北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性巩固练习

【精编】1.2 数列的函数特性优选练习

一．填空题

1．
已知是数列{}的前项和，且满足则数列{}通项公式___．

2．数列满足，，则______.

3．
已知数列是以为首项，以2为公差的等差数列，数列满足，若对都有成立，则实数的取值范围是__________．

4．数列的一个通项公式是_________________．

5．数列满足，（），则_____________．

6．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数a的取值范围为_____．

7．
已知数列满足，为数列的前项和，则____________．

8．数列满足,则 __________.

9．已知，删除数列中所有能被整除的项，剩下的项从小到大构成数列，则______________．

10．已知数列中，， ，则__________．

11．数列_____.

12．已知函数f（n）=n2cos（nπ），数列{an}满足an=f（n）+f（n+1）（n∈N+），

则a1+a2++a2n=_____．

13．已知数列{an}中，an＝ (n∈N)，那么是这个数列的第________项．

14．已知数列满足：，且，，若，则______．

15．
已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围_________________

16．已知正项数列满足，，若，，则__________．

17．
已知数列{an}满足a1=1，且an＝an－1+2n1 (n≥2 )，则a20＝________．

18．
已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中的最大值为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】.

【解析】分析：根据题意写出,两式做差得到，再进行检验即可.

详解：，,两式做差得到，检验当n=1时，，符合题意；故数列{}通项公式.

故答案为：.

点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

2．【答案】15

【解析】根据递推关系式，利用累加法即可得数列的第5项.

【详解】

由，得，则，，，，把各式相加，得，

∴.

故答案为：15.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，考查累加法求数列通项或求数列的某一项，属基础题.

3．【答案】

【解析】分析：先根据等差数列通项公式求，代入化简，再根据二次函数最小值取法确定实数的取值范围.

详解：因为数列是以为首项，以2为公差的等差数列，所以,

所以

因为对都有成立，因此，

点睛：研究二次函数最值，一般从对称轴与定义区间位置出发进行研究，而对于数列，要注意其特殊性，即自变量为正整数的条件限制.

4．【答案】

【解析】本题可以先将进行化简，将化为，将化为，然后通过观察数列即可得出通项公式。

【详解】

故

【点睛】

本题考查数列的相关性质，考查通过数列的前几项来猜想出数列的通项公式，考查推理能力，考查归纳推理思想，是简单题。

5．【答案】

【解析】通过计算出等的值可以发现数列是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出的值。

【详解】

由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环，

所以

【点睛】

在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算。

6．【答案】(2，3)

【解析】根据数列{an}是递增数列，由分段函数的性质，得a＞1，且3-a＞0，且，解不等式组即可得到结论．

【详解】

由是递增数列，

∴即解得

故答案为：（2，3）

【点睛】

本题考查分段函数单调性的应用，{an}是递增数列，必须结合f（x）的单调性进行解题，但要注意{an}是递增数列与f（x）是增函数的区别与联系.

7．【答案】

【解析】

【分析】

由，令 ，求得 的值，，得 ，两式相比，即得 ，从而求得数列的前项和．

【详解】

∵，令 ，求得，当时 ∴∴数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列；

则

【点睛】

考查由递推公式求数列中的性质，，解决方法，体现了分类讨论的思想方法，属基础题.

8．【答案】

【解析】由已知条件递推出数列的周期性，继而求出结果

【详解】

因为，所以，

因为,所以，，，···

所以该数列以3为周期呈现,

则

【点睛】

本题主要考查了数列的概念，递推数列，属于中档题，根据已知条件，逐步计算即可求得结果，注意计算的准确性即可

9．【答案】

【解析】求出数列中的前8项，由不能被2整除，剩下的项从小到大构成数列，则，由此能求出答案

【详解】

，

，，，

，，，

，删除数列中所有能被整除的项，剩下的项从小到大构成数列，

故答案为

【点睛】

本题主要考查了构造新数列，当满足一定条件时构造出新数列，然后求出结果，需要掌握其中的规律，属于中档题。

10．【答案】

【解析】由递推关系可得：，

则：，

即列的通项公式为：，

则：.

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理．变形，变成等差．等比数列，或用累加法．累乘法．迭代法求通项．

11．【答案】1

【解析】根据，令n＝2，可得an的值，在令n＝1，即可求解．

【详解】

由题意：足，

令n＝2，可得，解得：．

令n＝1，可得，解得：a1＝1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了递推公式定义和计算，属于基础题．

12．【答案】

【解析】函数f（n）=n2cos（nπ），数列{an}满足an=f（n）+f（n+1）（n∈N+），可得：a2k-1=4k-1.a2k=-4k-1.a2k-1+a2k=-2.即可得出．

【详解】

函数f（n）=n2cos（nπ），数列{an}满足an=f（n）+f（n+1）（n∈N+），

a2k-1=f（2k-1）+f（2k）=-（2k-1）2+（2k）2=4k-1.

a2k=f（2k）+f（2k+1）=（2k）2-（2k+1）2=-4k-1.

∴a2k-1+a2k=-2.

∴a1+a2++a2n=-2n．

故答案为：-2n．

【点睛】

本题考查了三角函数求值．数列分组求和．分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13．【答案】10

【解析】

14．【答案】1009

【解析】由，，，可得，时，

，根据已知，对于上式两边取极限可得：

，即可解出．

【详解】

解：，，，

，时，，

，对于上式两边取极限可得：，

化为：，解得．

【点睛】

本题考查了数列极限性质．方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．【答案】

【解析】

【分析】

求出，问题转化为恒成立，令 ，根据函数的单调性求出的最大值，从而求出的范围即可．

【详解】

∵数列的前项和为，， ，
若对任意的对任意的恒成立，
即恒成立，
令，则，
令，解得：

令，解得：

故在递增，在递减，
故，
故.

【点睛】

本题考查了等比数列的性质，考查函数恒成立问题，考查函数的单调性以及求函数的最值问题，是一道中档题．

16．【答案】2

【解析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{xn}的周期为6，据此可得x2019＝x3+336×6＝x3，即可得答案．

【详解】

根据题意，数列{xn}满足xn+2，

若x1＝1，x2＝2，则x32，x41，x5，x6，

x71，x82，

则数列{xn}的周期为6，

x2019＝x3+336×6＝x3＝2；

故答案为：2.

【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用，涉及归纳推理的应用，关键是分析数列各项变化的规律．

17．【答案】400

【解析】

【分析】

由an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1=1．知an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1,可得到a20.

【详解】

由an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1=1．

知an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1

=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3+1=．

故a20＝400.

故答案为：400.

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；累加法，累乘法求通项方法；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

18．【答案】6

【解析】设等差数列的公差为.

∵

∴

∴

∵

∴，即.

∴或（舍去）

∴等差数列的首项为，公差为，则.

∴

联立，即，解得.

∴

∴数列项中的最大值为

故答案为.

点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：

（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；

（2）可以用或；

（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.