人教A版高中数学数学选择性必修第二册培优课5构造函数法解决导数问题习题含答案

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第五章培优课❺　构造函数法解决导数问题A级 必备知识基础练1.[探究点二]已知函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数,且f(x)+(x-1)f'(x)>0,则下列式子正确的是(　　)A.f(1)=0 B.f(x)<0C.f(x)>0 D.(x-1)f(x)<02.[探究点一](多选题)已知f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且(x+1)·f'(x)>f(x),则下列不等式一定成立的是(　　)A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3)C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2)3.[探究点一](多选题)已知定义在[0,)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断中正确的是(　　)A.f()<f() B.f(ln)>0C.f()>f() D.f()>f()4.[探究点三]已知f(x)是定义在(0,)上的函数,其导函数为f'(x),f()=2,且当x∈(0,)时,f '(x)sin x+f(x)cos x>0,则不等式f(x)sin x<3的解集为　　　　　. 5.[探究点一]设函数f'(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,有f'(x)cos x-f(x)sin x>0,若a=f(),b=0,c=-f(),则a,b,c的大小关系是　　　　　. 6.[探究点三·2023安徽合肥期末]已知函数f(x)=mx-ln x-1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)函数g(x)=,若f(x)>g(x)在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.      B级 关键能力提升练7.设f(x),g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数,且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,则当a<x<b时,下列式子一定正确的是(　　)A.f(x)g(x)>f(b)g(b)B.f(x)g(b)>f(b)g(x)C.f(x)g(a)>f(a)g(x)D.f(x)g(x)>f(a)g(a)8.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,则下列不等式一定成立的是(　　)A.f(1)<e3f(0) B.f(1)<e2f(0)C.f(1)>e3f(0) D.f(1)>e2f(0)9.设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若3f(x)+f'(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e-3x的解集是(　　)A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,0) D.(0,1)10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,当x>0时,有>0,则不等式x2f(x)>0的解集是　　　　　. C级 学科素养创新练11.[2023河南南阳期末]已知函数f(x)=aln x-x2+ax(a∈R).(1)当a=1时,求证:f(x)≤0;(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数a的取值范围. 
培优课❺　构造函数法解决导数问题1.C　令g(x)=(x-1)f(x),则g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)>0,所以g(x)在R上是增函数.又g(1)=0,所以当x>1时,g(x)=(x-1)f(x)>0;当x<1时,g(x)=(x-1)f(x)<0.所以当x≠1时,f(x)>0.又f(1)+(1-1)·f'(1)=f(1)>0,所以C正确.2.BD　由(x+1)f'(x)>f(x),得(x+1)f'(x)-f(x)>0,令g(x)=,则g'(x)=>0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数,∴g(2)<g(3)<g(4),则,即4f(2)<3f(3),5f(3)<4f(4),故选BD.3.CD　令g(x)=,x∈[0,),则g'(x)=,因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0,所以g'(x)=<0在[0,)上恒成立,因此函数g(x)=在[0,)上单调递减,又,所以g()>g(),即,即f()>f(),故A错误;又f(0)=0,所以g(0)==0,所以g(x)=≤0在[0,)上恒成立,因为ln∈[0,),所以f(ln)<0,故B错误;又,所以g()>g(),所以,即f()>f(),故C正确;又,所以g()>g(),所以,)即f()>f(),故D正确.故选CD.4. 　因为当x∈(0,)时,f'(x)sin x+f(x)cos x>0,所以[f(x)sin x]'>0,x∈(0,),令g(x)=f(x)sin x,则当x∈(0,)时,g'(x)>0,g(x)在(0,)上是增函数,因为f()=2,所以g()=f()sin=3,不等式f(x)sin x<3,即g(x)<g().因为g(x)在(0,)上是增函数,所以原不等式的解集为 .5.a<b<c　设函数g(x)=f(x)cos x,则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x,因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,π)上是增函数,a=f()=f()cos=g(),b=0=f()cos=g(),c=-f()=f()cos=g(),所以a<b<c.6.解 (1)函数f(x)=mx-ln x-1,x∈(0,+∞),f'(x)=m-,①当m≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,②当m>0,x∈(0,)时,f'(x)<0;当m>0,x∈(,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.(2)由f(x)>g(x),得mx-ln x-1>,x>0,所以m>,令F(x)=,F'(x)=,当x∈(0,1)时,F'(x)>0,x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以F(x)max=F(1)=1+,故m>1+,即m的取值范围是(1+,+∞).7.B　设F(x)=,则F'(x)=,由f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,得F'(x)<0,所以F(x)在R上是减函数,因为a<x<b,所以,又f(x),g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数,故f(x)g(b)>f(b)g(x).8.A　令g(x)=,则g'(x)=,因为3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,所以g'(x)<0在R上恒成立,故g(x)在R上是减函数,所以g(1)<g(0),即,即f(1)<e3f(0).9.A　令g(x)=e3xf(x),则g'(x)=3e3xf(x)+e3xf'(x),因为3f(x)+f'(x)>0,所以3e3xf(x)+e3xf'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)=e3xf(x)在R上是增函数,又f(x)>e-3x可化为e3xf(x)>1,且g(0)=e3×0f(0)=1,所以g(x)>g(0),解得x>0,所以不等式f(x)>e-3x的解集是(0,+∞).10.(-1,0)∪(1,+∞)　令g(x)=(x≠0),则g'(x)=.∵当x>0时,>0,即g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=0,∴g(1)=f(1)=0,∴在(0,+∞)上,g(x)>0的解集为(1,+∞),g(x)<0的解集为(0,1).∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数,∴在(-∞,0)上,g(x)>0的解集为(-∞,-1),g(x)<0的解集为(-1,0).由x2f(x)>0,得f(x)>0(x≠0).又f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞),∴不等式x2f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).11.(1)证明 当a=1时,f(x)=ln x-x2+x,f'(x)=-2x+1=(x>0),当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(1)=0,即f(x)≤0.(2)解 当a=0时,f(x)=-x2,f(x)只有1个零点;当a≠0时,由f(x)=0,得,x∈(0,+∞).令g(x)=,则g'(x)=,令h(x)=1-2ln x-x,则h(x)在(0,+∞)上单调递减,又h(1)=0,所以g'(x)在(0,1)上大于0,g(x)单调递增,g'(x)在(1,+∞)上小于0,g(x)单调递减.而g()=<0,g(1)=1,且当x>1时,g(x)>0,则要使函数f(x)有且只有一个零点,则需=1或<0,即a=1或a<0.综上所述,若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是{1}∪(-∞,0].