的实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.
《等差数列》教学设计
课时1等差数列的概念
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
等差数列的概念
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
【考查内容】
1.等差数列中基本量的计算(知三求二),通常涉及用性质解决等差数列的片段求和等问题
2.求等差数列前n项和的最值
3.依据求与等差数列相关的递推数列的求和问题(如裂项相消求和、分组求和及倒序相加求和)
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
等差数列的性质及应用
逻辑推理
数学运算
等差数列的前n项和公式
逻辑推理
数学运算
等差数列前n项和公式的应用
数学建模
数学运算
一、本节内容分析
本节内容是对等差数列及其前n项和公式的初步探究,主要介绍等差数列的概念、性质及应用;等差数列前n项和公式的性质及应用,这些内容是等差数列的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题,体会等差数列与一元一次函数的关系.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.等差数列的概念
2.等差数列的性质及应用
3.等差数列的前n项和公式
4.等差数列前n项和公式的应用
数学运算
数学建模
逻辑推理
核心素养
二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生已经学习了数列的概念以及表示方法,所以学习本节等差数列是有知识基础的,但是本节知识作为高考数学深入探究考查的一个重点,大部分学生还是会对等差数列的性质应用以及前n项和公式的推导及应用等方面有难度,不仅包括理解上的难度,也有计算上的难度.对前n项和公式的推导上也存在逻辑推理的困难.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等差数列的概念
2.等差数列的性质及应用
3.等差数列的前n项和公式
4.等差数列前n项和公式的应用
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并利用等差数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模核心素养水平.
【教学策略设计】
因为等差数列问题在日常生活中有大量的应用,如存款利息,每日温差等与人们生活关系密切的现实问题,人们解决许多实际问题也需要有关数列的知识.实际教学中可以利用教材中的实际案例作为教学引入,引导学生注意观察数字或图形的变化特征,锻炼逻辑推理核心素养,充分发挥学生自主探究学习的能动性,实现情境教学、先学后教的教学策略,提高学生自主探究的能力,对等差数列及其前n项和有深入的理解和灵活的掌握.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系.
难点:
1.概括通项公式推导过程中体现出的数学思维方法.
2.等差数列前n项和公式推导思路的获得.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,请打开课本,我们上课之前先看一下这两个例子:
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.
2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48.
师:以上两个例子中的数据有什么特点?它们都是数列,但是这两个数列从数据上来看有怎样的特点.
【学生思考,合作交流,回答问题】
师:这都是日常生活中的例子,它们的共性就是这一个数列中每相邻两项差的数值大小都相等,生活中还有很多这样的例子.比如某地垂直地面方向上海拔500以下的大气温度,还有向银行贷款的利息等等.那么具有这种特征的数列叫做什么呢?
【设计意图】
由日常生活中的实例,让学生思考其中的共性,分析数列中数据的特点,由学生自己总结出其中的特点,引出课题.
教学精讲
【要点知识】
发现规律
北京天坛圜丘坛的地面从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.计算一下,从第2项起,每一项与前一项的差都是多少?
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定,从第2项起,每一项与前一项的差都是9】
【设情境 巧激趣】
在具体的问题情境中,学生根据教师列出的数据的特点,发现规律,从而得到本节课重点内容即等差数列的概念,激发学生学习的兴趣.
【要点知识】
等差数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母表示.
师:这就是等差数列的定义,同学们分析一下等差数列数据排列的特点,我们以其中相邻三项为例,你又能发现什么计算上的规律?
生:相邻三项里中间项的值等于前后两项相加再除以2.
师:很好,这其实又是一个数学上的概念,就是等差中项.
【概括理解能力】
教师讲授等差数列概念,学生分析数列特点,总结概括等差中项的特点从而抽象出等差中项的概念,提升概括理解能力.
【要点知识】
等差中项
由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时,叫作与的等差中项,且.
师:由上一节课我们知道数列的三种表示方法:表格、图象、通项公式,当然递推公式也可以表示数列.那等差数列既然是一种特殊数列,它的通项公式又是怎样表示的呢?同学们可以先试着自己把它的递推公式写一下,然后把通项公式表示出来.
生:根据个等式递推公式是.
师:很好,那么再分析整合一下,使通项公式中只含有公差和首项,可以怎样写?
【学生独立思考,推理演算,教师予以肯定】
【要点知识】
等差数列的通项公式
以为首项,为公差的等差数列的通项公式为.若针对数列局部某几项,则有.
师:同学们还记得数列与函数的联系吗?
生:数列是一种特殊函数.
师:而数列的通项公式对应的就是函数的解析式,那现在等差数列的通项公式我们已经知道了,你从中能判断出它和哪一类函数有关吗?
【推测解释能力】
学生能提取相关知识,对其进行直接推理,从等差数列的递推公式中总结出通项公式,知识掌握更牢固,提升推测解释能力.
【教师引导学生思考,自主阅读教材内容,回答问题,教师予以肯定】
【要点知识】
等差数列和函数的对应关系
可化为的形式.当时,是关于的一次函数,即.
师:也就是说,在平面直角坐标系中画出函数的图象,就得到一条斜率为,截距为的直线.那么同学们,再思考一下,等差数列的图象是怎样的?
生:是点图象,位于轴右侧的离散的孤立的点,点的连线是一条直线.
【自主学习】
学生通过阅读教材把数列的通项公式和函数解析式类比,得出等差数列和一次函数相关联的结论,学习等差数列新概念的同时也对一次函数的概念加深了认识.
【要点知识】
等差数列的图象表示
师:观察得到,公差的等差数列的图象是点组成的集合,这些点均匀分布在直线上.反之,任给一次函数(为常数),则,,构成一个等差数列,其首项为,公差为.
【情境学习】
以直观的教学手段来理解数学的抽象,以图象展示等差数列的特点,更能把抽象的等差数列形象地展示出来,有助于学生对知识的理解和掌握.
师:好的,那接下来我们利用通项公式解决等差数列的一些问题.
【典型例题】
通项公式的简单应用
例1 (1)已知等差数列的通项公式为,求的公差和首项;
(2)求等差数列的第20项.
师:在第(1)题中,我们由所给的通项公式,类比,可以直接得到数列的公差是多少?
【同学们积极思考,齐声回答,教师归纳整理,公差是-2】
师:好的,那首项也就可以求出来了.这道题我们也可以根据等差数列的定义写出解答过程:
【教师黑板书写解答过程】
师解:(1)当时,由的通项公式,可得.于是.把代入通项公式,得.所以,的公差为,首项为3.
师:在第(2)题中,我们需要先利用所给已知项求出数列的通项公式,再利用通项公式求第20项.
【引导学生思考,独立完成,完整写出解题过程,教师巡视指导,归纳总结】
师:这个数列的第20项是,同学们要注意把等差数列的通项公式记准确,把过程书写完整.
【简单问题解决能力】
引导学生根据所理解的概念,实际操作,已知等差数列前几项,独立完成,求出通项公式,培养学生简单问题解决能力.
师:接下来我们来看下道例题.
【典型例题】
通项公式的简单应用
例2 是不是等差数列的项?如果是,是第几项?
师:要解决这道题的关键是先求出什么?
生:通项公式.
【引导学生积极思考,独立完成,指定同学发言,教师予以肯定】
师:是这个数列的项,并且是第100项.由以上两道例题,我们知道:由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.其实也就是“知三求一”,在四个基本量中已知其三可求一.
【概括理解能力】
通过等差数列的概念、等差中项以及通项公式的讲授,学生掌握判定数列为等差数列的判定方法,提升了概括理解能力.
师:好的,同学们,通过这节课我们知道了等差数列的概念,等差中项以及等差数列的通项公式,那么反过来我们是不是也得到了怎样判定一个数列是否是等差数列的方法?
【学生总结,教师补充、完善】
【要点知识】
判定数列为等差数列的方法
1.定义法:证明对任意正整数都有等于同一个常数.
2.等差中项法:证明对任意正整数都有后,可递推得出,根据定义得出数列为等差数列.
3.通项公式法:得出为常数)后,得对任意正整数恒成立,根据定义判定数列为等差数列.
师:以上的判定方法,其实又是对等差数列概念的加深理解过程.好了,我们接下来练习一些题目巩固一下.
【巩固练习】
等差数列的概念
1.判断下列数列是否是等差数列.如果是,写出它的公差.
(1);(2);
(3);(4).
2.求下列各组数的等差中项:
(1)647和895;
(2)和.
3.已知是一个等差数列,请在下表中的空格处填入适当的数.
4.已知在等差数列中,.求.
5.在7和21中插入3个数,使这5个数成等差数列.
【分析计算能力】
能够在熟悉的数学问题情境中直接应用数学知识进行列式、计算解决问题.通过巩固练习加深对知识的理解,锻炼分析计算能力.
【整体学习】
教师引导学生对当堂所学知识通过习题进行巩固,培养学生对本节学习内容的整体认识和把握.
师:好的,同学们,本节课我们主要学了等差数列的概念以及通项公式的一些简单应用,本节课的重点概念如下:
【课堂小结】
等差数列的概念
本节课共学习了以下主要内容:
(1)等差数列的概念,即从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个常数叫作公差.
(2)等差中项,即若由三个数组成的等差数列,则中间的数等于前后两项相加除以2.
(3)等差数列的通项公式.
(4)等差数列和一次函数的关系,等差数列的图象是位于轴右侧的直线上的点.
(5)通项公式的简单应用,即“知三求一”,在四个基本量中已知其三可求一.
师:这节课内容还是侧重概念理解的,下一节课我们会在理解概念的基础上学习等差数列的性质,并利用性质解决一些问题.
【设计意图】
本节课通过情境导入,先学后教、自主、整体学习等方式,理解等差数列的概念、通项公式的意义,培养了概括理解、推测解释、简单问题解决能力,提升数学运算,逻辑推理核心素养.
教学评价
等差数列的通项公式和前项和公式本身具有很多性质,有关通项公式和前项和公式的应用问题解法角度会有多个,解决问题需应对解题策略方法有所选择.
应用所学知识,完成下面各题:
1.若数列为等差数列,求.
思路:本题通过等差数列的概念和性质来求解通项公式.
解析:方法一:令数列的首项为,公差为,则即解得
方法二:∵,∴.
方法三:∵为等差数列,,∴解得.
方法四:∵为等差数列,∴为等差数列,
∴,又.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提高学生的学科能力,提升核心素养.
2.等差数列的前项和为,若.
(1)求公差的取值范围;
(2)为何值时,最大,并说明理由.
思路:本题通过利用等差数列的前项和性质求基本量的取值范围和最值.
解析:(1)由
又由,得,代入不等式组,∴解得.
(2)方法一:由(1)知:且数列是递减数列,由得即中最后一个正数项是开始为负数项,∴当时,最大.
方法二:由(1)知:且数列是递减数列,若要最大,需确定数列中最后一个非负数项是第几项.由,即,由,即,∴中最后一个正数项是开始为负数项,∴当时,最大.
方法三:,
∵当最小时,有最大值,
∴当时,,
∴当时,最小,即最大.
方法四:是等差数列,故设,如图所示.
∵,
∴抛物线与轴的另一个交点在与之间.
∴对称轴的位置在6与之间,
易知对应的点与对称轴的距离比对应的点与对称轴的距离要近,故为最高点,最大.
【分析计算能力】
本题为已知等差数列的某两项,来求解通项公式,通过4种不同的方法分析计算.培养学生的类比、分析计算能力.
【简单问题解决能力】
本题为等差数列前n项和的性质及应用,求解公差的取值范围利用的公式即可.求解的最大值,需利用通项公式法和二次函数法提高学生的简单问题解决能力.
教学反思
学完本节,我们应该理解等差数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等差数列的性质,从函数角度出发的单调性以及从图象出发的对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解倒序相加法,掌握前n项和的三种公式,当利用二次函数的性质求最值时,需要注意n为正整数.
【以学定教】
理解等差数列的概念、通项公式、前n项和公式以及其性质和应用,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生学习等差数列概念及性质与应用等知识的实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.
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