数学北师大版八年级上册 《三角形内角和定理》教案第1课时

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第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第 1 课时

一、教学目标
1．证明三角形内角和定理，并能运用这些定理解决简单的问题．
2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．
3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．
二、教学重点及难点
重点：理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程．
难点：能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．
三、教学用具
多媒体课件，三角板、直尺。
四、相关资源
《撕角证明三角形内角和180°》动画，《三角形加辅助线》图片．
五、教学过程
【复习导入】
我们知道三角形内角和等于180°，请回忆这个结论的探索过程.
设计意图：引导学生回顾原来的探究与验证的过程，从探究与验证活动中获取证明的思路.
【合作探究】
你还有什么方法可以达到同样的效果？
参考答案：可以用“两直线平行，同旁内角互补”来说明.
可以通过作辅助线实现移动的效果，例如延长BC到点D，过点C作射线CE∥BA，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置.这里的CD、CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线。
想一想：还有其他方法证明三角形内角和定理吗？


已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°角的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，添加辅助线．
证明：
证法1：(如图①)过点A作PQ∥BC，则∠1＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角的定义)，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)．
证法2：(如图②)过点C作CE∥AB，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠B＋∠BCE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠BCE＝∠BCA＋∠1，
∴∠B＋∠BCA＋∠1＝180°(等量代换)，
∴∠B＋∠BAC＋∠A＝180°(等量代换)．
证法3：(如图③)过BC边上的一点P作QP∥AC，RP∥AB，交AB于Q，交AC于R，则∠1＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，同位角相等)．∠A＝∠BQP＝∠QPR(两直线平行，同位角相等，内错角相等)．
∵∠1＋∠2＋∠QPR＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．
方法总结：三角形内角和定理的证明方法很多，但指导思想都是通过添加辅助线，利用平行线的性质，把三角形三个内角集中起来．
设计意图：鼓励学生寻求多样的证明方法，同时在多样的证明方法中感受共性：将分散的要素集中到一起.
【典例精析】
例 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.




解：在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理）.
∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴∠BAC=180°－38°－62°=80°（等式的性质）.
∵ AD平分∠BAC（已知）,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°（角平分线定义）.
∵ ∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
∴∠ADB=180°－38°－40°=102°（等式的性质）.
设计意图：得到三角形内角和定理后，自然应通过简单应用加以巩固.
【课堂练习】
1.求出下列各图中的x值．

B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（

答：x=70，x=60，x=30，x=50.
2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .280°
3.在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，求∠A、∠B、∠C分别等于多少度？
解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B＝∠C＝2∠A.因此可以先求∠A，再求∠B、∠C.
解：∵∠A＝∠B＝∠C(已知)，
∴∠B＝∠C＝2∠A(等式的性质)．
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．
∴∠A＝36°，∠B＝72°，∠C＝72°.
方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程．
4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.


六、课堂小结
今天这节课你学到了什么知识？
1．三角形内角和等于180°.
2．定理的证明
3．定理的应用
设计意图： 通过对三角形内角和定理的证明，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性． 通过自主探究与合作交流的学习方式，使学生形成一定的逻辑思维能力和推理能力.
七、板书设计
7.5 三角形内角和定理（1）
1．三角形内角和等于180°.
2．定理的证明
3．定理的应用