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北师大版八年级上册1 认识无理数教学设计
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这是一份北师大版八年级上册1 认识无理数教学设计，共11页。
授课时间:40分钟
授课人数:50人
课时:1课时
课型:新授课
授课班级:八年级2班
授课出处:北师大版八年级上册第二章第一节
教材分析
本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第一节。主要是建立有理数和实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在实验操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的。
本节课教科书突出其产生的实际背景，让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在不同于有理数的数，从而产生探求的欲望，最终总结出实数的概念。这一过程与历史上无理数发现的过程是一致的，也符合学生的认知规律，同时也对平面直角坐标系的引入起了铺垫作用。
学情分析
本节课的教学对象是初二学生。他们好奇心特强，喜欢动手探究，有强烈的问题意识。在课前他们对无理数有一定的了解，但是对于无理数产生的过程不清楚，所以通过本节课的学习让学生感受无理数存在的必要性和合理性，从而升华到实数的概念。
教学目标
根据新课程标准，本节课的教学目标有：
知识与技能：
通过动手操作，回顾历史，经历发现无理数的过程，能通过二分法的原理对已知形里数进行估值，了解无理数的客观存在，以及在数抽上和有理数是稠密排列的。
了解实数与无理数的概念，通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，能够辨析一个数是不是无理数。
过程与方法：
通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力。
让学生亲自动手做拼图实验，感受无理数存在的必要性和合理性，培养动手能力和合作精神。
通过“实数与数轴上的点一一对应”，渗透“数形结合”思想。
情感态度价值观：
激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情。
了解有关无理数发现的数学文化，了解熟悉从整数到有理数，再到实数的一个扩充的过程，理解实数系统的构成结构，感受数学中严谨的分类思想。
教学重难点
重点：
简单地估算一个无理数，理解无理数在数轴上是存在的。
会判断一个实数是有理数还是无理数。
难点：
理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系。
会判断一个实数是有理数还是无理数。
教法与学法
教法分析
教法上通过讲授法和实验法结合，以动手实验为路线，鼓励学生动手拼图和找点判大小，以连续提问的方式引导学生主动参与课堂，去思考无理数的存在性和大小，以唤起他们的切身感受。另外，通过多媒体工具来加深学生对新知识的直观领悟和认识，使学习氛围变得活跃。
学法分析
学法上主要通过师生合作探究，学生在回答教师提问的过程中加固知识脉络，由有理数到无理数，在体验无理数的存在和探究无理数大小中学习，同时把与之对应的有理数相关性质或特点串联起来。在学习数学史中古人智慧的同时，来提升课堂学习效率。
教学环境及资源准备
多媒体课件，彩色粉笔，两个面积为 1 的正方形彩纸，剪刀等
课时安排
1课时
教学过程设计
（一）温故知新
【教师】好，今天我们将进入课本第二章的学习。我们先来复习一下我们学过的知识。小学的时候我们学过自然数，自然数是从0开始0,1,2,3,4……一直到后面，那到了初中我们学习一个研究数值很有用的工具，是一根长长的？（等待学生作答）
【学生】数轴！
【教师】对！有了数轴之后，我们就区分出了自然数中除了0之外的正整数，那么与之相对的就有？（等待学生作答）
【学生】负整数！
【教师】对！负整数！我们就把正整数、0和负整数统称为整数。也就是说整数包含了正整数、0和负整数。后面我们发现，整数并不能解决所有的问题。比如，我们知道9÷3 可以用整数2来表示，那么8÷3可以用整数来表示吗？
【学生】不能！
【教师】对，不能！其实我们用余数2余2也可以表示，但如果要用一个数应该如何表示呢？（抽问）
【学生】可以写成分数83！
【教师】好，我们学习了分数，这个时候就可以用83来表示。那这里的83是一个特殊的分数，如何用一个普遍的形式来表示分数呢？
【学生】mn！
【教师】很好，他用两个字母来表示的分数。那老师这里就把字母换一下，用qp来表示一个分数。那么对于这里的p和q有没有什么要求呢？（等待学生作答）
【学生】p不能等于0 ！
【学生】p和q都是整数！
【教师】好，首先分数要有意义分母p就不能为0，第二就是p和q都是整数，虽然我们遇到过0.20.1这种情况，但是它只是分数的形式不是分数对吧！那还有一个最后要求，就是p和q要互素。那如果不互素怎么样呢？比如会出现48这种情况，那这样的分数我们叫做不是？（等待学生作答）
【学生】最简分数！
【教师】对，不是最简分数！所以我们要求，分数满足 qp 形式，并且满足这三个条件。特别地，当p=1会发生什么情况？（等待学生作答）
【学生】变成了整数！
【教师】是的，这个时候这个分数就可以化成整数！这个时候我们就把分数和整数统一起来，统称为有理数。那么同样的，有理数我们就统一用qp的形式来表示，自然也那三个条件。我们刚刚说了整数和分数都可以用我们的工具---数轴上找一个点来表示，也就是说数轴上的一个点可以代表一个有理数。
【教师】同学们再思考：我们如何来比较这两部分的大小呢？整数和整数我们会比较，整数和分数也没有问题，那分数和分数要如何比较呢？比如这里有23和54，你会怎么来比较？
【学生】可以通分！
【教师】对，我们可以通分！那有没有更直接的方法呢？
【教师】我可以把23化成0.6，把54化成1.25。比较分数的大小，我们有一个比较快的方法就是把他们化成小数。那么整数和分数都可以化成什么样的小数呢？要么是像54这样的化成有限小数，或者像23这样的无限循环小数。所以，有理数就可以化成有限小数或者无限循环小数，这是它的一个本质。这是我们之前学习的知识，现在我们思考两个问题：是不是所有的数都能写成qp的形式呢？也就是是不是所有的数都是有理数？
设计意图：通过引导学生回顾七年级已学内容，并以之为切入点，引入新课，激发学生的学习兴趣。
（二）创设情境 引入新课
【学生】不是，比如π。
【教师】很好，那么π究竟是什么呢？这是我们今天一起研究的。再来看下一个，我们知道一个正方形，如果它的面积是9，则它的边长就为3；如果它的面积是4，则边长就为2。那面积为2的正方形它的边长是多少呢？首先，同学们这个正方形边长存在吗？
【学生】存在！
【教师】是的，因为面积存在，所以边长一定是存在的。但是这个边长我们又说不明白，那么接下来我们就通过实验来研究这个问题。我们将通过实验把两个面积为1的小正方形拼接成一个大正方形，大家注意观察，首先就把两个小正方形沿着一条对角线剪开得到4个小的直角三角形，然后把它们像这样拼接，最后得到一个大的正方形。我们发现这个大正方形的面积是多少？
设计意图：通过拼图实验，激发兴趣，增强学生的求知欲与好奇心。提出问题，引发学生思考，让学生自主探究。
【学生】面积是2！
（三）师生合作 探究新知
【教师】对的！面积为2，也就是两个小正方形的面积之和=1+1=2。那现在要求边长，我们可以设未知数x，利用方程来解。设大正方形的边长为x，那我们可以列出怎样的方程？（抽问）
【学生】x2=2！
【教师】好，所以我们得到边长的平方等于面积2，这个求解我们暂时还没学，老师这里先给出定义，这里的x=2，就是2在外面加一个符号，这样的符号读作根号。
【教师】好，现在x=2，也就是这个大正方形的边长，那这个2是原来小正方形的什么呢？
【学生】对角线！
【教师】很好！是这个小正方形的对角线！那么2是有理数吗？它有多大呢？
【学生】我觉得它不是有理数。
【教师】那它有多大呢？
【学生】我觉得它不是有理数。
【教师】为什么呢？
【学生】因为1x1=1
【教师】对的！1x1=1，但是这个2x2却是2。好，那他采取了一个方法去比较2和1的大小，对吧？那我们先把2是不是有理数这个问题放一放，我们先看它有多大？刚刚的同学给了我们启发，我们可以比较1和2的平方。1的平方等于1，但2的平方等于2。那也就是2>1。但大于1的有很多，所以现在还需要一个数字，你选选哪一个去和它比较？
【学生】2！
【教师】非常好！我会选2！2的平方等于4，那么我们发现2的平方恰好在1的平方和2的平方之间，而且这三个数都是正的，所以可以说2就在1和2之间。
【教师】好，那现在我们再来看一种方法。我们刚刚说到了2是小正方形的对角线长度，如果我想把2在数轴上表示出来，应该怎么做的呢？我现在以正方形左下角这一个顶点作为原点，它的边长1作为单位长度画出数轴，那接下来我们应该用什么方法把2放在这个数轴上去呢？（抽问）
【学生】以为圆心，以对角线为半径向右边做弧。
【教师】好，我们可以以原点为圆心，这个对角线的长度为半径做弧，去截取。我们来试试看。
设计意图：通过动态展示,形象而直观,易于突破思维定式。
【教师】结果我们会在数轴上截得这样一个点，所以这个点的数就表示2。我们观察到它的确是在1到2之间，但范围还是比较大。如果想要更精确应该怎么办？
【学生】取1.5的平方！
【教师】好！有同学说了取1.5的平方，也就是等于2.25，我们发现2.25大于2，是不是就说明1.5>2。那现在2就在1和1.5之间了。那继续，接下来取多少？
【学生】1.3！
【教师】1.3的平方是多少？1.69，它比2小，则1.3<2.那如果取1.4呢？1,4的平方等于1.96，它比2小，说明1.4<2。现在2在1.4和1.5之间了。那能不能再进一步精确呢？接下来我继续取数据，比如我取了1.41，我们进一步来看，1.41的平方为1.9881,1.42的平方为2.0165，那说明了什么？
【学生】2在1.41和1.42之间！
【教师】那我继续往下去取，取了很多。大家观察取出的这些数字有没有规律？
【学生】没有！
【教师】对的！1.4大家都一样，但后面的就没有规律了！所以看上去它是无限且不循环的。把这些数的平方算出来，最后我们发现2就夹在了这两个数之间。继续往下还可以更精确。但是是不是最后可以取到2这个数呢？
【学生】不是！
【教师】不是，因为取的是无限不循环的数。
【教师】我们采用了两边夹的方法去逐步逼近2，最后越来越接近2，但是没有到达。通过刚刚的数轴作图呢，我们知道2可以在数轴上表示出来，数轴上有一个点与它相对应。通过这个方法，我们发现2似乎是一个无限不循环的小数。
【教师】那到底是不是无限不循环的小数呢？这就得从 2的发现说起，古希腊的毕达哥拉斯学派认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，但其中有个人叫希伯索斯就发现边长为1的正方形的对角线的长，也就是2，不能用整数或整数之比来表示。当时他提出这个观点以后，据说就被丢进了海里。但后人肯定了这一观点，也就是2不是有理数，并给出了进一步的证明。我们来看到底是怎样证明的？
设计意图：以历史文化做背景，切入数学问题，从故事的角度平稳过渡到数学关系，增强学生的探究欲望。
【教师】这个证明我们就用到了反证法，也就是先假设2是有理数，那么它就满足qp这样的形式，同时p和q还满足这样三个条件。也就是2=qp，那么两边同平方可以得到2 = q2p2 ，则q2 = 2p2，这个时候因为2p2一定是什么数？
【学生】偶数！
【教师】对！所以q2 一定是偶数，那么q也一定是偶数了。所以我们可以设q=2m，化简得到p2=2m2，于是p2 一定是偶数，那么p也一定是偶数。这个时候p和q都是偶数，这是不是就与假设里面的p和q互素矛盾了，所以最后得到假设不成立，证明了2不是有理数。那现在我们从猜想就上升到了一个证明出来的结论。那今后，我们就把像这样的无限不循环小数叫做无理数。大家在书本上把定义进行勾画！
【教师】这句话就讲出了无理数的一个本质，什么是无理数？就是无限不循环小数。刚刚我们知道了无理数像2它可以在数轴上进行表示出来，数轴上的某一个点也可能对应着无理数。那除了π，2之外，无理数还有没别的其他的例子呢？比如3是无理数吗？
【学生】是！
【教师】那√4呢?
【学生】不是！
【教师】对！我们可以用刚刚正方形的例子，如果以4作为边，这样的正方形的面积是多少？
【学生】4！
【教师】反过来，面积是4的正方形，边长为2，所以我们可以得到√4=2。
【教师】那现在，如果我说带根号的就是无理数，这句话对吗？
设计意图：引导学生现学现用，从特殊到一般。
【学生】不对！4就不行！
【教师】很好，也就是带根号且根号下的数不是一个平方数这样的数才叫做无理数。已经有两种了，有没有第三种呢？无理数的本质是：无限不循环。你能不能举一个无限不循环的例子呢？（抽问）
【学生】1.1010010001（每两个1之间0的个数增加）…
【教师】很好，这样我们也可以人为地编写出一个无限不循环的数，也可以是无理数。所以我们就找到了无理数的三种形式。
【教师】再有，我们学过了有理数，我们知道有理数分正负。那无理数有没有正负呢？有正2，就有-2，只需要把刚刚的作图反向截取就得到-2。所以我们说无理数也有正负之分，比如-?，-0.213214321…那既然有正有负，我们就把只有符号不同的两个无理数，成为相反数，比如+2和-2。其实无理数在很多方面与有理数都有相似的特点，这个我们也会会更清晰。
【教师】那现在我们把今天学习的概念来梳理一下：首先我们复习了有理数，它可以分成有限小数和无限循环小数，如果按照符号来分有理数分为正有理数、负有理数和0.那无理数如果按照符号来分，正无理数，负无理数，有零吗？
【学生】没有！因为0是有理数！
【教师】对的！现在我们把两部分合在一起，把有理数和无理数统称为实数。同学们同样注意在书本上勾画。为什么要叫实数呢？因为它是真实存在的数，不管是有理数还是无理数都可以在数轴上找到一个点真实地表示出来。那接下来我们就来做一些简单的练习。
(四)例题练习 应用新知
【教师】同学们先思考第一题,他让你区分下面这些数,哪些是有理数?哪些是无理数?大家在草稿纸上作答。
教师巡视学生作答情况，并简要总结完成情况。
【教师】大家完成得很棒！那我们就来一起看看这个题！题目给出了这些数，比如第一个—π，我们前面就提到了，它是有理数还是无理数？
【学生】无理数！
【教师】对的！我们总结了无理数的3种常见的形式，其中一个就是含π的，对吧？那我们接着看，- 4/3是？有理数。因为它是无限且循环的数，也就是-1.33333…。同理，我们知道，0.5 ̇(7 ) ̇也是有理数。而0.101000100000···是无限且不循环的数，所以是无理数。而18.213是？有限小数，所以它是有理数。最后一个√5，带根号且根号下的数不是一个平方数，开不出来，所以它是？无理数！
【教师】通过这个题，我们发现，判断有理数和无理数，是不是只需要从本质下手就可以解决问题？
【学生】对！
【教师】接着我们继续来看第二题，它是一个判断题，让你判断对错。同样，大家先思考，可以和同桌进行讨论，给大家3分钟的时间！
教师巡视，观察学生的讨论情况并了解讨论结果，并抽问。
【学生】第一个错，因为有理数有两种：有限小数和无限循环小数。有限小数只是有理数的一部分。
【学生】第二个错，刚刚说了带根号还要根号下的数不是平方数才可以
【学生】第三个对，确实0的绝对值最小而且0是实数
【学生】最后一个错，数轴上的某一个点也可能是无理数。
【教师】那这一个我们应该怎么改呢？用我们刚刚学习的实数可以改吗？
【学生】数轴上的每一个点都可以表示一个实数。
设计意图：用引导代替直接传输，为学生的数学思维过渡搭建好桥梁。
(五)反馈练习 巩固新知
【教师】很棒！看来同学们都掌握得很好了，这节课下来大家还需要完成我们第25页的第1和第3题，同时大家还要预习本章第2节和第3节，下一节课我们将一起来看平方根和立方根是怎么算的？
设计意图：讲练结合，开拓思维。
板书设计
教学反思
本节课由有理数为引，借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计借助Excel进行探索、讨论等途径，体会无限逼近的数学思想，得到无理数和实数的概念；可能在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生和班级，这一探索过程所需时间较长，会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的，所以不能淡化。让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，借助数轴来渗透“数形结合”的观点，复杂知识体系化。和学生一起总结有理数和无理数，从而得到实数这一统称。同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实基础。但对概念的理解掌握一些同学还不很到位，还需要在以后的教学过程中不断的加深。
总的来说，这堂课的教学任务基本完成，但从学生掌握情况看上还要更务实些，注重基本技能的培养，但还需要让学生有更多的时间反应和思考，也应该做针对性改进。§2.1认识无理数
无限不循环小数称为无理数
有理数和无理数统称为实数
授课时间:40分钟
授课人数:50人
课时:1课时
课型:新授课
授课班级:八年级2班
授课出处:北师大版八年级上册第二章第一节
教材分析
本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第一节。主要是建立有理数和实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在实验操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的。
本节课教科书突出其产生的实际背景，让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在不同于有理数的数，从而产生探求的欲望，最终总结出实数的概念。这一过程与历史上无理数发现的过程是一致的，也符合学生的认知规律，同时也对平面直角坐标系的引入起了铺垫作用。
学情分析
本节课的教学对象是初二学生。他们好奇心特强，喜欢动手探究，有强烈的问题意识。在课前他们对无理数有一定的了解，但是对于无理数产生的过程不清楚，所以通过本节课的学习让学生感受无理数存在的必要性和合理性，从而升华到实数的概念。
教学目标
根据新课程标准，本节课的教学目标有：
知识与技能：
通过动手操作，回顾历史，经历发现无理数的过程，能通过二分法的原理对已知形里数进行估值，了解无理数的客观存在，以及在数抽上和有理数是稠密排列的。
了解实数与无理数的概念，通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，能够辨析一个数是不是无理数。
过程与方法：
通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力。
让学生亲自动手做拼图实验，感受无理数存在的必要性和合理性，培养动手能力和合作精神。
通过“实数与数轴上的点一一对应”，渗透“数形结合”思想。
情感态度价值观：
激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情。
了解有关无理数发现的数学文化，了解熟悉从整数到有理数，再到实数的一个扩充的过程，理解实数系统的构成结构，感受数学中严谨的分类思想。
教学重难点
重点：
简单地估算一个无理数，理解无理数在数轴上是存在的。
会判断一个实数是有理数还是无理数。
难点：
理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系。
会判断一个实数是有理数还是无理数。
教法与学法
教法分析
教法上通过讲授法和实验法结合，以动手实验为路线，鼓励学生动手拼图和找点判大小，以连续提问的方式引导学生主动参与课堂，去思考无理数的存在性和大小，以唤起他们的切身感受。另外，通过多媒体工具来加深学生对新知识的直观领悟和认识，使学习氛围变得活跃。
学法分析
学法上主要通过师生合作探究，学生在回答教师提问的过程中加固知识脉络，由有理数到无理数，在体验无理数的存在和探究无理数大小中学习，同时把与之对应的有理数相关性质或特点串联起来。在学习数学史中古人智慧的同时，来提升课堂学习效率。
教学环境及资源准备
多媒体课件，彩色粉笔，两个面积为 1 的正方形彩纸，剪刀等
课时安排
1课时
教学过程设计
（一）温故知新
【教师】好，今天我们将进入课本第二章的学习。我们先来复习一下我们学过的知识。小学的时候我们学过自然数，自然数是从0开始0,1,2,3,4……一直到后面，那到了初中我们学习一个研究数值很有用的工具，是一根长长的？（等待学生作答）
【学生】数轴！
【教师】对！有了数轴之后，我们就区分出了自然数中除了0之外的正整数，那么与之相对的就有？（等待学生作答）
【学生】负整数！
【教师】对！负整数！我们就把正整数、0和负整数统称为整数。也就是说整数包含了正整数、0和负整数。后面我们发现，整数并不能解决所有的问题。比如，我们知道9÷3 可以用整数2来表示，那么8÷3可以用整数来表示吗？
【学生】不能！
【教师】对，不能！其实我们用余数2余2也可以表示，但如果要用一个数应该如何表示呢？（抽问）
【学生】可以写成分数83！
【教师】好，我们学习了分数，这个时候就可以用83来表示。那这里的83是一个特殊的分数，如何用一个普遍的形式来表示分数呢？
【学生】mn！
【教师】很好，他用两个字母来表示的分数。那老师这里就把字母换一下，用qp来表示一个分数。那么对于这里的p和q有没有什么要求呢？（等待学生作答）
【学生】p不能等于0 ！
【学生】p和q都是整数！
【教师】好，首先分数要有意义分母p就不能为0，第二就是p和q都是整数，虽然我们遇到过0.20.1这种情况，但是它只是分数的形式不是分数对吧！那还有一个最后要求，就是p和q要互素。那如果不互素怎么样呢？比如会出现48这种情况，那这样的分数我们叫做不是？（等待学生作答）
【学生】最简分数！
【教师】对，不是最简分数！所以我们要求，分数满足 qp 形式，并且满足这三个条件。特别地，当p=1会发生什么情况？（等待学生作答）
【学生】变成了整数！
【教师】是的，这个时候这个分数就可以化成整数！这个时候我们就把分数和整数统一起来，统称为有理数。那么同样的，有理数我们就统一用qp的形式来表示，自然也那三个条件。我们刚刚说了整数和分数都可以用我们的工具---数轴上找一个点来表示，也就是说数轴上的一个点可以代表一个有理数。
【教师】同学们再思考：我们如何来比较这两部分的大小呢？整数和整数我们会比较，整数和分数也没有问题，那分数和分数要如何比较呢？比如这里有23和54，你会怎么来比较？
【学生】可以通分！
【教师】对，我们可以通分！那有没有更直接的方法呢？
【教师】我可以把23化成0.6，把54化成1.25。比较分数的大小，我们有一个比较快的方法就是把他们化成小数。那么整数和分数都可以化成什么样的小数呢？要么是像54这样的化成有限小数，或者像23这样的无限循环小数。所以，有理数就可以化成有限小数或者无限循环小数，这是它的一个本质。这是我们之前学习的知识，现在我们思考两个问题：是不是所有的数都能写成qp的形式呢？也就是是不是所有的数都是有理数？
设计意图：通过引导学生回顾七年级已学内容，并以之为切入点，引入新课，激发学生的学习兴趣。
（二）创设情境 引入新课
【学生】不是，比如π。
【教师】很好，那么π究竟是什么呢？这是我们今天一起研究的。再来看下一个，我们知道一个正方形，如果它的面积是9，则它的边长就为3；如果它的面积是4，则边长就为2。那面积为2的正方形它的边长是多少呢？首先，同学们这个正方形边长存在吗？
【学生】存在！
【教师】是的，因为面积存在，所以边长一定是存在的。但是这个边长我们又说不明白，那么接下来我们就通过实验来研究这个问题。我们将通过实验把两个面积为1的小正方形拼接成一个大正方形，大家注意观察，首先就把两个小正方形沿着一条对角线剪开得到4个小的直角三角形，然后把它们像这样拼接，最后得到一个大的正方形。我们发现这个大正方形的面积是多少？
设计意图：通过拼图实验，激发兴趣，增强学生的求知欲与好奇心。提出问题，引发学生思考，让学生自主探究。
【学生】面积是2！
（三）师生合作 探究新知
【教师】对的！面积为2，也就是两个小正方形的面积之和=1+1=2。那现在要求边长，我们可以设未知数x，利用方程来解。设大正方形的边长为x，那我们可以列出怎样的方程？（抽问）
【学生】x2=2！
【教师】好，所以我们得到边长的平方等于面积2，这个求解我们暂时还没学，老师这里先给出定义，这里的x=2，就是2在外面加一个符号，这样的符号读作根号。
【教师】好，现在x=2，也就是这个大正方形的边长，那这个2是原来小正方形的什么呢？
【学生】对角线！
【教师】很好！是这个小正方形的对角线！那么2是有理数吗？它有多大呢？
【学生】我觉得它不是有理数。
【教师】那它有多大呢？
【学生】我觉得它不是有理数。
【教师】为什么呢？
【学生】因为1x1=1
【教师】对的！1x1=1，但是这个2x2却是2。好，那他采取了一个方法去比较2和1的大小，对吧？那我们先把2是不是有理数这个问题放一放，我们先看它有多大？刚刚的同学给了我们启发，我们可以比较1和2的平方。1的平方等于1，但2的平方等于2。那也就是2>1。但大于1的有很多，所以现在还需要一个数字，你选选哪一个去和它比较？
【学生】2！
【教师】非常好！我会选2！2的平方等于4，那么我们发现2的平方恰好在1的平方和2的平方之间，而且这三个数都是正的，所以可以说2就在1和2之间。
【教师】好，那现在我们再来看一种方法。我们刚刚说到了2是小正方形的对角线长度，如果我想把2在数轴上表示出来，应该怎么做的呢？我现在以正方形左下角这一个顶点作为原点，它的边长1作为单位长度画出数轴，那接下来我们应该用什么方法把2放在这个数轴上去呢？（抽问）
【学生】以为圆心，以对角线为半径向右边做弧。
【教师】好，我们可以以原点为圆心，这个对角线的长度为半径做弧，去截取。我们来试试看。
设计意图：通过动态展示,形象而直观,易于突破思维定式。
【教师】结果我们会在数轴上截得这样一个点，所以这个点的数就表示2。我们观察到它的确是在1到2之间，但范围还是比较大。如果想要更精确应该怎么办？
【学生】取1.5的平方！
【教师】好！有同学说了取1.5的平方，也就是等于2.25，我们发现2.25大于2，是不是就说明1.5>2。那现在2就在1和1.5之间了。那继续，接下来取多少？
【学生】1.3！
【教师】1.3的平方是多少？1.69，它比2小，则1.3<2.那如果取1.4呢？1,4的平方等于1.96，它比2小，说明1.4<2。现在2在1.4和1.5之间了。那能不能再进一步精确呢？接下来我继续取数据，比如我取了1.41，我们进一步来看，1.41的平方为1.9881,1.42的平方为2.0165，那说明了什么？
【学生】2在1.41和1.42之间！
【教师】那我继续往下去取，取了很多。大家观察取出的这些数字有没有规律？
【学生】没有！
【教师】对的！1.4大家都一样，但后面的就没有规律了！所以看上去它是无限且不循环的。把这些数的平方算出来，最后我们发现2就夹在了这两个数之间。继续往下还可以更精确。但是是不是最后可以取到2这个数呢？
【学生】不是！
【教师】不是，因为取的是无限不循环的数。
【教师】我们采用了两边夹的方法去逐步逼近2，最后越来越接近2，但是没有到达。通过刚刚的数轴作图呢，我们知道2可以在数轴上表示出来，数轴上有一个点与它相对应。通过这个方法，我们发现2似乎是一个无限不循环的小数。
【教师】那到底是不是无限不循环的小数呢？这就得从 2的发现说起，古希腊的毕达哥拉斯学派认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，但其中有个人叫希伯索斯就发现边长为1的正方形的对角线的长，也就是2，不能用整数或整数之比来表示。当时他提出这个观点以后，据说就被丢进了海里。但后人肯定了这一观点，也就是2不是有理数，并给出了进一步的证明。我们来看到底是怎样证明的？
设计意图：以历史文化做背景，切入数学问题，从故事的角度平稳过渡到数学关系，增强学生的探究欲望。
【教师】这个证明我们就用到了反证法，也就是先假设2是有理数，那么它就满足qp这样的形式，同时p和q还满足这样三个条件。也就是2=qp，那么两边同平方可以得到2 = q2p2 ，则q2 = 2p2，这个时候因为2p2一定是什么数？
【学生】偶数！
【教师】对！所以q2 一定是偶数，那么q也一定是偶数了。所以我们可以设q=2m，化简得到p2=2m2，于是p2 一定是偶数，那么p也一定是偶数。这个时候p和q都是偶数，这是不是就与假设里面的p和q互素矛盾了，所以最后得到假设不成立，证明了2不是有理数。那现在我们从猜想就上升到了一个证明出来的结论。那今后，我们就把像这样的无限不循环小数叫做无理数。大家在书本上把定义进行勾画！
【教师】这句话就讲出了无理数的一个本质，什么是无理数？就是无限不循环小数。刚刚我们知道了无理数像2它可以在数轴上进行表示出来，数轴上的某一个点也可能对应着无理数。那除了π，2之外，无理数还有没别的其他的例子呢？比如3是无理数吗？
【学生】是！
【教师】那√4呢?
【学生】不是！
【教师】对！我们可以用刚刚正方形的例子，如果以4作为边，这样的正方形的面积是多少？
【学生】4！
【教师】反过来，面积是4的正方形，边长为2，所以我们可以得到√4=2。
【教师】那现在，如果我说带根号的就是无理数，这句话对吗？
设计意图：引导学生现学现用，从特殊到一般。
【学生】不对！4就不行！
【教师】很好，也就是带根号且根号下的数不是一个平方数这样的数才叫做无理数。已经有两种了，有没有第三种呢？无理数的本质是：无限不循环。你能不能举一个无限不循环的例子呢？（抽问）
【学生】1.1010010001（每两个1之间0的个数增加）…
【教师】很好，这样我们也可以人为地编写出一个无限不循环的数，也可以是无理数。所以我们就找到了无理数的三种形式。
【教师】再有，我们学过了有理数，我们知道有理数分正负。那无理数有没有正负呢？有正2，就有-2，只需要把刚刚的作图反向截取就得到-2。所以我们说无理数也有正负之分，比如-?，-0.213214321…那既然有正有负，我们就把只有符号不同的两个无理数，成为相反数，比如+2和-2。其实无理数在很多方面与有理数都有相似的特点，这个我们也会会更清晰。
【教师】那现在我们把今天学习的概念来梳理一下：首先我们复习了有理数，它可以分成有限小数和无限循环小数，如果按照符号来分有理数分为正有理数、负有理数和0.那无理数如果按照符号来分，正无理数，负无理数，有零吗？
【学生】没有！因为0是有理数！
【教师】对的！现在我们把两部分合在一起，把有理数和无理数统称为实数。同学们同样注意在书本上勾画。为什么要叫实数呢？因为它是真实存在的数，不管是有理数还是无理数都可以在数轴上找到一个点真实地表示出来。那接下来我们就来做一些简单的练习。
(四)例题练习 应用新知
【教师】同学们先思考第一题,他让你区分下面这些数,哪些是有理数?哪些是无理数?大家在草稿纸上作答。
教师巡视学生作答情况，并简要总结完成情况。
【教师】大家完成得很棒！那我们就来一起看看这个题！题目给出了这些数，比如第一个—π，我们前面就提到了，它是有理数还是无理数？
【学生】无理数！
【教师】对的！我们总结了无理数的3种常见的形式，其中一个就是含π的，对吧？那我们接着看，- 4/3是？有理数。因为它是无限且循环的数，也就是-1.33333…。同理，我们知道，0.5 ̇(7 ) ̇也是有理数。而0.101000100000···是无限且不循环的数，所以是无理数。而18.213是？有限小数，所以它是有理数。最后一个√5，带根号且根号下的数不是一个平方数，开不出来，所以它是？无理数！
【教师】通过这个题，我们发现，判断有理数和无理数，是不是只需要从本质下手就可以解决问题？
【学生】对！
【教师】接着我们继续来看第二题，它是一个判断题，让你判断对错。同样，大家先思考，可以和同桌进行讨论，给大家3分钟的时间！
教师巡视，观察学生的讨论情况并了解讨论结果，并抽问。
【学生】第一个错，因为有理数有两种：有限小数和无限循环小数。有限小数只是有理数的一部分。
【学生】第二个错，刚刚说了带根号还要根号下的数不是平方数才可以
【学生】第三个对，确实0的绝对值最小而且0是实数
【学生】最后一个错，数轴上的某一个点也可能是无理数。
【教师】那这一个我们应该怎么改呢？用我们刚刚学习的实数可以改吗？
【学生】数轴上的每一个点都可以表示一个实数。
设计意图：用引导代替直接传输，为学生的数学思维过渡搭建好桥梁。
(五)反馈练习 巩固新知
【教师】很棒！看来同学们都掌握得很好了，这节课下来大家还需要完成我们第25页的第1和第3题，同时大家还要预习本章第2节和第3节，下一节课我们将一起来看平方根和立方根是怎么算的？
设计意图：讲练结合，开拓思维。
板书设计
教学反思
本节课由有理数为引，借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计借助Excel进行探索、讨论等途径，体会无限逼近的数学思想，得到无理数和实数的概念；可能在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生和班级，这一探索过程所需时间较长，会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的，所以不能淡化。让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，借助数轴来渗透“数形结合”的观点，复杂知识体系化。和学生一起总结有理数和无理数，从而得到实数这一统称。同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实基础。但对概念的理解掌握一些同学还不很到位，还需要在以后的教学过程中不断的加深。
总的来说，这堂课的教学任务基本完成，但从学生掌握情况看上还要更务实些，注重基本技能的培养，但还需要让学生有更多的时间反应和思考，也应该做针对性改进。§2.1认识无理数
无限不循环小数称为无理数
有理数和无理数统称为实数
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