人教A版高中数学数学选择性必修第二册培优课3函数的单调性与导数关系的应用习题含答案

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第五章培优课❸　函数的单调性与导数关系的应用A级 必备知识基础练1.[探究点二]已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-]∪[,+∞)B.[-]C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-)2. [探究点三]已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)·f'(x)>0的解集为(　　) A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,2)C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)3.[探究点二]若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内单调递减,则(　　)A.a≥1 B.a=1C.a≤1 D.0<a<14.[探究点三](多选题)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则 (　　)A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0)C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)5.[探究点二]若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是　　　　　　　　. 6.[探究点二]若函数f(x)=(x2+mx)ex的单调递减区间是[-,1],则实数m的值为　　　　　. 7.[探究点一、二]已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.(1)讨论函数f(x)的增减性;(2)设函数f(x)在区间内单调递减,求a的取值范围.     B级 关键能力提升练8.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)不为0,当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是              (　　)A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)9.已知函数f(x)=xln x+x(x-a)2(a∈R).若存在x∈[,2],使得f(x)>xf'(x)成立,则实数a的取值范围是(　　)A.(,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.(3,+∞)10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)11.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R内的单调函数,则实数m的取值范围为　　　　　. 12.已知函数f(x)=exsin x-ax在(-π,0)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　. 13.试讨论函数f(x)=kx-ln x的单调区间.       C级 学科素养创新练14.[2023重庆沙坪坝质检]已知函数f(x)=ln(ex+e-x),关于x的不等式f(ex)≥f(ex)的解集是[a,+∞),则ea-1+ln(-a)=　　　　　. 
培优课❸　函数的单调性与导数关系的应用1.B　f'(x)=-3x2+2ax-1,由题意可知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,∴Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-≤a≤.2.D　原不等式⇔解得x<-1或x>3或-1<x<1.3.A　f'(x)=3x2-2ax-1.因为f(x)在区间(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1≤0在区间(0,1)内恒成立.所以f'(0)≤0,f'(1)≤0.所以a≥1.故选A.4.AB　令g(x)=(x∈R),因为f'(x)<f(x),所以g'(x)=<0,故g(x)在R上单调递减,而ln 2>0,2>0,故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),即,所以f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0).5.(0,+∞)　若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则其导数y'=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b>0.6.-　f'(x)=[x2+(m+2)x+m]ex.因为f(x)的单调减区间是[-,1],所以方程f'(x)=0的两个根分别为x1=-,x2=1,即解得m=-.7.解 (1)f'(x)=3x2+2ax+1,判别式Δ=4(a2-3).①若a>或a<-,则在内,f'(x)>0,f(x)单调递增;在内,f'(x)<0,f(x)单调递减;在内,f'(x)>0,f(x)单调递增.②若-<a<,则对所有x∈R都有f'(x)>0,故此时f(x)在R上单调递增.③若a=±,则f'=0,且对所有的x≠-都有f'(x)>0,故当a=±时,f(x)在R上单调递增.(2)由(1)知,只有当a>或a<-时,f(x)在()内单调递减,因此≤-, ①且≥-. ②当|a|>时,由①②解得a≥2.因此a的取值范围是[2,+∞).8.D　令F(x)=(g(x)恒不为0),则F(x)为奇函数,F'(x)=,由题得当x<0时,F'(x)>0,∴F(x)在(-∞,0)内是单调递增的.又F(3)==0,∴F(-3)=0.∴当x<-3时,F(x)<0;当-3<x<0时,F(x)>0.又F(x)为奇函数,∴当0<x<3时,F(x)<0;当x>3时,F(x)>0.而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式,∴不等式f(x)·g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).9.C　设g(x)=,则g'(x)=,存在x∈[,2],使得f(x)>xf'(x)成立等价于存在x∈[,2],使得g'(x)<0成立.∵g(x)==ln x+(x-a)2,∴g'(x)=+2(x-a).由g'(x)<0得a>x+,∴a>(x+)min,x∈[,2],又x+≥2,当且仅当x=∈[,2]时,等号成立,∴a>.故选C.10.A　当x>0时,令F(x)=,则F'(x)=<0,∴当x>0时,F(x)=为减函数.∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)内,F(x)>0;在(1,+∞)内,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.11.　f'(x)=3x2+2x+m,因为f(x)是R内的单调函数,所以f'(x)≥0恒成立或f'(x)≤0恒成立.因为导函数的二次项系数3>0,所以只能有f'(x)≥0恒成立.所以Δ=4-12m≤0,故m≥.经检验,当m=时,只有一个点使f'(x)=0,符合题意,故实数m的取值范围是.12.(-∞,-]　由题意f'(x)=ex(sin x+cos x)-a≥0在(-π,0)上恒成立,即a≤ex(sin x+cos x)在(-π,0)上恒成立,令g(x)=ex(sin x+cos x),x∈(-π,0),则g'(x)=2excos x,易知x∈(-π,-)时,g'(x)<0;x∈(-,0)时,g'(x)>0,故g(x)在(-π,-)上单调递减,在(-,0)单调递增,故g(x)min=g(-)=-,故a≤-即为所求.13.解 函数f(x)=kx-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-.当k≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减.当k>0时,由f'(x)<0,即<0,解得0<x<;由f'(x)>0,即>0,解得x>.∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当k>0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).14.-1　函数f(x)=ln(ex+e-x)的定义域为R,因为f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.因为f'(x)=,所以,当x>0时,f'(x)=>0,函数f(x)为增函数,所以,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,因为f(ex)≥f(ex),所以ex≥|ex|.当x≥0时,ex≥|ex|⇔ex≥ex,令y=ex-ex,x≥0,则y'=ex-e,令y'=0,则x=1,易知函数y=ex-ex在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以y=ex-ex≥e-e=0,即ex≥ex在x≥0时恒成立.当x≤0时,ex≥|ex|⇔ex≥-ex,令y=ex+ex,x≤0,则y'=ex+e>0,所以,函数y=ex+ex在(-∞,0]上单调递增,因为y '|x=-1=e-1-e<0,y '|x=0=e0=1>0,所以存在a∈(-1,0),使得ea+ea=0,且a<x≤0时,ex≥-ex.综上,当f(ex)≥f(ex)的解集是[a,+∞)时,a∈(-1,0),且ea+ea=0,所以,ea-1+ln(-a)=-a+ln ea-1=-1.