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第十五章分式学案2023-2024学年人教版数学八年级上册
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2023-2024学年人教版数学八年级上册第十五章分式导学案
做前须知
1、分式的概念
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则
3、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
4、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
5、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
练习题部分
一、选择题：
1．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A． ﹣ =100 B． ﹣ =100
C． ﹣ =100 D． ﹣ =100
2．计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
3．下列各式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．在分式中，把的值分别变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的2倍
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
5．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的分式方程＝1有增根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．5 C．1 D．3
7．下面是一位同学做分式运算的过程，M，N代表代数式，则下列关于M、N的式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
9．分式方程 的解为
10．已知方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ．
11．甲、乙两同学的家与学校的路程均为3000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校（到达公交站立刻有公交车），乙同学骑自行车去学校．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟，若甲同学到达学校时，乙同学到学校的路程还有x米，则x的值为 ．
12．关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
13．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
三、解答题：
14．解方程： ．
15．先化简，再求值： ，其中 ， ．
16．已知：，先化简A，再从不等式组x−3(x−2)≥2①4x−2<5x−1②的解集中取一个合适的值代入，求A的值．
17．每年的4月23日，是“世界读书日”.据统计，“幸福家园小区”1号楼的住户一年内共阅读纸质图书460本，2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本，1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人，且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同.求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本？
18．某公司拟为贫困山区建一所希望小学，甲、乙两个工程队提交了投标方案，若独立完成该项目，则甲工程队所用时间是乙工程队的1.5倍；若甲、乙两队合作完成该项目，则共需72天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）若由甲工程队单独施工，平均每天的费用为0.8万元，为了缩短工期，该公司选择了乙工程队，但要求其施工的总费用不能超过甲工程队，求乙工程队平均每天的施工费用最多为多少万元？
参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．A
9．6
10．
11．600
12．3
13．2
14．解： ，
，
1+2（x﹣2）＝﹣x，
1+2x﹣4＝﹣x，
2x+x＝4﹣1，
3x＝3，
x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根
15．解：原式
将 ， 代入上式，得：原式
16．解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为
∵由题意得或0
∴可取代入，则
17．解：设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x本.
由题意，得 .
解得 x＝4.6.
经检验，x＝4.6是原方程的解，且符合题意.
答：这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本
18．（1）解：设乙单独完成建校工程需x天，则甲单独完成建校工程需1.5x天，
x=120
经检验x=120是原方程的解，
1.5x=180
答：甲单独完成建校工程需180天，乙单独完成建校工程需120天.
（2）解：设乙工程队平均每天的施工费用为a万元，
120a≤0.8×180
a≤1.2
∵a取最大值，
∴a=1.2，
答：乙工程队平均每天的施工费用最多1.2万元．
2023-2024学年人教版数学八年级上册第十五章分式导学案
做前须知
1、分式的概念
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则
3、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
4、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
5、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
练习题部分
一、选择题：
1．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A． ﹣ =100 B． ﹣ =100
C． ﹣ =100 D． ﹣ =100
2．计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
3．下列各式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．在分式中，把的值分别变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的2倍
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
5．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的分式方程＝1有增根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．5 C．1 D．3
7．下面是一位同学做分式运算的过程，M，N代表代数式，则下列关于M、N的式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
9．分式方程 的解为
10．已知方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ．
11．甲、乙两同学的家与学校的路程均为3000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校（到达公交站立刻有公交车），乙同学骑自行车去学校．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟，若甲同学到达学校时，乙同学到学校的路程还有x米，则x的值为 ．
12．关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
13．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
三、解答题：
14．解方程： ．
15．先化简，再求值： ，其中 ， ．
16．已知：，先化简A，再从不等式组x−3(x−2)≥2①4x−2<5x−1②的解集中取一个合适的值代入，求A的值．
17．每年的4月23日，是“世界读书日”.据统计，“幸福家园小区”1号楼的住户一年内共阅读纸质图书460本，2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本，1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人，且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同.求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本？
18．某公司拟为贫困山区建一所希望小学，甲、乙两个工程队提交了投标方案，若独立完成该项目，则甲工程队所用时间是乙工程队的1.5倍；若甲、乙两队合作完成该项目，则共需72天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）若由甲工程队单独施工，平均每天的费用为0.8万元，为了缩短工期，该公司选择了乙工程队，但要求其施工的总费用不能超过甲工程队，求乙工程队平均每天的施工费用最多为多少万元？
参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．A
9．6
10．
11．600
12．3
13．2
14．解： ，
，
1+2（x﹣2）＝﹣x，
1+2x﹣4＝﹣x，
2x+x＝4﹣1，
3x＝3，
x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根
15．解：原式
将 ， 代入上式，得：原式
16．解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为
∵由题意得或0
∴可取代入，则
17．解：设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x本.
由题意，得 .
解得 x＝4.6.
经检验，x＝4.6是原方程的解，且符合题意.
答：这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本
18．（1）解：设乙单独完成建校工程需x天，则甲单独完成建校工程需1.5x天，
x=120
经检验x=120是原方程的解，
1.5x=180
答：甲单独完成建校工程需180天，乙单独完成建校工程需120天.
（2）解：设乙工程队平均每天的施工费用为a万元，
120a≤0.8×180
a≤1.2
∵a取最大值，
∴a=1.2，
答：乙工程队平均每天的施工费用最多1.2万元．
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