人教A版高中数学数学选择性必修第二册第五章综合训练习题含答案

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第五章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.[2023北京东城期末]函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1,则limΔx→0f(x0)-f(x0-2Δx)Δx等于(　　)
A.-4 B.-2 C.2 D.4
2.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.若函数f(x)=ax2x-1(x>1)有最大值-4,则实数a的值是(　　)
A.1 B.-1 C.4 D.-4
4.已知函数f(x)=x+1ax在(-∞,-1)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,1]
C.(0,1] D.(-∞,0)∪[1,+∞)
5.函数f(x)=e|x|3x的部分图象大致为(　　)

6.方程x-ln x-2=0的根的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
7.[2023江苏南京联考] 吹气球时,记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V),r'(V)为r(V)的导函数.已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示,若0≤V10时,2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是　　　　　　　　. 
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点.
(1)求函数f(x)的增区间;
(2)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最小值.








18.设函数f(x)=x2+bln(x+1).
(1)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;
(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围.

















19.[2023江苏苏州月考]已知函数f(x)=aex-x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设x0为函数的极小值点,证明:f(x0)≥3-1a.








20. 如图,假设酒杯杯身的形状为倒立的圆锥,杯深8 cm,上口宽6 cm,水以20 cm3/s的流量倒入杯中,当水深为4 cm时,求水面升高的瞬时变化率.
















21.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价x最低不低于35元,最高不超过41元.
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(单位:万元)与每件产品的售价x(单位:元)的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.














22.已知函数f(x)=2ax-bx+ln x.
(1)若f(x)在x=1,x=12处取得极值.
①求a,b的值;
②若存在x0∈[14,2],使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值.
(2)当b=a时,若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.



第五章综合训练
1.D　∵f'(x0)=2,f'(x0)=limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=2,
∴limΔx→0f(x0)-f(x0-2Δx)Δx=2limΔx→0f(x0)-f(x0-2Δx)2Δx=4.故选D.
2.D　f'(x)=3x2+2ax+3.由f(x)在x=-3时取得极值,得f'(-3)=0,即27-6a+3=0,所以a=5.
经检验,当a=5时,f'(x)=0有两个不相等的实根,符合题意.故a=5.
3.B　由函数f(x)=ax2x-1(x>1),则f'(x)=2ax(x-1)-ax2(x-1)2=ax(x-2)(x-1)2.要使得函数f(x)有最大值-4,则ar'(2),所以B错误;对于C,设V1=0,V2=3,
∴r(V1+V22)=r(32),r(V1)+r(V2)2=r(3)2,由题图得r(32)>r(3)2,所以C错误;对于D,r(V2)-r(V1)V2-V1表示A(V1,r(V1)),B(V2,r(V2))两点连线的斜率,r'(V0)表示C(V0,r(V0))处切线的斜率,由于V0∈(V1,V2),所以可以平移直线AB使之与曲线相切,切点就是点C,所以D正确.故选D.
8.B　(方法1)若x=43,则a=x-1,b=xln x,令f(x)=xln x-(x-1),所以f'(x)=ln x+1-1=ln x.
令f'(x)=0,得x=1,所以在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)>f(1)=0,即43ln43-(43-1)>0,所以43ln43>13,即b>a.
令g(x)=ln(sin x+cos x)-x,则g'(x)=cosx-sinxsinx+cosx-1=-2sinxsinx+cosx,在(0,π2)上,g'(x)0;当x∈(0,1)时,f'(x)0),
当00,g(x)单调递增.
故g(x)min=g(1)=0,即g(x)≥g(1)=0,所以f(x0)≥3-1a.
20. 解 由题意,如图,设t时刻水面高为h,水面圆半径是r,


由图知rh=38,得r=38h,此时水的体积为13×π×r2×h=3π64h3,又由题设条件知,此时的水量为20t,故有20t=3π64h3,
故有h=(1 280t3π) 13,
所以h'=13×(1 280t3π) 13t-1,
又当h=4时,有t=3π20,故当h=4时,h'=809π,
所以当水深为4 cm时,则水面升高的瞬时变化率是809π cm/s.
21.解 (1)设该产品一年的销售量为Q(x)=kex,则ke40=500,
所以k=500e40,
则该产品一年的销售量Q(x)=500e40ex,
则该产品一年的利润L(x)=(x-a-30)500e40ex=500e40·x-a-30ex(35≤x≤41).
(2)L'(x)=500e40·31+a-xex,35≤x≤41.
①若2≤a≤4,则33≤a+31≤35,
当35≤x≤41时,L'(x)≤0且不恒为0,L(x)单调递减,
所以当x=35时,L(x)取得最大值为500(5-a)e5;
②若40,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a0,故只需Δ≤0,即a≤-24,此时f(x)在(0,+∞)上是减函数.
综上可得,a∈(-∞,-24]∪[0,+∞).