初中数学北师大版八年级上册第二章 实数1 认识无理数教学设计及反思

2.1.1认识无理数

1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.

2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.

3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.

教学重点与难点

重点：

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.

2.会判断一个数是否为有理数.

难点:

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教法及学法指导：自主探究与合作学习相结合的方法，本节课以学生的练习为主.

课前准备：

制作课件，学生课前进行相关调查及预习工作.

教学过程:

一  创设情境、引入新课：

［师］同学们,我们这一章将继续学习数.数经历了哪些发展史呢？

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.

［生］在七年级我们还学过负数.

［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.

设计意图：通过复习发现有理数不够用了，激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题.

活动效果：大多数学生能较熟练地掌握有理数的概念，但也有部分学生对有理数的分类不太清楚。

二  分组展示、探究总结：

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).

［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.

［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.

［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.

［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.

［生乙］因为，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.

［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.

2.做一做：

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？

(3)b是有理数吗？

［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.

［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.

［师］在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答.

［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.

［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.

［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.

［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.

设计意图：通过这些问题，学生将发现，现实生活中存在不同于有理数的数，从而感受到需要学习新的数，激发学生的求知识欲望.同时向古代科学家学习坚持真理，勇于探索的精神。

活动效果：学生学习的积极性很高,各自发表自己的想法.

三  巩固体验、深化提高：

1.如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？

学生：板书解题过程

解：因为△ABC是等边三角形，AD是高..所以BD=DC=1.在直角三角形ABD中，由勾股定理得h2=AB2-BD2=22-12=4-1=3.我们知道12=1，22=4 1＜h＜2，所以h不可能是整数，又因为两个相同的最简分数积仍是分数，所以h不可能是分数.

2.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.

解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数. AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.

AE2=AB2+BE2=22+12=5.

AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.

设计意图：培养学生总结归纳的能力，进一步发展学生的逻辑判断能力.

活动效果：推理过程不严密.如由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.理解不到位.

四 自我诊断，收获园地

师：谈谈本节课的收获

生：1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断一个数是否为有理数.

设计意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.

活动效果：学生畅所欲言.小组间相互归纳.

五 达标测试，反馈矫正

请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形：

（1）使它的三边中有一边边长不是有理数

（2）使它的三边中有两边边长不是有理数

（3）使它的三边边长都不是有理数

六 布置作业，落实目标

作业：课本P22习题2.1 第1、2题

助学：2.1认识无理数 第一课时

板书设计：

教学反思：

成功之处：本节课首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，同时通过学生的反思：既不是整数，那么究竟是什么样的数呢？让学生感受到学习无理数的必要性.在教学过程中，教师要关注学生对“既不是整数，也不是分数”的理解和应用过程，从而发展学生的数感，得到无理数存在的必然性，对这个结论再给予一定的理论分析，从中体会数的发展.

不足之处：学生对于拼图是弱点，缺少兴趣.

再教建议：注意培养学生学习数学的兴趣，多介绍古代数学家的例子学习他们是怎样研究数学知识的.