数学北师大版八年级上册 《三角形内角和定理》教案第2课时

这是一份数学北师大版八年级上册 《三角形内角和定理》教案第2课时，共7页。

第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第 2 课时

一、教学目标
1．掌握三角形内角和定理的两个推理，并能运用这些定理解决简单的问题．
2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．
3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．
二、教学重点及难点
重点：了解并掌握三角形的外角的定义．
难点：掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．
三、教学用具
多媒体课件，三角板、直尺。
四、相关资源
《三角形外角》动画，《三角形其他外角》动画．
五、教学过程
【新知导入】

△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.
请试着画出△ABC的其他外角.

设计意图：外角概念探究意义不大，所以直接明晰这一概念，通过在图中标注其他外角，深化学生对外角概念的理解，同时，在图中标注其他外角的过程也为发现有关外角的结论做了铺垫.

【合作探究】

图中，∠ACD与其他角有什么关系？请证明你的结论.
通过学生讨论，发现：
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
已知：△ABC.
求证：∠ACD=∠A+∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
证明：∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性质），
∵ ∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义）
∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性质）
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
设计意图：希望发现有关外角的两个定理.可以对学生进行适当的引导，关系既可以是不等关系，也可以是等量关系.
【典例精析】
例1 已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．
求证：AD∥BC
B
A
C
D
E






分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠B=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
想一想，还有没有其他的证明方法呢？
这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°
即：∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
设计意图：例题的图形较复杂，可以给出分析过程，鼓励学生先自行解决，同时对有困难的学生给予必要的指导.“想一想”关注解决问题方法的多样化，通过多种解法，开拓学生思维.
例2 如图，P是△ABC内的一点，求证：∠BPC＞∠A.

解析：由题意无法直接得出∠BPC＞∠A，延长BP交AC于D，就能得到∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A.即可得证．
证明：延长BP,交AC于D，
∵∠BPC是△PDC的外角(外角定义)，
∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∵∠PDC是△ABD的外角(外角定义)，
∴∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∴∠BPC＞∠A.
方法总结：利用推论2证明角的大小时，两个角应是同一个三角形的内角和外角．若不是，就需借助中间量转化求证．
设计意图：让学生复习“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，同时体会某些不等关系的递推和论证过程.鼓励学生寻求多种解法，如还可以连接AP，并延长AP交BC于点D ,这时∠BPC和∠A分别被分成了两个小角，用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”可以证明.
【课堂练习】
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）×
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）√
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）×
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）√
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）×
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）√
2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )C
A.直角三角形 B.锐角三角形
F
E
D
C
B
A
C.钝角三角形 D.无法确定
3.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )B
A.120° B.115° C.110° D.105°
F
A
B
E
C
D
4.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ）
A.26° B.63° C.37° D.60°
5.如图，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于(　　)

A．110°
B．160°
C．137°
D．115°
解析：
方法总结：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是等于任意两个内角的和．
6.如图，求证：（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.


证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如图.
则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC

证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.
则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A（不等式的性质）
（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）
设计意图：巩固三角形外角定理.
六、课堂小结
今天这节课你学到了什么知识？
1．外角
2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
设计意图： 通过对三角形外角及性质的学习，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．
七、板书设计
7.5 三角形内角和定理（2）
1．外角
2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角