人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用学案含答案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用学案含答案，共167页。

第六章 | 平面向量及其应用

6．1 平面向量的概念

明确目标
发展素养
1.了解平面向量的实际背景．
2.了解平面向量的意义．
3.理解平面向量共线和向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素.
1.在学习平面向量概念的过程中，提升数学抽象、直观想象素养．
2.通过对平面向量共线与相等的学习，增强逻辑推理和数学运算素养.



知识点一　向量的实际背景与概念
(一)教材梳理填空
1．向量与数量：
(1)数量：只有大小没有方向的量称为数量．数量只是一个代数量，可正，可负，可为零．
(2)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．向量既有大小又有方向，因为方向无大小之分，所以向量不能比较大小．
[微思考]　物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？
提示：位移、速度、力等是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小没有方向．
2．有向线段的概念：
(1)定义：具有方向的线段叫做有向线段．

(2)表示方法及长度：
以A为起点、B为终点的有向线段记作 (如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.
(3)有向线段的三要素：起点、方向、长度．
3．向量的表示方法：
几何
表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向
字母
表示
通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，…

4．向量的相关概念：
向量的长度(模)
向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量的模是正实数． (×)
(2)单位向量的模相等． (√)
(3)有向线段就是向量． (×)
2．有下列物理量：①质量；②角度；③弹力；④风速．其中可以看成是向量的个数为 (　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
答案：B
3．(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是 (　　)

A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
答案：ABC

知识点二　相等向量与共线向量
(一)教材梳理填空
1．平行向量(共线向量)：
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量a和b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
2．相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．用有向线段表示的向量a和b相等，记作a＝b.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)相等向量一定是共线向量． (√)
(2)若向量a＝b，则|a|＝|b|. (√)
2.

如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
3.

如图所示，在▱ABCD中，与共线的向量有____________________________________．
答案：，，



题型一　向量的有关概念

【学透用活】

向量相关概念的注意点
(1)在用单个小写字母表示向量时，印刷用黑体a，b，c，书写用，，，注意区分．
(2)定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向．
(3)当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0.
(4)要注意0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且有|0|＝0.
[典例1]　(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B．若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b
C．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上
D．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反
[解析]　A不正确，由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系；B正确，因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b；C正确，单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一个点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上；D不正确，因为向量a与向量b中若有一个是零向量，则其方向不确定．
[答案]　BC

[方法技巧]
解决与向量概念有关问题的关键
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度．如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是1个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．　　

【对点练清】

下列说法中正确的个数为 (　　)
①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任意单位向量平行；③因为平行向量也叫做共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤向量的大小与方向有关；⑥向量的模可以比较大小．
A．3　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
解析：选A　①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0；②正确；③错误，平行向量所在的直线可能不共线；④错误，平行向量的平行关系不具有传递性；⑤错误，向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关；⑥正确，向量的模是一个数量，可以比较大小．

题型二　向量的表示及应用

【学透用活】
在画图时，向量是用有向线段来表示的，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，应该注意的是向量常用有向线段来表示，并不能说向量就是有向线段.

[典例2]　

在如图所示的坐标纸(每个小方格边长为1)中，用直尺和圆规画出下列向量：
(1) ，使| |＝4，点A在点O北偏东45°方向；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；
(3) ，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向．
[解]　(1)因为点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸中点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)因为点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)

由于点C在点B北偏东30°方向，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
[方法技巧]
用有向线段表示向量的步骤
　　

【对点练清】

　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹．
解：(1)

根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等．如图中的b即为所作向量．(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心、为半径的圆．
题型三　相等向量与共线向量

[探究发现]
(1)两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
(2)若∥，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
提示：分四种情况．
① 直线AB和直线CD重合，与同向；
② 直线AB和直线CD重合，与反向；
③直线AB∥直线CD，与同向；
④直线AB∥直线CD，与反向．
　　　
【学透用活】
[典例3]　如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量)
[解]　如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，．
[方法技巧]
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线的向量．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量．　　
【对点练清】

1．[变设问]本例中，与向量同向且长度为2的向量有几个？
解：与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个．
2.

[变设问]本例中，如图，与向量相等的向量有多少个？
解：图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量 方向相同的向量与其相等，共有8个，图略．
3．若||＝||且＝，试判断四边形ABCD的形状．
解：因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形．


【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1.

如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
证明：因为＝，所以||＝||，且AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形．
所以||＝||，且DA∥CB.
又因为与的方向相同，所以＝.
同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以＝
因为| |＝||，||＝||，
所以||＝||.又DN∥MB，所以与的模相等且方向相同，所以＝.

二、应用性——强调学以致用
2．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．
(1)作出向量，，，.
(2)问：D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
[析题建模]　
解：(1)以点A为原点建立平面直角坐标系，作出向量，

，，，如图所示．

(2)由图知，D地在A地的东南方向，D地距A地1 000 km.

课时跟踪检测　　　　　　　　　　　　　
层级(一)　“四基”落实练
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是 (　　)
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：选C　速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较
2.

(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是 (　　)
A．＝
B．∥
C．||＝||
D． ＝
解析：选ABC　由题图可知，||＝||，但，的方向不同，故≠，D不正确，其余均正确，故选A、B、C.
3．(多选)若a是任一非零向量，b是单位向量，则下列各式错误的是 (　　)
A．|a|>|b|　　　　　　 B．a∥b
C．|a|>0 D．|b|＝±1
解析：选ABD　对于A，因为a是任一非零向量，模长是任意的，所以|a|与|b|的大小不确定，故不正确；对于B，不一定有a∥b，故不正确；对于C，向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；对于D，|b|＝1，故D不正确．
4．下列说法正确的是 (　　)
A．若|a|＝|b|，则a∥b
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
解析：选B　当|a|＝|b|时，由于a，b方向是任意的，a∥b未必成立，所以A错误；因为零向量的长度是0，所以B正确；因为长度相等的向量方向不一定相同，所以C错误；因为共线向量不一定在同一条直线上，所以D错误．故选B.
5．如图所示，C，D是线段AB的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量共有 (　　)

A．3个 B．6个
C．8个 D．12个
解析：选B　1个单位长度的向量有，，，，， 6个；2个单位长度的向量有，， 4个；3个单位长度的向量有， 2个．因此，共6＋4＋2＝12个，但其中＝＝，＝＝，＝，＝因此互不相等的向量最多只有6个．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.

解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．
又∵m与，都共线，∴m＝0.
答案：0
8.如图所示，四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
解：(1)依据图形可知，，，与方向相同， ，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，.
(2)由四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.

层级(二)　能力提升练
1．(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 (　　)
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
解析：选ACD　因为a与b为相等向量，所以a∥b，即A能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即B不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即C能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是A、C、D.
2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)．若所有向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个．
解析：与平行且长度为的线段即为小正方形中与线段AB平行的对角线，共有12条这样的对角线，且每条对角线都对应2条方向相反的向量，则满足条件的向量有24个．
答案：24
3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个．
解析：如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个．
答案：11
4.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且||＝2，||＝5，求||.
解：如图，过D作DH∥AB，分别交EF，BC于点G，H.
∵E，F分别为腰AB，DC的三等分点，
∴EF∥AD∥BC.∴G为DH的三等分点．
∴∥，且||＝||.∵||＝2，
∴||＝||＝2.又∵||＝5，∴||＝3，
∴||＝1.∴||＝||＋||＝2＋1＝3.

5．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.

(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．


(2)由(1)所画的图可知，①当点C位于点C1或C2时，|| 取得最小值 ＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝，∴||的最大值为，最小值为.
层级(三)　素养培优练
一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变一个角度α，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变一个角度α，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．
(1)作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零？
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．
解：

(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零．
(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，
设n为操作次数，故有n(180°－α)＝(n－2)180°.
即α＝，n为不小于3的整数．
如：α＝30°，则n＝12，即操作12次可回到起点．
α＝15°，则n＝24，即操作24次可回到起点．

6．2 平面向量的运算

6．2.1　向量的加法运算

明确目标
发展素养
1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义．
2.掌握平面向量的加法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及加法运算律.
1.在学习向量加法运算的过程中，提升逻辑推理、数学运算素养．
2.通过对平面向量加法运算的几何意义的理解，提升数学抽象、直观想象素养.


知识点　向量的加法运算
(一)教材梳理填空
1．向量加法的定义及运算法则：
定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则
前提
已知非零向量a，b
作法
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量
结论
向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图形

向量加法的平行四边形法则
前提
已知不共线的两个向量a，b
作法
在平面内任取一点O，作＝a，＝b.以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b
结论
对角线就是a与b的和
图形

规定
零向量与任意向量a的和都有a＋00a＝a
2.向量a，b的模与a＋b的模之间的关系：
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b同向时等号成立．
3．向量加法的运算律：
交换律
结合律
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量． (√)
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加． (×)
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． (×)
2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为 ( )
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
答案：D
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋＝ (　　)

A．a B．b
C．0 D．a＋b
答案：B



题型一　向量的加法及其几何意义

【学透用活】

向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则的区别与联系
区别：(1)向量加法的三角形法则中强调“首尾相接”，向量加法的平行四边形法则中强调“共起点”．
(2)向量加法的三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时应视情况而定．
[典例1]　

如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
[解]　法一(三角形法则)
可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.


如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．

法二

(平行四边形法则)　
如图，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即为所求．

[深化探究]

(1)如图，已知四个非零向量a，b，c，d，求作和向量a＋b＋c＋d.

解：

如图，在平面上任选一点O，作向量＝a，＝b，＝c，＝d，则＝＋＋＋＝a＋b＋c＋d.
(2)典例1和上面第(1)题，都利用了向量加法的三角形法则，分别作出了三个、四个向量的和向量，你能据此写出求n个向量和向量的结果吗？

提示：向量求和的多边形法则．
已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则，即＋＋＋…＋＝.

[方法技巧]
1．应用向量加法的三角形法则求向量和的基本步骤
(1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
(2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两个向量的和．
2．应用向量加法的平行四边形法则求向量和的基本步骤
(1)平移两个不共线的向量使之共起点．
(2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
(3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．　　

【对点练清】

如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.

解：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图①.
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图②.
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图③.


题型二　向量加法及运算律的应用

【学透用活】

(1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
(2)我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量a，再走过的位移为向量b；方案②先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a.则方案①②中质点A一定会到达同一终点．
(3)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
[典例2]　

如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
(1)＋＝_________；
(2)＋＝_________；
(3)＋＋＝_________.
[解析]　如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知，
(1)＋＝＋＝.
(2)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝.
[答案]　(1)　(2)　(3)

[方法技巧]
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．　　
【对点练清】

1．[变设问]在本例条件下，求＋.
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝.
2．化简下列各式：
(1)＋＋＋＋；
(2)(＋)＋＋.
解：(1)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
(2)(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.

题型三　向量加法的实际应用

【学透用活】

[典例3]　一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离．
[解] 如图所示，

　
＝＋，∠BAC＝90°，||＝||＝300 km，所以||＝300 km.
又因为∠ABC＝45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向处．故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°，B，C两地间的距离为300 km.
[方法技巧]
应用向量解决实际应用问题的基本步骤
　　

【对点练清】

在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．

解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||，两次飞行的位移的和是＋＝.依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)．因为∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.


【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在四边形ABCD中，＝，且|＋|＝|＋|，求证：四边形ABCD为矩形．
证明：因为四边形ABCD中，＝，所以四边形ABCD为平行四边形，如图．所以＋＝，＋＝＋＝.
因为|＋|＝|＋|，所以||＝||，
即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形．
二、应用性——强调学以致用

2.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°， ∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
[析题建模]


解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°＝10×＝5(N)．
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
解：在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋ ＝ .因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知，当点B在点B1时，即O，A，B1三点共线时，|a＋e|最大，最大值是3.

课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是 (　　)
A．梯形　　　　　　　　　 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
解析：选D　由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D.
2．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是 (　　)
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
解析：选ABD　在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.
3.

如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝ (　　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
解析：选B　 ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示
(　　)
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km


解析：选B　如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B.
5．(多选)下列命题是假命题的是 (　　)
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．△ABC中，必有＋＋＝0
C．若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
解析：选ACD　A是假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；B是真命题；C是假命题，当A，B，C三点共线时也可以有＋＋＝0；D是假命题，只有当a与b同向时，两式子相等，其他情况均为|a＋b|<|a|＋|b|.
6．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________，＋＝________，＋＝________.

解析：利用三角形法则和平行四边形法则求解．
答案：　　 (或)
7．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为________．
解析：因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍．又||＝＝2，
所以向量＋＋的长度为4.
答案：4
8．已知向量a，b，c
（1）如图①，求作向量a＋b；
（2）如图②,求作向量a＋b＋c；


解：(1)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，
＝b，＝c，则＝a＋b＋c.

层级(二)　能力提升练
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是 (　　)
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D　

＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．故选D.
2．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的是
(　　)
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
解析：选AC　∵a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0b＝b，即B错，C对；D中|0b|＝|b|＝|0||b|，即D错．
3．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________．
解析：由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4.
答案：4
4.如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝ 24
N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N．求F1和F2的合力大小．
解：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.
在△OCA中，| |＝24，||＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°， ∴||＝12.∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90° 角竖直向上．
5.

如图，已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：
(1)＋；(2)＋.
解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．
(2)在AB上取点G，使AG＝AB，
则向量 即为所求．
层级(三)　素养培优练
在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1， ＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|的值．
解：∵ ＋＝＋＝0，∴＝，＝.
∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||＝1，
∴四边形ABCD为菱形．
又cos∠DAB＝，0°<∠DAB<180°，
∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，
|＋|＝||＝||＝1.

6．2.2　向量的减法运算




明确目标
发展素养
1.理解向量减法的概念以及向量减法的几何意义．
2.掌握平面向量的减法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及减法运算律.
1.通过学习向量减法及有关概念，提升数学抽象、直观想象素养．
2.通过对向量减法运算几何意义的理解及应用，增强逻辑推理、直观想象、数学运算素养.



知识点一　相反向量
(一)教材梳理填空
定义
与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a
性质
－(－a)＝
零向量的相反向量仍是零向量
a＋(－a)＝(－a) ＋a＝0
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，
b＝－a，a＋b＝0
[微思考]　在定义中“长度相等”是多余的，对吗？
提示：不对．相反向量要从“长度”与“方向”两个方面理解，不仅要方向相反，还要长度相等．

(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)相反向量就是方向相反的向量． (×)
(2)－＝，－(－a)＝a. (√)
2．若非零向量m与n是相反向量，则下列不正确的是 (　　)
A．m＝n　　　　　　 　 　 B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
答案：A
3．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
答案：，
知识点二　 向量的减法运算
(一)教材梳理填空
定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法

在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，则向量a－b＝ ，如图所示
几何
意义
如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
[微思考]　移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？
提示：成立，移项法则对向量等式适用．

(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)两个相等向量之差等于0. (√)
(2)两个相反向量之差等于0. (×)
(3)两个向量的差仍是一个向量． (√)
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． (√)
2．化简－＋所得的结果是 (　　)
A． B．
C．0 D．
答案：C


题型一　向量的减法及其几何意义

【学透用活】

[典例1]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解]　法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.


[方法技巧]
求作两个向量差向量的2种思路
(1)直接用向量加法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
(2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．　　
【对点练清】
1．[变设问]若本例条件不变，求作向量a－b－c.
解：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.

2.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作向量b＋ c－a.
解：法一：如图，以，为邻边作▱OBDC，
连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，
＝－＝b＋c－a.
法二：
作＝＝b，连接AD，则＝－＝c－a，＝
＋＝c－a＋b＝b＋c－a.

题型二　向量的减法运算

【学透用活】

[典例2]　化简：(1)＋－＝________；
(2)＋(＋)＋＝________；
(3) －－－＝________.
[解析](1)原式＝＋(－O)＝＋＝0.
(2)原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
(3)原式＝(－)－(＋)＝.
[答案]　(1)0　(2)0　(3)
[方法技巧]
向量减法运算的常用方法
　　

【对点练清】

化简下列各式：
(1)－－；
(2)＋－；
(3)－－.
解：(1)－－＝＋＝.
(2)＋－＝－＝.
(3)－－＝＋＋＝＋＋＝.

题型三　用已知向量表示其他向量

【学透用活】
用已知向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用向量加法的平行四边形法则和三角形法则．
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是不是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则．
[典例3]　
如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
[解]　由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则(1) ＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3) ＝＋＋＝a＋b＋e.
(4) ＝－＝－(＋)＝－c－d.
[方法技巧]
利用已知向量表示其他向量的思路
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用向量加法的三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接．当两个向量共起点时，可以考虑用减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－ (M，N均是同一平面内的任意点)．　　

【对点练清】
如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示下列向量：
①＝________；②＝________；
③ ＝________；④＝________.
解析：∵四边形ACDE为平行四边形，∴＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，∴＝＋＝b－a＋c.
答案：①c　②b－a　③c－a　④b－a＋c



【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．如图所示，在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.

解：如图，b＋c＝，

a－b－c＝a－(b＋c)＝a－―→＝―→－＝，
则|a－b－c|＝||
＝＝8.
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．已知三个非零向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，表示它们的有向线段是否一定能构成三角形？如果不一定，那么a，b，c满足什么条件才能构成三角形？
解：不一定．
当a，b不共线时，在平面上任取一点A，作＝a，
再以点B为起点，作＝b，则＝a＋b.
∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)＝－＝.
∴当a＋b＋c＝0时，表示a，b，c的有向线段能构成△ABC.
当a，b共线时，即使a＋b＋c＝0成立，表示a，b，c的有向线段也不能构成三角形．
综上所述，只有当a，b，c均不共线时，表示它们的有向线段才能构成三角形．

课时跟踪检测
　　　　　　　　　　　　　
层级(一)　“四基”落实练
1.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 (　　)
A．＝
B．＋＝
C．－＝
D．＋＝0
解析：选ABD　结合图形可知，A、B、D显然正确．由于－＝，故C项错．
2．已知向量a与b反向，则下列等式成立的是 (　　)
A．|a|＋|b|＝|a－b|　　 B．|a|－|b|＝|a－b|
C．|a＋b|＝|a－b| D．|a|＋|b|＝|a＋b|
解析：选A　如图，作＝a，＝－b，易知选A.

3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析：选A　＝D＋＋＝－＋＝a－b＋c.
4．(多选)下列结果为零向量的是 (　　)
A．－(＋) B．－＋－
C．－＋ D．＋＋－
解析：选BCD　A项，－(＋)＝－＝2；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项， ＋＋－＝＋＝0.故选B、C、D.
5．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 (　　)
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：选B　易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B.
6.

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
解析：由题图知－－＋＋＝－＋＝.
答案：
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0.
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1.∵a与b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0　2
8.

如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解：

作法：如图，作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.作向量＝a，
则＝a－b＋a.

层级(二)　能力提升练
1．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是 (　　)
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
解析：选C　∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.
2．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
解析：－＋＝＋＋＝

＋.因为＋＝0，所以－＋＝0.
答案：0
3.如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a， ＝b，＝c，则＝________.
解析：因为＝－，而＝－＝a－b，＝－＝－c，所以＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
4.如图，已知点B是▱ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c；＝－＝b－a；
＝－＝c－a；＝－＝c－b；
＝＋＝b－a＋c.
5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，求||.
解：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB.
由向量的加、减法的几何意义可知＝＋，＝－.因为|＋|＝|－|，
所以||＝||.又||＝4，M是线段BC的中点，
所以M是对角线BC，AD的交点，
所以||＝||＝||＝2.
6．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速直线运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速直线运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD为菱形，
＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．
层级(三)　素养培优练
1．已知||＝3，| |＝4，∠BAC＝90°，求|－|.
解：如图，∵－A＝，∠BAC＝90°，
∴||＝5，∴|－|＝5.
2.如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证： ＝＋＋.
解：连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，连接DA，DC(图略)，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC.
又AH⊥BC，CH⊥AB，∴CH∥DA，AH∥DC，
∴四边形AHCD是平行四边形．
∴＝.又＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＝＋＋.
2．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，－＝λ，则λ＝________.

解析：连接A6A3，A1A4，A7A2且A6A3∩A1A4＝B，在A1A4上取一点C，使得＝，则四边形A1CA6A7为平行四边形，＝.设||＝m，则| |＝||＝m＋m＋m＝(2＋)m，由图可知，－＝＋ ＝＋＝2＝2×＝·.
答案：


6．2.3　向量的数乘运算

明确目标
发展素养
1.掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义．
2.理解两个平面向量共线的含义．
3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.通过理解向量数乘定义及几何意义，提升数学抽象素养．
2.通过运用数乘运算律和共线向量定理及应
用，增强逻辑推理、数学运算素养.



知识点一　向量的数乘运算
(一)教材梳理填空
1．向量的数乘运算：
定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度
|λa|＝|λ||a|
方
向
λ＝0
λa的方向与a的方向相同
λ＞0
λa＝0
λ＝0
λa的方向与a的方向相反
[微思考]　向量数乘λa的几何意义是什么？
提示：当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长了|λ|倍．
当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短了|λ|.
2．向量数乘运算的运算律：
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)λa的方向与a的方向一致． (×)
(2)若λa＝0，则a＝0. (×)
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.(×)
2．已知非零向量a，b满足a＝4b，则 (　　)
A．|a|＝|b|　　　　　　　　 B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
答案：C
3．3(2a－4b)等于 (　　)
A．5a＋7b B．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
答案：D
知识点二　 共线向量定理
(一)教材梳理填空
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

[微思考]　定理中把“a≠0”去掉可以吗？
提示：不可以．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.

(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa. (×)
(2)若b＝λa，则a与b共线． (√)
2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是 (　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
答案：C
3．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b.
答案：8


题型一　向量的线性运算

【学透用活】

[典例1]　化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解]　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
[方法技巧]
向量数乘运算的方法
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　　

【对点练清】

1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b＝－a＋b
＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j.
2．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.
解：联立方程组解得

题型二　用已知向量表示其他向量

【学透用活】

[典例2]　如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
[解]　由三角形中位线定理，知DE綉BC，
故＝，即＝a.
∴＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b，
＝＋＋＝＋＋
＝－a－b＋a＝a－b.
[方法技巧]
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法：

(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用加法的三角形法则或加法的平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
[提醒]　用已知向量表示其他向量的关键是弄清向量之间的数量关系．　　
【对点练清】

1.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a－b　　　　　　　 B.a＋b
C．a＋b D．a－b
解析：选D　＝＋＝＋
＝－＝a－b.
2.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行 四 边形，BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示， ，.
解：因为＝＝＝(－)＝(a－b)，
所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
因为＝＝，
所以＝＋＝＋
＝＝(＋)＝(a＋b)，
所以＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
题型三　向量共线定理及应用

【分类例析】

角度(一)　证明或判断三点共线　
[典例3]　已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
[证明]　∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2.∴∥.∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
[方法技巧]
证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定A，B，C三点共线，只需存在实数λ，使得＝λ (或＝λ等)即可．
(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.　　
角度(二)　由三点共线求参数值　
[典例4]　已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
[解]　∵A，B，P三点共线，∴向量，共线．
∴必定存在实数λ，使＝λ，即－＝λ(－)．∴＝(1－λ) ＋λ，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.

[方法技巧]
利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．　　

【对点练清】

1．若典例3中条件“＝2e1－8e2”改为“＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？
解：因为A，B，D三点共线，所以与共线．
设＝λ (λ∈R)，
∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.
由e1与e2不共线，可得∴λ＝2，k＝－8.
2．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2.试判断下列向量是否共线．
(1)与；(2)与；(3)与.
解：由题意可得，＝＋＋＝e1＋2e2－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝3e1＋6e2，
＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋4e2，
＝＋B＝e1＋2e2－5e1＋6e2＝－4e1＋8e2.
(1)＝3(e1＋2e2)＝3，∴与共线．
(2)B与不共线．(3)与不共线．


【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知非零向量e1和e2，试判断3e1＋2e2与3e1－2e2是否共线．
解：若存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ(3e1－2e2)，
则3e1＋2e2＝3λe1－2λe2，即(3－3λ)e1＝(－2λ－2)e2，
于是λ无解，所以不存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ(3e1－2e2)，故两个向量不共线．
以上解题过程错在什么地方？你能发现吗？怎样避免这类错误呢？
提示：错解中对向量共线的条件理解不清，只有当e1，e2不共线，且λe1＝μe2时，才有λ＝μ＝0，否则不一定成立．题目条件没有限定e1和e2不共线，因此，上述解法是错误的．
正确解题过程为：①若向量e1和e2不共线，由错解过程可知3e1＋2e2与3e1－2e2不共线．②若向量e1和e2共线，可设e2＝ke1(k∈R)，则3e1＋2e2＝(3＋2k)e1，
3e1－2e2＝(3－2k)e1，3＋2k与3－2k中至少有一个不为0，不妨设3－2k≠0，于是3e1＋2e2＝(3e1－2e2)，这时3e1＋2e2与3e1－2e2共线．

二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．已知△ABC中，＝a，＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过△ABC内的某一个定点？说明理由．
解：

如图，以AB，AC为邻边作▱ABDC，设对角线AD，BC交于点E，＝＝(a＋b)．
由＝＋λa＋λb得到－＝
＝2λ·(a＋b)＝2λ，λ∈[0，＋∞)，
∴与共线．由λ∈[0，＋∞)知，动点P的轨迹是射线AE，∴动点P的轨迹必过△ABC的重心．

课时跟踪检测

层级(一)　“四基”落实练
1．(多选)下列各式计算正确的是 (　　)
A．(－7)×6a＝－42a
B．a－2b＋2(a＋b)＝3a
C．a＋b－(a＋b)＝0
D．(a－b)－3(a＋b)＝－2a－4b
解析：选ABD　根据向量数乘的运算律可验证A、B正确；C错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数；D正确，(a－b)－3(a＋b)＝a－b－3a－3b＝－2a－4b.
2．点C在直线AB上，且＝3，则等于 (　　)
A．－2 　　　　　　　　 B.
C．－ D．2
解析：选D　如图，＝3，所以＝2.

3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则
(　　)
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．2＝
解析：选B　因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.
4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为 (　　)
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：选A　因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是 (　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
解析：选AB　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，又λ≠μ，故B可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．故选A、B.
6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________.
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使＝k.因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，
所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．因为a与b不共线，
所以解得λ＝2或λ＝－1.
答案：－1或2
7．已知点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.
答案：　－
8．化简：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
解：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.

层级(二)　能力提升练
1.如图，在△ABC中，＝a，＝b， ＝3 ，＝ 2，则＝ (　　)
A．－a＋b B.a－b
C.a＋b D．－a＋b
解析：选D　由平面向量的三角形法则，
可知＝＋＝＋＝(－)－＝－＋＝－a＋b.故选D.
2．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ<0⇒k<0)．
答案：－4
3.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝ m＋n (m，n∈R)，则m－n＝________.
解析：由题意得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
4．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．已知＝c， ＝d，试用c，d表示和.
解：如图，设＝a，＝b.∵M，N分别是DC，BC的中点，
∴＝b，
DM―→＝a.∵在△ADM和△ABN中，

①×2－②，得b＝(2c－d)，②×2－①，
得a＝(2d－c)．∴＝d－c，＝c－d.
5.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝，
＝a，＝b.
(1)用a，b表示，， ，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)如图，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则＝a＋b，
＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，
＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．
又∵，有公共点B，∴B，E，F三点共线．
6．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，
即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
层级(三)　素养培优练
1.

如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是_________．
解析：设＝k,0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k.∵＝λ＋μ，且与不共线，∴∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ 的最大值是3.
答案：3
2.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的 斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若＝x＋y，求x，y的值．
解：如图，先过B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，再过点A作AF⊥BE交BE于点F，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，则CE＝BE，
设CE＝BE＝mCD，则AF＝(m＋1)CD，BF＝(m－1)DA，AB＝2AD.
在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，所以[(m＋1)CD]2＋[(m－1)DA]2＝(2 DA)2，解得m＝，故＝＋＋＝＋ ＋＝(1＋)＋，故x＝1＋，y＝.
6．2.4　向量的数量积

明确目标
发展素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义．
2.会计算平面向量的数量积．
3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求向量的投影．
4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
1.通过学习向量数量积的定义，提升数学抽象、数学运算素养．
2.通过对向量投影及投影向量概念的学习，提升数学抽象素养．
3.在数量积的应用过程中，提升逻辑推理、数学运算素养.


知识点一　向量的数量积
(一)教材梳理填空
1．平面向量的夹角：
条件
两个非零向量a和b
产生
过程
作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角

范围
[0，π]
续表
特
殊
情
况
θ＝0
a与b同向
θ＝π
a与b反向
θ＝
a与b垂直，记作a⊥b

2．向量的数量积：
定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
规定
零向量与任一向量的数量积为
3.投影向量：
(1)如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A 和 终 点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON
的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
(3)设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量＝|a|cos θ·e.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量数量积的运算结果是向量． (×)
(2)向量a在向量b上的投影向量一定是数量． (×)
(3)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0. (√)
(4)|a·b|≤a·b.(×)
2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于 (　　)
A.　　 B.　　　 C．1＋　　　 D．2
答案：A
3．已知|a|＝1，|b|＝2，设e是与a同方向上的单位向量，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为______．
答案：e
知识点二　 平面向量数量积的性质及运算律
(一)教材梳理填空
1．数量积的性质：
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a，b同向时，a·b＝|a||b|；当a，b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
2．平面向量数量积的运算律：
交换律
a·b＝b·a
结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)． (×)
(2)已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c. (×)
(3)λ(a·b)＝(λa)·b. (√)
2．已知|a|＝7，则a·a＝_________.
答案：49
3．已知|a|＝8，|b|＝1，a·b＝8，则a与b的夹角θ＝______.
答案：0
4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝2，则|a＋b|＝________.
答案：2



题型一　向量的数量积运算

【学透用活】

[典例1]　(1)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：
①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．
(2)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，求a在e1上的投影向量．
[解]　(1)①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.
②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，
所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15，
所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2
＝200＋15－9＝206.
(2)设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影向量为|a|cos θ·e1＝·e1＝e1.
[方法技巧]
1．求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．
(2)分别求|a|和|b|.
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
2．求投影向量的两种方法
(1)b在a方向上的投影向量为|b|cos θ·，θ为a，b的夹角，a在b方向上的投影向量为|a|cos θ·.
(2)b在a方向上的投影向量为·，a在b方向上的投影向量为·.　　

【对点练清】
1．已知a·b＝16，若a在b上的投影向量为4b，则|b|＝________.
解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cos θ＝16.①
由a在b上的投影向量为|a|cos θ＝4b，得|a|cos θ＝4|b|.②
由①②，得|b|＝2.
答案：2
2．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解：(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.

题型二　向量的模

【学透用活】

[典例2]　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a·b；
(2)求|a＋b|.
[解]　(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
将|a|＝4，|b|＝3代入上式，得a·b＝－6.
(2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13，所以|a＋b|＝.
[方法技巧]
求向量模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．　　

【对点练清】

1．已知向量a，b满足|a|＝，a与b的夹角为135°，|a＋b|＝，则|b|＝_________.
解析：∵|a＋b|＝，∴a2＋2a·b＋b2＝5，
∴|a|2＋2|a|·|b|cos 135°＋|b|2＝5，
∴|b|2－2|b|－3＝0.∴|b|＝3或|b|＝－1(舍去)．
答案：3
2．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
解：∵|a＋b|＝4，
∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)
∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.
又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝.

题型三　与向量夹角、垂直有关的问题
[探究发现]
(1)如何求向量a与b的夹角？
提示：利用夹角公式cos θ＝求cos θ的值，再结合向量夹角的范围求θ.
(2)设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
提示：a⊥b⇔a·b＝0，a，b为非零向量．
　　　
【学透用活】

[典例3]　(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[解析]　(1)∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.
答案：(0,1)∪(1，＋∞)
(2)由已知条件得

即
②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
[方法技巧]
1．求向量夹角的方法
(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解．
(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．
(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．
2．求向量夹角的注意点
要注意夹角θ的范围为[0，π]．当cos θ＞0时，θ∈；当cos θ＜0时，θ∈；当cos θ＝0时，θ＝.　　
【对点练清】

1．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
解析：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 45°＝.因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.
答案：
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
解：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0)．
3．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，当m为何值时，c与d垂直？
解：由已知，得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即当m＝时，c与d垂直．



【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－ (λ∈R)，且·＝－4，求λ的值．
解：设＝a，＝b，由已知得|a|＝3，
|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 60°＝3，
因为＝2，所以－＝2(－)，
所以＝＋＝a＋b，
所以·＝·(λb－a)
＝a·b－a2＋b2＝(λ－2)－×9＋×4＝－4，解得λ＝.

二、应用性——强调学以致用
2.设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2， 且F1与F2的夹角为π，如图所示．
(1)求F3的大小；
(2)求F2与F3的夹角．
[析题建模]
(1)→
(2)→→
解：(1)由题意知|F3|＝|F1＋F2|.因为|F1|＝1，|F2|＝2，
且F1与F2的夹角为π，
所以|F3|＝|F1＋F2|＝ ＝.
(2)设F2与F3的夹角为θ，因为F3＝－(F1＋F2)，
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以·2·cos θ＝－1×2×－4，
所以cos θ＝－，所以θ＝π.

三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．已知向量a与b的夹角为θ，定义a×b为a与b的“向量积”，且a×b是一个向量，它的长度|a×b|＝|a||b|sin θ.若|u|＝2，|u＋v|＝2，(u＋v)·u＝6，则|u×(u＋v)|的值为 ________．
解析：设u与u＋v的夹角为θ，由题意知，cos θ＝＝＝，即cos θ＝，且0≤θ≤π，所以sin θ＝，
由定义知|u×(u＋v)|＝|u|·|u＋v|sin θ＝2×2×＝2.
答案：2
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层级(一)　“四基”落实练
1．(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．向量b在向量a上的投影是向量
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若a·b＝0，则a⊥b
解析：选AB　对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ (　　)
A．4　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．0
解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.
3．(2020·全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D　由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，
所以cosa，a＋b＝＝＝，故选D.
4．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝ (　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选A　因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.
5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为 (　　)
A．4 B．－4
C. D．－
解析：选B　由题意知，cos〈m，n〉＝＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，
所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4.
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________．
解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b方向上的投影向量为b.
答案：b
7．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝________.
解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.
答案：6
8．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b且同向，求a·b；
(2)若向量a，b的夹角为135°，求|a＋b|.
解：(1)若a∥b且同向，则a与b夹角为0°，
此时a·b＝|a||b|＝.
(2)|a＋b|＝ ＝
＝＝1.

层级(二)　能力提升练
1.如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝ (　　)
A．20　　　　　　 　 B.
C．2 D.
解析：选C　由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a
＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C.
2．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于 (　　)
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
解析：选A　cos θ＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，
∴sin θ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.
3．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝
________.
解析：∵c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，
∴|c|＝3.又∵a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，
∴cos〈a，c〉＝＝.
答案：
4．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值．
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)
＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝|b|22＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
5．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1－1＋1＝1，
所以|a＋2b|＝1.又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
层级(三)　素养培优练
1．下面图①是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图②所示，图②中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则·＝(　　)

A．32 B．28
C．26 D．24
解析：选C　如图所示，建立以a，b为一组基底的基向量，其中|a|＝|b|＝1且a，b的夹角为60°，

∴＝2a＋4b，＝4a＋2b，
∴·＝(2a＋4b)·(4a＋2b)＝8a2＋8b2＋20a·b＝8＋8＋20×1×1×＝26.
2．选择下列条件补充到题中横线上，并求k的取值范围．
①锐角；②钝角．
设{e1，e2}为标准正交基，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为________，试求k的取值范围．
解：选择条件①锐角：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是(0,1)∪(1，＋∞)．
选择条件②钝角：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k<0，∴k<0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0)．
3.如图，在直角△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：
与的夹角取何值时， ·最大？并求出这个最大值．
解：如图，设与的夹角为θ，

则·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·＝－a2－·＋·
＝－a2－·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2cos θ.
故当cos θ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.

6．3 平面向量基本定理及坐标表示

6．3.1　平面向量基本定理

明确目标
发展素养
1.了解向量的一个基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理．
2.在平面内，当一个基底选定后会用这个基底来表示其他向量．
3.能灵活应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
1.通过理解平面向量基本定理的概念，提升数学抽象、直观想象素养．
2.通过运用平面向量基本定理解决问题，达成逻辑推理、数学运算素养.



知识点　平面向量基本定理
(一)教材梳理填空
平面向量基本定理：
(1)定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
[微思考]　定理中的“不共线”是否可以去掉？平面内的任一向量都能用e1，e2唯一表示吗？
提示：不能去掉“不共线”，两个共线向量不能表示平面内的任一向量，不能作为基底．平面内任一向量都能用两个确定的不共线的e1，e2表示，且这样的表示是唯一的．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底． (×)
(2)零向量可以作为基向量． (×)
(3)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量． (√)
2．若e1，e2是平面内的一个基底，则下列向量能作为平面向量的基底的是 (　　)
A．e1－e2，e2－e1　　　　　 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
答案：D
3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．

答案：4e1＋3e2
4．若向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________．
答案：3


题型一　对平面向量基本定理的理解

【学透用活】

(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
(2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值．
(3){e1，e2}是同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
[典例1]　(多选)
如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，有下列向量组，可
作为该平面内的其他向量基底的是 (　　)
A．与 　　　　　 B．与
C． 与 D．与
[解析]　结合图形可知，与不共线，与不共线，∴A、C可以作为基底．B、D两组向量分别共线，故不可以作为基底．
[答案]　AC
[深化探究]
若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？
提示：∵λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，又e1，e2不共线，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.
[方法技巧]
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．　　
1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量
是 (　　)
A．， B．，
C．， D．，
解析：选B　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底．故选B.
2．设{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　)
A. B．－
C．－3 D．3
解析：选B　因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，
即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，
解得λ＝－.故选B.

题型二　用基底表示向量

【学透用活】

[典例2]　(1)(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则下列结论中正确的是 (　　)
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
(2)如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G.若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
[解]　(1)如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确； ＝＝－a，D不正确．
答案：ABC
(2)＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝a－b.
＝＋＋＝－＋＋＝b－a.
[方法技巧]
用基底表示向量的依据和两个“模型”
(1)依据：
①向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则；
②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义．
(2)模型：
　　

【对点练清】

1．[变设问]若本例(2)中条件不变，试用a，b表示.
解：由平面几何的知识可知＝，
故＝＋＝＋＝a＋
＝a＋b－a＝a＋b.
2．[变条件]若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
解：＝＋＝2＋
＝－2＋＝－2b＋a.
＝＋＝2＋
＝－2＋＝－2a＋b.
3．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝3＝r＋s，求r－s的值．
解：因为＝3＝r＋s，
所以＝＝(－)＝r＋s，
所以r＝，s＝－，所以r－s＝＋＝.
题型三　平面向量基本定理的应用

【学透用活】

[典例3]　如图，在△ABC中，点M是 BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
[解]　设＝e1， ＝e2，则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μ e1＋μ e2.∴＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得∴＝，＝，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
[方法技巧]
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量为基底．
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．　　


【对点练清】
面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量， ， ；
(2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
解：(1)∵＝a， ＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，＝(a＋b－c)．
(2)证明：设线段EL的中点为P1，
则＝(＋)＝(a＋b＋c)．
设FM，GN的中点分别为P2，P3，
同理可求得＝(a＋b＋c)， ＝(a＋b＋c)．
∴＝＝，即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．


【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点共线？
解：由题意知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb.C，D，E三点在一条直线的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理，得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b，
则有解得t＝.
分析以上解题过程是否错误，若错误，指出错误之处，并给出正确的解题过程．
提示：以上解析忽视了平面向量基本定理的使用条件，出现了漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解．
正解如下：
解：由题意知，＝－＝d－c＝2b－3a，
＝－＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb.
C，D，E三点共线的充要条件是存在实数k，
使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
①若a，b共线，则t可为任意实数；
②若a，b不共线，则有解得t＝.综上可知，当a，b共线时，t可为任意实数；当a，b不共线时，t＝.

二、应用性——强调学以致用
2．[好题分享——选自苏教版新教材]已知，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的摩擦力f.
[析题建模]

解：物体受到三个力：

重力G(方向竖直向下，大小为mg N)，
斜面的支持力N(方向与斜面垂直向上，大小记为p N)，
摩擦力f(方向与斜面平行向上，大小记为f N)．
因为物体静止，所以上述三个力的合力为零，
即G＋N＋f＝0，则－f＝G＋N，
所以(－f)·(－f)＝(G＋N)·(－f)＝G·(－f)
＝|G||－f|cos，即 |－f|2＝|G||－f|sin θ，
从而|－f|＝|G|sin θ＝mgsin θ(N)．
答：斜面对于物体的摩擦力f的大小为mgsin θ N，方向与斜面平行向上．

三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．在平面上给定一个△ABC，试判断平面上是否存在这样的点P，使线段AP的中点为M，BM的中点为N，CN的中点为P.若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．
解：假设符合要求的点P存在，如图所示，连接AN.∵M是AP的中点，

∴＝.∵N是BM的中点，
∴＝(＋)
＝×＝＋.①
又P是CN的中点，
∴＝(＋)．②
由①②得＝×，
即＝＋.由平面向量基本定理知，是唯一存在的，所以符合条件的点P有且只有一个．
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层级(一)　“四基”落实练
1.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A.(5e1＋3e2)　　　　　　 B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
解析：选A　＝＝(－)
＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
2．已知平行四边形ABCD，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝ (　　)
A．0 B．1
C．－1 D．任意实数
解析：选B　因为，，共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.
3．如图，向量a－b等于 (　　)

A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C　不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，由平行四边形法则可知＝e1－3e2.
4．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m＋，则实数m 的值为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋＝m＋，∴解得
5．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则 (　　)
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A　由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
解析：∵e1，e2不共线，∴
解得∴x＋y＝0.
答案：0
7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于 点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝_________.
解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a ＋b－×＝a＋b－(a－b)
＝a＋b.
答案：a＋b
8.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点．若 ＝a，＝b，用a，b表示，，.
解：＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b.
层级(二)　能力提升练
1.如图所示，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是 (　　)
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：选A　∵＝－3，∴＝－2＝2.
∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.
2.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为 (　　)
A. B．2
C. D.
解析：选D　设＝m＋n，＝λ＋μ.
∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1.
∵＋＝x＋y，则x＋y＝2，
∴＋＝(x＋y)
＝≥
＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，
∴＋的最小值为.
3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
解析：如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ⇒λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
答案：1∶4
4．在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，， .
解：如图所示，∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2.
又∵＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－＝－＋＋＝e2.
5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)求证：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒
∴λ不存在，故a与b不共线，∴{a，b}可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴⇒∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.
层级(三)　素养培优练
1．(多选)由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则，正确的选项有 (　　)
A．“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”
B．“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”
C．“(mn)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”
D．“＝”类比得到“＝”
解析：选AB　对于A，“a·b＝b·a”是向量的数量积的交换律，根据向量数量积的定义可知是正确的；对于B，“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”是向量数量积对于加法的分配律，这是正确的；对于C，“(a·b)·c＝a·(b·c)”这是错误的，左边是与向量c共线的向量，右边是与向量a共线的向量，其中a·b，b·c都是实数；对于D，“＝”这是错误的，等号右边的向量的除法是无意义的，向量没有除法的概念．
2．(多选)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．|a＋b|>1⇔θ∈
B．|a＋b|>1⇔θ∈
C．|a－b|>1⇔θ∈
D．|a－b|>1⇔θ∈
解析：选AD　因为|a＋b|>1，则|a|2＋2a·b＋|b|2>1，可得a·b>－，即|a||b|cos θ＝cos θ>－，所以θ∈，故A正确，B错误．因为|a－b|>1，即|a|2－2a·b＋|b|2>1，可知a·b<，即|a||b|·cos θ＝cos θ<，所以θ∈，故D正确，C错误．
3.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，试探 求实数a，b的符号．
解：如图，

过点P作PA∥OP2交直线OP1于点A，过点P作PB∥OP1交直线OP2 于点B，则＝＋.又＝a＋b，
所以＝a，＝b.
又与方向相同，与方向相反，
所以a>0，b<0.

6.3.2&6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示


明确目标
发展素养
1.借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
2.理解向量坐标的概念，会用坐标表示平面向量的加法和减法运算.
1.通过平面向量正交分解及坐标表示的学习，提升数学抽象、直观想象素养．
2.在运用坐标表示向量加、减运算的过程中，达成逻辑推理、数学运算素养.




知识点一　 平面向量的正交分解及坐标表示
(一)教材梳理填空
1．正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2．平面向量的坐标表示：
(1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．
(2)坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．其中，x叫做a在轴上的坐标，y叫做a在轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量a的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0(0,0)．
3．向量与坐标的关系：
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量的终点坐标． (√)
(2)点的坐标与向量的坐标相同． (×)
(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．(√)
2．已知＝(2,3)，则点N位于 (　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
答案：D
3．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
答案：(－4,0)　(0,6)　
(－2，－5)

知识点二　 平面向量加、减运算的坐标表示
(一)教材梳理填空
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).

文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
重要


结论
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)

(二)基本知能小试
1．已知M(2,3)，N(3,1)，则NM―→的坐标是 (　　)
A．(2，－1) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(1，－2)
答案：B
2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则a－b＝ (　　)
A．(1,5) B．(3,9)
C．(3,3) D．(3,5)
答案：C
3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)
A. B.
C．(－8,1) D．(8,1)
答案：C


题型一　平面向量的坐标表示

【学透用活】

点的坐标与向量的坐标的区别与联系
区
别
表示形式不同
向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义
不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系
当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同

[典例1]　(1)已知i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，a＝3i－2j，b＝－i＋5j，求向量a＋4b的坐标．
(2)已知边长为2的正三角形ABC，顶点A为坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点．
①求C，D的坐标；
②求向量，，，的坐标．
[解]　(1)因为a＝3i－2j，b＝－i＋5j，所以a＋4b＝(3i－2j)＋4(－i＋5j)＝3i－2j－4i＋20j＝－i＋18j，
因此向量a＋4b的坐标为(－1,18)．
(2)如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°， 2sin 60°)．
①C(1，)，D.
②＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
[方法技巧]
求平面向量坐标的方法
(1)若i，j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，则当 a＝xi＋yj时，向量a的坐标即为(x，y)．
(2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标．解题时，常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．　　

【对点练清】

1.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝__________， ＝__________，＝__________.
解析：由题图可知，＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)．
由正方形的对称性可知，B(1，－1)，
所以＝(1，－1)．同理：＝(－1,1)．
答案：(1，－1)　(1,1)　(－1,1)
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB ＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．求向量a，b的坐标．
解：如图，作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又∵OC＝AB＝3，∴C，
∴＝＝，即b＝.

题型二　平面向量的加、减坐标运算

【学透用活】

(1)平面向量的加、减运算结果仍然是向量，坐标运算的结果仍然是坐标．
(2)进行向量的坐标运算时，要结合向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算．
[典例2]　(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ (　　)
A．(－7，－4)　　　　　　　 B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
[解析]　(1)法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.
答案：A
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．
[方法技巧]
向量坐标运算的方法
(1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据两个向量的和、差运算法则进行计算．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．　　

【对点练清】

1．已知＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为 (　　)
A．(1,8) B．(－1,8)
C．(3,2) D．(－3,2)
解析：选B　设点B的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(－2，5)＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，所以解得所以点B的坐标为(－1,8)．
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋，－的坐标．
解：∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)，
－＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10)．

题型三　平面向量坐标运算的综合应用
[探究发现]
(1)若两个向量相等，则它们的坐标有什么关系？
提示：若两个向量相等，则它们的坐标相同．
(2)利用坐标形式下向量相等的条件，你能解决什么样的问题？
提示：由坐标形式下向量相等，可得到向量对应的坐标相等，从而建立方程或方程组，可求出点的坐标或某些参数的值．
　　　
【学透用活】

[典例3]　已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，若点D使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点，求点D的坐标．
[解]　①当平行四边形为ABCD时，＝，设点D的坐标为(x，y)．
所以(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
所以所以所以D(0，－1)；
②当平行四边形为ABDC时，同理可得D(2，－3)；
③当平行四边形为ADBC时，同理可得D(6，15)．
综上可知，点D可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．
[方法技巧]
已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标，主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等．
[提醒]　当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论．　　

【对点练清】

1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝ (　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：选B　∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝(－3，－5)，故选B.
2．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6，8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
解析：法一：由题意知，四边形ABCD是平行四边形，所以＝.设D(x，y)，则(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，所以x＝0，y＝－2，即D(0，－2)．
法二：由题意知，四边形ABCD为平行四边形，所以＝，即－＝－，所以＝＋－＝(8,6)＋(－2,0)－(6,8)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．
答案：(0，－2)


【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)， 此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在 x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，则的坐标为________．
解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos＝2－sin 2，y＝1＋1×
sin＝1－cos 2，
∴的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．
答案：(2－sin 2,1－cos 2)
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“”为mn＝(ac－bd，bc＋ad)．设m＝(p，q)，若(1,2)m＝(5,0)，则(1,2)＋m＝________.
解析：由(1,2)m＝(5,0)，可得解得
∴(1,2)＋m＝(1,2)＋(1，－2)＝(2,0)．
答案：(2,0)

课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝ (　　)
A．(－2，－2)　　　　　　 B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
解析：选A　＝－＝(－2，－2)．故选A.
2．(多选)下列各式不正确的是 (　　)
A．若a＝(－2,4)，b＝(3,4)，则a－b＝(1,0)
B．若a＝(5,2)，b＝(2,4)，则b－a＝(－3,2)
C．若a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋b＝(0,1)
D．若a＝(1,1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(2,1)
解析：选ACD　由向量加、减法的坐标运算可得．
3．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于 (　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　因为x2＋x＋1＝2＋＞0，x2－x＋1＝2＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．
4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法正确的是 (　　)
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
解析：选A　由平面向量基本定理，可知A正确；
例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；
因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．
5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝ (　　)
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
解析：选A　在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)，故选A.
6．设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________．
解析：易知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)．
答案：(1，－2)
7．已知2 020个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8,15)，则其余2 019个向量的和为________．
解析：其余2 019个向量的和为(0,0)－(8,15)＝(－8，－15)．
答案：(－8，－15)
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．
答案：(－3，3)
9．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a和b.
解：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有
解得所以a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．
10.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标 系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
解：由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4,3)．
又＝＋＝－＋，所以＝－4i＋3j，
所以＝(－4,3)．
层级(二)　能力提升练
1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(－1,3)，＝(2,5)，则等于(　　)
A．(－2，－4) B．(4，－1)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：选B　∵＋＝，∴＝－＝(3,2)．
∴＝－＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)．
2．已知A(7,2)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a的值为(　　)
A．2 B．1
C. D.
解析：选C　设C(m，n)，则＝(m－7，n－2)，＝(1－m，4－n)，又＝，所以解得m＝4，n＝3，所以C(4，3)，代入y＝ax得3＝2a，所以a＝.
3．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝________.
解析：∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，＝a，
∴ 解得x＝1.
答案：1
4．已知点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量，，，并求向量，，的坐标．
解：如图，描出点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2， －2)，F(－5，－6)，分别作出向量，，.
易知＝(2,4)，＝(－3,4)，＝(－3，－4)．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3，2)．
(1)若＝＋，求点P的坐标；
(2)若＋＋＝0，求的坐标．
解：(1)因为＝(1,2)，＝(2,1)，所以＝(1,2)＋(2,1)＝(3,3)，即点P的坐标为(3,3)．
(2)设点P的坐标为(x，y)．因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x,6－3y)．所以
解得
所以点P的坐标为(2,2)，故＝(2,2)．

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示


明确目标
发展素养
1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算．
2.能用坐标表示平面向量共线的条件.
通过对向量数乘运算坐标表示，提升数学运算、逻辑推理素养.



知识点　平面向量数乘运算的坐标表示
(一)教材梳理填空
1．平面向量数乘运算的坐标表示：
已知a＝(x，y)，那么λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
2．平面向量共线的坐标表示：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0.
[微思考]　两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？
提示：不能，因为当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线． (√)
(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向． (√)
(3)如果x1y2－x2y1＝0，那么向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)共线． (√)
2．已知＝a，且A，B，若λ＝，则λa等于 (　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
答案：A
3．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为 (　　)
A．－ B.
C. D．－
答案：C
4．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝_________.
答案：－4



题型一　平面向量数乘运算的坐标表示

【学透用活】

[典例1]　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
[解]　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)＝－＝.
[方法技巧]
向量数乘坐标运算的三个关注点
(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用；
(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题；
(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．　　


【对点练清】
1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝ (　　)
A．(－23，－12)　　　　　　 B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A　∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求点M，N的坐标．
解：∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)．
∵＝3，＝2，
∴＝3(1,8)＝(3,24)，＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
∴解得
∴M(0,20)，N(9,2)．

题型二　平面向量共线的判定

【学透用活】

正确理解向量平行的条件
(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算．
(3)a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
[典例2]　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？
[解]　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
法一：∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和方向相反．
法二：∵＝－2，∴与共线且方向相反．
[方法技巧]
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．　

【对点练清】

1．(多选)下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量的基底的是 (　　)
A．a＝(－1,2)，b＝(3,5)
B．a＝(1,2)，b＝(2,1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3,4)
D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)
解析：选ABC　要满足题意，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b不平行，即x1y2－x2y1≠0.对于A,2×3＋1×5≠0，所以A不平行；对于B，2×2－1×1≠0，所以B不平行；对于C，－1×3－2×4≠0，所以C不平行；对于D,1×4－(－2)×(－2)＝0，所以D平行．故选A、B、C.
2．已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：因为＝(1,3)－(－1，－1)＝(2,4)，
＝(2,7)－(1,5)＝(1,2)．
又因为2×2－4×1＝0，所以∥.
又因为＝(1,5)－(－1，－1)＝(2,6)，＝(2,4)，
所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C不共线，
所以AB与CD不重合，所以AB∥CD.

题型三　平面向量共线的应用

【分类例析】

角度(一)　三点共线问题　
[典例3]　(1)已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
(2)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
[解]　(1)证明：＝＝，
＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－×8＝0，
∴∥，且，有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
[方法技巧]
若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：
(1)直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)是否为0.
(2)任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断．　　
角度(二)　求点的坐标　
[典例4]　已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
[解]　设点P的坐标为(x，y)，||＝2||.
当P在线段AB上时，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴解得
∴点P的坐标为.
当P在线段AB延长线上时，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴解得∴点P的坐标为(－5,8)．
综上所述，点P的坐标为或(－5,8)．
[方法技巧]
求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．　　
【对点练清】

1．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是 (　　)
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
解析：选C　因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥.又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，解得k＝1.
2．已知经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||，求点A，B的坐标．
解：由题设知，A，B，P三点共线，且||＝3||，
设A(x,0)，B(0，y)，
①点P在A，B之间，则有＝3，
∴(－x，y)＝3(－2－x,3)，解得x＝－3，y＝9，
点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)．
②点P不在A，B之间，则有＝－3，同理，
可求得点A，B的坐标分别为，(0，－9)．
综上所述，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或，(0，－9)．


【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ (λ∈R)，试求当点P在第三象限时，λ的取值范围．
请分析下面的解法是否有误，若有误，错在哪里并写出正确的解题过程．
解：由已知得＝＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
又点P在第三象限，所以所以λ＜－，
故λ的取值范围为.
提示：以上解法是错误的，错在误把向量的坐标当作P点的坐标，混淆了点的坐标与向量坐标的概念．事实上，向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的．
正解如下：
同错解得＝(3＋5λ，1＋7λ)，设点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
即又点P在第三象限，
所以解得λ＜－1.
所以λ的取值范围为(－∞，－1)．

二、应用性——强调学以致用
2．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
[析题建模]

解：
以A为坐标原点，为x轴，为y轴建立直角坐标系，如图所示，
所以A(0,0)，B(6,0)，C(6，6)，D(0,6)，F(6，4)，E(3,0)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(6,4)，
＝(x－3，y)，＝(3,6)．
由点A，P，F和点C，P，E分别共线，
得所以
所以S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB
＝36－×3×3－×3×6＝.

三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t为正实数，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－a＋b，问：是否存在实数k，t，使x∥y？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：因为x＝a＋(t2＋1)b＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)
＝(－2t2－1，t2＋3)，
y＝－a＋b＝－(1,2)＋(－2,1)
＝，假设存在正实数k，t使x∥y，
则(－2t2－1)－(t2＋3)·＝0，
化简得＋＝0，即t3＋t＋k＝0.
因为k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在，
所以不存在这样的正实数k，t，使x∥y.

课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是 (　　)
A．(，－1)　　　　　　　 B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
解析：选D　法一：∵a＋2b＝(，－3)，
∴×－(－1)×(－3)＝0.
∴(－1，)与a＋2b是共线向量．故选D.
法二：∵a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，∴向量a＋2b与(－1，)是共线向量．故选D.
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于 (　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选C　由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，
∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－，故选C.
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D　由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，所以(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，所以k－λ＝0且λ＋1＝0，所以k＝－1，此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d.
4．已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则2sin αcos α等于 (　　)
A．3 B．－3
C．－ D.
解析：选C　因为a∥b，所以cos α＋2sin α＝0，所以tan α＝－，则2sin αcos α＝＝＝＝－.
5．(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，不正确的是 (　　)
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
解析：选ABC　由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A中叙述错误；
a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a，得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B中叙述错误；ma＋b＝(mx－3，3m＋x)，由(ma＋b)∥a，得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，故C中叙述错误；由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D中叙述正确．
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
解析：a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，
∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
答案：5
8.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，M， N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解：由已知可得M(2.5,2.5)，N(1.5,0.5)，所以＝(2.5,2.5)，＝(－2.5，－2.5)．又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以，共线．

层级(二)　能力提升练
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ (　　)
A. B.
C．1 D．2
解析：选B　由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝.故选B.
2．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－(y－2)，解得y＝10.
答案：10
3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
解析：由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．
设C(x，y)，则＝(x，y)．
∵＝λ＋μ，∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
∴又∵∠AOC＝，OC＝2，
∴λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，∴λ＋μ＝＋1.
答案：＋1
4．已知四点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量，共线；
(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？
解：(1)＝(x,1)，＝(4，x)．因为，共线，
所以x2－4＝0，解得x＝±2.
则当x＝±2时，两向量，共线．
(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，
＝－3，则∥，此时A，B，C三点共线，
又∥，从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上．当x＝2时，＝(2,1)，＝(－2,1)，与不平行，故A，B，C，D四点不在同一直线上．
5．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t (t∈R)．
(1)t为何值时，P在x轴上？t为何值时，P在y轴上？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
解：(1)由题意得＝(1,2)，＝(3,3)，
则＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－.
(2)不能．理由如下：
由题意知＝(1,2)，＝－＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
∵无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．
层级(三)　素养培优练
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．
解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，
所以u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝.
2．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，
＝(4，－1)，
＝＝，＝＝，
所以(x1＋1，y1)＝，所以E，
(x2－3，y2＋1)＝，所以F.
所以＝.所以＝(4，－1)＝.
所以∥.

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示


明确目标
发展素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积．
2.会表示两个向量的夹角．
3.能用坐标表示平面向量的条件垂直.
通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.



知识点　平面向量数量积的坐标表示
(一)教材梳理填空
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有：

坐标表示
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝ 或|a|2＝x＋y
两点间
距离公式
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则|P1P2―→|＝
垂直
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0
夹角
cos θ＝＝
　 [微思考]　已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.(×)
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0. (×)
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角． (×)
2．已知＝(3，－4)，则||等于 (　　)
A．3　　　　　　　　　 B．4
C. D．5
答案：D
3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是 (　　)
A．12　　　 B．3　　　 C．－3　　 　D．－12
答案：D
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a·b＝________，a与b夹角的余弦值为________．
答案：63　



题型一　向量数量积的坐标运算

【学透用活】
(1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
(2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
(3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
[典例1]　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·＝________.
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
[解析]　(1)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．
可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝，所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案：
(2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝(0,0)，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
[方法技巧]
数量积坐标运算的技巧
(1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立平面直角坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．　　

【对点练清】

1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝ (　　)
A．10　　　 B．－10　　　 C．3　　　 D．－3
解析：选B　因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析：选C　∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，
||＝1，∴＝1，解得t＝3，
∴＝(1,0)，∴·＝2×1＋3×0＝2.

题型二　向量模的问题
【学透用活】

[典例2]　(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)
A. B．2 C．5 D．50
(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．
[解析]　(1)∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝.
(2)∵2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
∴|2a－b|＝
＝＝，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
[答案]　(1)A　(2)2＋

[方法技巧]
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量
积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .　　
【对点练清】

1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于 (　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．5 D．25
解析：选C　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________．
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－3,4)，∴c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，∴|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝25λ2＋10λ＋5＝252＋4.当λ＝－时，|c|min＝2.
答案：－

题型三　向量的夹角和垂直问题
[探究发现]
(1)设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是 a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
提示：cos θ＝＝.
(2)已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于多少？
提示：由已知得a－b＝(1－x,4)．∵a⊥(a－b)，
∴a·(a－b)＝0.∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.
　　　

【学透用活】

[典例3]　设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求证：a＋b与a－b垂直．
[解]　(1)由题意知，|a|＝1，|b|＝1，
a·b＝－cos α＋sin α，则cos θ＝＝＝－cos α＋sin α＝cos(120°－α)．
∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α，即两向量的夹角为120°－α.
(2)证明：∵(a＋b)·(a－b)
＝cos α－，sin α＋·
＝＋
＝cos2α－＋sin2α－＝1－－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
[方法技巧]
利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积：利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模：利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值：由公式cos θ＝求夹角余弦值．
(4)求角：由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
[提醒]　涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．　　

【对点练清】

1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F分别在AB，AD上，且AE＝1，则当DE⊥CF时，AF＝________.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则C(3,2)，D(0,2)，E(1,0)．设F(0，y)，
则＝(1，－2)，＝(－3，y－2)．
∵DE⊥CF，∴⊥，
∴－3－2y＋4＝0，解得y＝，∴F，∴AF＝.
答案：
2．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．

解析：不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直 角坐标系，
则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，
所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝，|a－b|＝，所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.
答案：－


【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
下面是甲、乙两名同学的解答，请你分析判定哪位同学的解答正确，并指出错误解法的原因．
甲：因为a与b的夹角为锐角，
所以a·b>0，即a·b＝2＋k>0，得k>－2，
故实数k的取值范围是(－2，＋∞)．
乙：当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，
此时a，b方向相同，夹角为0°.
所以要使a与b的夹角为锐角，
则有a·b>0且a，b不同向．
由a·b＝2＋k>0，得k>－2，且k≠，
故实数k的取值范围是∪.
提示：比较两同学的解法可知甲同学的解答错误，乙同学的解答正确．甲同学的错误在于：a与b的夹角为锐角并不等价a·b>0，a·b>0等价于a与b的夹角为锐角或0°.事实上，由a与b的夹角为锐角应得出0
二、应用性——强调学以致用
2．对于任意的a，b，c，d∈R，试用向量方法证明不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
[析题建模]

证明：令m＝(a，b)，n＝(c，d)，设m，n的夹角为θ，则
m·n＝|m||n|cos θ.所以|m·n|≤|m||n|，
由于m·n＝ac＋bd，|m|＝，|n|＝，
所以ac＋bd≤ ·，
从而(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．


层级(一)　“四基”落实练
1．在△ABC中，C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则实数k的值是 (　　)
A．5　　　　　　　　 B．－5
C. D．－
解析：选A　＝－＝(2－k,2)．
∵C＝90°，∴⊥，∴2(2－k)＋6＝0，解得k＝5.
2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是 (　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：选B　∵cos A＝＝＝0，∴A＝.故选B.
3．已知a＝(1,2)，b＝(－1，)，则a·b＋|b|＝ (　　)
A．1 B．1＋
C．1＋2 D．2
解析：选C　因为a·b＝(1,2)·(－1，)＝－1＋2，|b|＝2，所以a·b＋|b|＝－1＋2＋2＝1＋2.
4．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于 (　　)
A．8 B．10
C．11 D．12
解析：选D　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)．又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.
5．(多选)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，a，b的夹角为θ，b方向上的单位向量为e.则 (　　)
A．b＝(5,12) B．a·b＝16
C．cos θ＝ D．a在b上的投影向量为e
解析：选BCD　∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．
又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，
∴a·b＝－20＋36＝16.
又|a|＝5，|b|＝13，∴cos θ＝＝.
∴a在b上的投影向量为e＝e.
6．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.
解析：∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案：－
7.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D
被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为________．
解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.
答案：11
8．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．
解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．所以cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0.

层级(二)　能力提升练
1．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于 (　　)
A．16 B．12
C．8 D．－4
解析：选A　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0，6)，D(2,3)．
设E(0，t)，则·＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，
∴t＝，即E，∴·＝·(0,6)＝16.
2．设向量a＝(，－1)，b＝，k，t是两个不同时为零的实数．若向量x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，则函数k＝f(t)的最小值为 (　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　因为a＝(，－1)，b＝，所以a·b＝0，且|a|＝2，|b|＝1.因为x⊥y，所以x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，所以－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)·b2＝0，所以－4k＋t2－3t＝0，
即k＝(t2－3t)＝2－，所以k≥－，
即函数k＝f(t)的最小值为－.
3．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.
解析：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)， P(1,1)，C(0,0)，则·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.
答案：4
4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)由题意知，＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
5．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，
可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，
整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
层级(三)　素养培优练
已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴得∴C点坐标为(0,5)．由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，∴·＝8＋8＝16>0，||＝2，||＝2.设与夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.

6．4 平面向量的应用

6．4.1&6.4.2　平面几何中的向量方法　向量在物理中的应用举例


明确目标
发展素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，提升运算能力及解决问题的能力.
通过运用向量方法解决平面几何问题和力学等实际问题，培养直观想象、数学运算和数学建模素养.



知识点一　平面几何中的向量方法
(一)教材梳理填空
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在平面几何中的应用：
(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：
a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，用夹角公式：
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
(4)计算线段长度，常用模长公式：
||＝ .
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若△ABC为直角三角形，则有·＝0. (×)
(2)若向量∥，则AB∥CD. (×)
(3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形． (√)
2．在△ABC中，已知A(4, 1)，B(7, 5)，C(－4, 7)，则BC边的中线AD的长是 (　　)
A．2　　　　　　　　　　 B.
C．3 D.
答案：B
3．在四边形ABCD中，·＝0且＝，则四边形ABCD是 (　　)
A．梯形　　　　　　　　　 B．菱形
C．矩形 D．正方形
答案：C
知识点二　向量在物理中的应用
(一)教材梳理填空
1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
2．向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
3．动量mv是向量的数乘运算．
4．功是力F与所产生的位移s的数量积．
(二)基本知能小试
1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为 (　　)
A．7　　　 B．10　　　 C．14　　　 D．70
答案：D
2．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么 (　　)
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
答案：A
3. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝ (　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
答案：D


题型一　平面向量在几何证明中的应用

【学透用活】

[典例1]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE.
[证明]　法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，
D(0,2)，E(1，0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
[方法技巧]
平面几何中利用向量证明的常见问题及方法
(1)常见的利用向量证明的问题：
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线．
②利用向量的模证明线段相等．
③利用向量的数量积为0证明线段垂直．
(2)常用的两个方法：
①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明．
②坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 　　

【对点练清】
如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF.
证明：∵DG―→⊥，⊥，∴DG―→∥.
设＝λ (λ≠0)，则＝λDG―→.
同理＝λDH―→.于是＝－＝λ(DG―→－DH―→)＝λHG―→，∴HG―→∥，即HG∥EF.

题型二　平面几何中的求值问题

【学透用活】
[典例2]　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解]　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b.
∵||＝|a－b|＝
＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝.
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
[方法技巧]
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解．一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解．若a＝(x，y)，则|a|＝.　　
【对点练清】

已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，
n表示)．
解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、
y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E.设F(x,0)，
则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ，则
故λ＝，即x＝，∴F，
∴||＝，即AF＝.

题型三　平面向量在物理中的应用
[探究发现]
向量的数量积与功有什么联系？
提示：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
　　　
【学透用活】

[典例3]　已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
[解]　设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.
[方法技巧]
用向量方法解决物理问题的四个步骤

【对点练清】

1．[变设问]若本例条件不变，求F1，F2的合力F对质点所做的功．
解：W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.
2．[变条件]若本例条件变为：两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴正方向同方向的单位向量)．求F1，F2分别对该质点做的功．
解：由题意知，＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F1＝(1,1)，F2＝(4，－5)，故F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(1,1)·(－13，－15)＝－28.F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝23.



【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船若要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
[错解]　渡船要垂直渡过长江，其航向应垂直于岸边，即直行即可．
[正解]　如图，
设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过
江的速度，因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠
CAD＝30°，即渡船要垂直过长江，其航向应为北偏西30°.
[易错矫正]　错解原因在于忽略了水流速度，因此用向量方法解决渡船在江河中的航向问题，不仅要考虑船的速度，还要考虑水流速度．
二、应用性——强调学以致用
2.如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心 位于城市O的东偏南θ方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问：几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.
解： 设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.∵OQ―→＝＋，
∴OQ―→2＝(＋)2＝2＋2＋2·
＝2＋2－2||||cos(θ－45°)
＝3002＋(20t)2－2×300×20t×
＝100(4t2－96t＋900)．
依题意得OQ―→2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24.
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．
课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为 (　　)
A．v1－v2　　　　　　　　 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.
2．在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC是 (　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C　因为·＋2＝0，所以·(＋)＝0，
所以·＝0，所以⊥，
所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形．
3.如图所示，一力F作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成30°角，当小车向前运动10 m时，力F做的功为 (　　)
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
解析：选C　设小车的位移为s，则|s|＝10 m，
W＝F·s＝|F||s|·cos 30°＝10×10×＝50(J)．
4．若O是△ABC所在平面上一点，满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O (　　)
A．在过点C且与AB垂直的直线上
B．在角A的平分线所在的直线上
C．在边AB的中线所在的直线上
D．以上都不对
解析：选A　设＝a，＝b，＝c，
则＝－ ＝c－b，＝－＝a－c.
又||2＋||2＝||2＋||2，
∴|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，
化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，
∴⊥，即AB⊥OC，故选A.
5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于 (　　)
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形面积的2倍
D．以b，c为两边的三角形面积
解析：选AC　设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c||cos α|＝| b||a||cos(90°±θ)|＝|b||a|sin θ，故选A、C.
6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________．
解析：设所用时间长短为t，则＝tv，
即(3,6)＝t(1,2)，所以t＝3.
答案：3
7．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
解析：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos∠DOE＝＝.
答案：
8．已知在静水中船速为5 m/s，且知船速大于水速，河宽为20 m，船从A点垂直到达对岸的B点用的时间为5 s，试用向量法求水流的速度大小．
解：如图，设水流的速度为v水，船在静水中的速度为v0，船的实际
行驶速度为v，
则|v0|＝5，|v|＝＝4.
∵v⊥v水，∴|v水|＝＝3，
即水流的速度为3 m/s.
层级(二)　能力提升练
1．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的 (　　)
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：选C　
由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．如图，D为BC的中点，因为＋＋＝0，所以＋＝－.由向量加法的 平行四边形法则，知||＝2|ND―→|，故点N为△ABC的重心．
因为·＝·，所以(－)·＝·＝0.同理·＝0，·＝0，所以点P为△ABC的垂心．
2．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________.
解析：建立如图的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)．设AD＝a，
则C(1, a)，＝(1, a)，＝(－1, a)．
因为AC⊥BC，所以⊥. 所以·＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)．
答案：1
3．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________．
解析：因为(＋－2)·(－)＝[(－)＋(－)]·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝0，所以||＝||，所以△ABC是等腰三角形．
答案：等腰三角形
4．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．利用向量方法证明：AC⊥BD.
证明：因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
所以⊥，即AC⊥BD.
5．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝
50×20×＝500(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1
的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.
层级(三)　素养培优练
1.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°取0.6)，高为2 m的斜面上，质量为
5 kg 的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5 倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_________J，重力所做的功为_________J(g取9.8 m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0　98
2.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC
上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解：(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．

6．4.3　余弦定理、正弦定理

明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．
2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养．
2.通过对余弦定理、正弦定理的应用举例的学习，提升数学建模、直观想象素养.

第一课时　余弦定理



知识点　余弦定理
(一)教材梳理填空
1．余弦定理：
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
语言
叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式
表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C
推论
cos A＝，cos B＝，
cos C＝

[微思考]　勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形． (√)
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． (√)
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一． (×)
2．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于 (　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．
C．7 D．5
答案：C
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A. B．
C．2 D．3
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝_______.
答案：



题型一　已知两边和一角解三角形

【学透用活】

1．已知边a，b和角C.

2．已知边a，b和角A.

[典例1]　在△ABC中，
(1)若a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A.
(2)若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.
[解]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8，
所以b＝2. 由cos A＝，
得cos A＝＝.
因为0° (2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，
所以49＝64－2bc，即bc＝15.
由解得或
[深化探究]
给定两边及一角的三角形是唯一确定的吗？
提示：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的；两边及其一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，这说明给定两边及其一边的对角的三角形有可能是不唯一的．
　　　
[方法技巧]
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．　　

【对点练清】

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝ (　　)
A．4　　　　　　　　 B．
C．3 D.
解析：选D　cos C＝－cos(A＋B)＝－. 又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D.
2．若b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a.
解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3.
当a＝6时，由cos A＝＝＝0，可得A＝90°，C＝60°.当a＝3时，同理得A＝30°，C＝120°.

题型二　已知三边解三角形

【学透用活】

已知边a，b，c.

[典例2]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
[解]　根据余弦定理，得cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
又cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝π，∴A＝，B＝π，C＝.
[方法技巧]
已知三角形的三边求角的基本步骤
　　

【对点练清】

1．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
解：已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，可令a＝2，b＝，c＝(＋1)，由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝，
∵0° cos B＝＝＝，
∵0° ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
2．在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sin A∶sin C＝(＋1)∶2，求角C.
解：∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B，
∴2accos B＝ac，∴cos B＝.
∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵＝，∴2sin A＝(＋1)sin C，
∴2sin(120°－C)＝(＋1)sin C，
∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝(＋1)·sin C，
∴sin C＝cos C，∴tan C＝1.∵0°
题型三　三角形形状的判断
[探究发现]
在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝成立吗？反之，若C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
提示：因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0.由余弦定理的变形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以C＝.反之若C＝，则cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
　　　

【学透用活】

[典例3]　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．
[解]　∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴2cos A＝1.∴cos A＝，
∴A＝60°.又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
sin A＝2sin Bcos C，∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0，∴B＝C.又∵B＋C＝120°，∴A＝B＝C＝60°.故△ABC为等边三角形．


判断三角形形状的基本思想和两条思路
[方法技巧]
基本
思想
判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化思想
两条
思路
化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式

化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式
　　

【对点练清】

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
解：将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)
＝2bccos Bcos C.
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b22－c22
＝2bc××，
∴b2＋c2＝＝＝a2.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．

【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1.在△ABC中，已知∠BAC＝α，AC＝b，AB＝c，建立如图所示的平面直角坐标系，利用两点间的距离公式计算BC2，并由此证明余弦定理．
解：在△ABC中，∵∠BAC＝α，AB＝c，AC＝b，
∴B(ccos α，csin α)，C(b,0)，
∴BC2＝(ccos α－b)2＋(csin α－0)2
＝c2(cos2α＋sin2α)－2bccos α＋b2＝c2＋b2－2bccos α.
证明如下：在△ABC中，设BC＝a，易知B(ccos A，csin A)，C(b,0)，则a2＝(ccos A－b)2＋(csin A－0)2
＝c2(cos2A＋sin2A)－2bccos A＋b2＝c2＋b2－2bccos A.
同理可得b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
二、应用性——强调学以致用
2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为a，b，c，则其面积S＝，这里p＝.已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC的面积最大时，sin A的值．
[析题建模]　由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC的面积最大时边AB及AC的长．再由余弦定理求出cos A，进而求出sin A.
解：设AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得
S＝
＝
＝≤·＝12，
当且仅当x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4时不等式取等号．所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得cos A＝＝，
故sin A＝＝.

三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人 (　　)
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形
D．能作出一个钝角三角形
解析：选D　设三角形的三条高所在的三边长分别为a，b，c，利用三角形面积相等，得到a＝b＝c，即a∶b∶c＝13∶11∶5，故三角形三边长可设为13m,11m,5m，m>0，因为13m是三角形中最长的边，设它的对角为A，由余弦定理得
cos A＝＝－<0，所以角A为钝角．故此人能作出一个钝角三角形．
课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)
A．30°　　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．90°
解析：选C　∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°，故选C.
2．在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝ (　　)
A．4 B．
C. D．2
解析：选A　在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
解析：选C　由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
4．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝(2＋)bc，则角A等于 (　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A　∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝(2＋)bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，
∴A＝30°.
5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b A．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
解析：选AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b 6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
答案：0
7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是______．
解析：设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．
答案：120°
8．(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c；
(2)在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
解：(1)∵sin C＝，且0 当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，
∴c＝2.当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，∴c＝2.综上所述，c的值为2或2.
(2)由余弦定理知cos A＝，
cos B＝，cos C＝，代入已知条件，得
a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．

层级(二)　能力提升练
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为 (　　)
A．7.5 B．7
C．6 D．5
解析：选D　∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
2.2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C的仰角分别为45°，30°，AB＝60 m，且∠AOB＝30°，则大跳台最高高度OC＝(　　)
A．45 m B．45 m
C．60 m D．60 m
解析：选C　在Rt△BOC中，OB＝＝OC，
在Rt△AOC中，OA＝＝OC，
在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos∠AOB，即3 600＝3OC2＋OC2－2OC·OC·cos 30°，即OC2＝3 600，所以OC＝60.

3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是_______．
解析：cos B＝＝＝＋≥.∵0 答案：
4．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值．
解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)因为cos A＝＝，
所以sin A＝＝.
在△ABC中，B＋C＝π－A，
所以sin(B＋C)＝sin A＝.
5．(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin Asin C＝，求b.
解：(1)由S1－S2＋S3＝，得(a2－b2＋c2)＝，
即a2－b2＋c2＝2，
又因为a2－b2＋c2＝2accos B，所以accos B＝1.
由sin B＝，得cos B＝或cos B＝－(舍去)，所以ac＝＝，则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝.
(2)由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知＝＝＝，
即b2＝×＝，得b＝.
层级(三)　素养培优练
1.随着某疫情发展，某地需要建设临时医院，其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设顶角为α，由三角形的面积公式可得4个等腰三角形的面积和为4××400×400sin α，由余弦定理可得正方形边长为＝400，故正方形面积为160 000(2－2cos α)＝320 000(1－cos α)，所以所求占地面积为320 000(1－cos α＋sin α)＝320 000，故当α－＝，即α＝时，占地面积最大，此时底角为＝.

2．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
(1)求证：acos B＋bcos A＝c；
(2)在①＝，②ccos A＝2bcos A－acos C，③2a－＝，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答，若a＝7，b＝5，______，求△ABC的周长．
解：(1)证明：根据余弦定理：acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝c，所以acos B＋bcos A＝c.
(2)选①：因为＝，所以2c·cos A＝bcos A＋acos B，所以由(1)中所证结论可知，2ccos A＝c，即cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝；选②：因为ccos A＝2bcos A－acos C，所以2bcos A＝acos C＋ccos A，由(1)中的证明过程同理可得，acos C＋ccos A＝b，所以2bcos A＝b，即cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝；
选③：因为2a－b·＝c·，所以2acos A＝bcos C＋ccos B，由(1)中的证明过程同理可得，bcos C＋ccos B＝a，所以2acos A＝a，即cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.选①或选②或选③中的任一条件，都可得A＝.
在△ABC中，由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋c2－10c·＝49，即c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)，所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC的周长为20.

第二课时　正弦定理


知识点　正弦定理
(一)教材梳理填空
1．正弦定理的表示：
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言
＝＝
[微思考]　已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？
提示：(1)已知两角及其中一角的对边．
(2)已知两角及另外一角的对边，此时不能直接利用正弦定理，需利用三角形内角和定理求已知边的对角．
(3)已知两边及一边的对角．
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)＝＝＝.
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)正弦定理只适用于锐角三角形． (×)
(2)正弦定理不适用于直角三角形． (×)
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值． (√)
(4)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB. (√)
2．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于______．
答案：
3．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________.
答案：2
4．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A＝________.
答案：




题型一　已知两角及一边解三角形

【学透用活】

[典例1]　(1)在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝60°，则b等于 (　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
(2)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝_________.
[解析]　(1)因为A＝75°，B＝60°，
所以C＝180°－75°－60°＝45°.
因为c＝，根据正弦定理＝，
得b＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，即＝，
解得AC＝4.
[答案]　(1)A　(2)4
[方法技巧]
已知两角及一边解三角形的策略
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
[提醒]　若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．　　

【对点练清】
1．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝_______.
解析：C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理，得＝，即＝，解得AC＝2.
答案：2
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________.
解析：在△ABC中，∵cos A＝＞0，∴sin A＝.
∵cos B＝＞0，∴sin B＝.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得c＝＝.
答案：
题型二　已知两边及一边的对角解三角形

【学透用活】
[典例2]　在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.
[解]　∵＝，∴＝，解得sin A＝.
又∵a＜c，C＝，∴A＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
∴b＝＝＝＋1.
[深化探究]
(1)已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解．
①a＝10，b＝20，A＝80°；②a＝2，b＝6，A＝30°.
提示：①a＝10，b＝20，a ∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10，
∴a ②a＝2，b＝6，a ∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
∴bsin A 　[深化探究]
(2)已知角A及a，b时，你能写出△ABC解的情况吗？
提示：三角形解的个数的判断方法如下：


图形
关系式
个数
A为锐角

①a＝bsin A；
②a≥b
一解

bsin A＜a＜b
两解

a＜bsin A
无解
A为钝角或直角

a＞b
一解


a≤b
无解
　　[方法技巧]
已知两边及一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论．　　

【对点练清】

在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
解：由＝，得sin B＝＝.
∵aA＝30°，∴B＝60°或B＝120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ ＝＝2.
②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.
综上知c＝1或2.

题型三　三角形形状的判断

【学透用活】

[典例3]　在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
[解]　法一：根据正弦定理，得＝＝.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝.∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：根据正弦定理，得＝＝.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，
∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．

[方法技巧]
判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)；②＝，＝，＝.
(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)；②＝，＝，＝.　　

【对点练清】

在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选D　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形，故选D.




【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，求证：a＝bcos C＋ccos B，b＝ccos A＋acos C，c＝acos B＋bcos A.
证明：在△ABC中，sin A＝sin[180°－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C.
由正弦定理，角化边可得a＝bcos C＋ccos B．
同理可得b＝ccos A＋acos C，c＝acos B＋bcos A.
说明：上述结论称为三角形中的射影定理，应用此结论，可以快速解决三角形中的射影定理为背景的选择题和填空题．
[应用一]　设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为 (　　)
A．锐角三角形　　　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选B　由射影定理得bcos C＋ccos B＝a，则a＝asin A，于是sin A＝1，即A＝90°，所以△ABC的形状为直角三角形．
[应用二]　设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.
解析：由射影定理可得bcos C＋ccos B＝a，则a＝2b，于是＝2.
答案：2
[应用三]　设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝________.
解析：由asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，
得(acos C＋ccos A)·sin B＝b. 由射影定理可得acos C＋ccos A＝b，所以sin B＝，注意到a>b，则B＝.
答案：
二、应用性——强调学以致用
2.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20° 的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度BC(精确到1 m)．
分析：要求BC，要先求出AB，为此考虑解△ABD.
解：过点D作DE∥AC，交BC于E.
因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，
所以∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又因为∠BAD＝35°－20°＝15°，
所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得AB＝＝
＝1 000(m)．在Rt△ABC中，
BC＝ABsin 35°＝1 000sin 35°≈811(m)．
所以山的高度BC约为811 m.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．在①AB＝2，②∠ADB＝135°，③∠BAD＝∠C这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，使得题目完整并求BD的长．
如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AD⊥AC，AD＝1，sin∠BAC
＝，________，求BD的长．
解：选条件①，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝.在△ABD中，由余弦定理，得
BD＝ ＝.
选条件②，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，所以sin∠BAD＝.所以sin B＝sin(∠BAD＋135°)＝×＋×＝.
在△ABD中，由正弦定理，
得＝，解得BD＝.
选条件③，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，所以sin∠BAD＝.因为∠BAD＝∠C，所以sin C＝.在Rt△ACD中，可得cos∠ADC＝，
所以cos∠ADB＝－，sin∠ADB＝.
所以sin B＝sin(∠BAD＋∠ADB)＝×＋×＝.在△ABD中，由正弦定理，
得＝，解得BD＝.

课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是 (　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
解析：选A　根据正弦定理得＝＝.故选A.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是 (　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
3．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B＝ (　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：选BC　由正弦定理可知＝，
∴sin B＝＝＝，
∵0°＜B＜180°，b>a，∴B＝60°或120°.
4．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为 (　　)
A．1 B．2 C.－1 D.
解析：选B　由正弦定理＝，可得＝，
∴sin B＝，由a>b，得A>B，∴B∈，
∴B＝.故C＝，由勾股定理得c＝2.
5．若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是 (　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
解析：选C　由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C.
6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2.
答案：2
7．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．
解析：在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1. 又B为三角形的内角，∴B＝，
∴c＝＝ ＝2，
∴S△ABC＝×2×2＝2.
答案：　2
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
解：由正弦定理可得sin A＋sin C＝sin B，又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cos C＋sin C＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝cos 2C，
即cos C＋sin C＝cos 2C，cos(45°－C)＝cos 2C.
因为0° 层级(二)　能力提升练
1．(多选)在△ABC中，已知b＝－1，c＝，B＝15°，则边长a＝ (　　)
A．2 B．＋1 C．3 D．2
解析：选AB　由正弦定理可得，sin C＝＝＝，在△ABC中，∵c>b，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝105°，∴a＝＝＝＋1；当C＝120°时，A＝45°，∴a＝＝＝2.综上，可得a＝＋1或2.
2．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.
解析：∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理＝，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.
又B∈(0，π)，∴B＝.
答案：
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案：　3
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解：(1)根据正弦定理及2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C，
得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B．∵sin B≠0，∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)根据余弦定理得7＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.∵b＋c＝4，∴bc＝3.
5．(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
解：选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11.
(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，b＝11－a，c＝7，
得a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×，
∴a＝8.
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝.
由正弦定理＝，得sin C＝＝＝.
由(1)知b＝11－a＝3，
∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6.
选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11.
(1)∵cos A＝，∴A∈，sin A＝.
∵cos B＝，∴B∈，sin B＝.
由正弦定理＝，得＝，∴a＝6.
(2)sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.∵a＋b＝11，a＝6，∴b＝5.
∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.
层级(三)　素养培优练
1.八卦田最早出现于明代记载，如图中正八边形代表八卦，中间的圆 代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积．现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为________m2.
解析：由题图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为＝45°，设等腰三角形的腰长为a，由正弦定理可得＝，解得a＝8sin，所以等腰三角形的面积S＝2sin 45°＝32·＝16(＋1)(m2)，则每块八卦田的面积为16(＋1)－×π×22＝16＋16－(m2)．
答案：16＋16－
2．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，
由题意知，＝，所以sin∠ADB＝.
由题意知，∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.
3．现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC，并以此为依据，求△ABC的面积．
在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，________，________，且满足(2b－c)cos A＝acos C，求△ABC的面积．
解：方案一，选①②.因为(2b－c)cos A＝acos C，
所以由正弦定理可得，
2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B，
因为sin B≠0，所以cos A＝，A＝.因为a＝2，B＝，
所以由正弦定理可得，＝，所以b＝2，
又C＝π－A－B＝，所以S△ABC＝absin C＝×2×2×sin＝2×＝1＋.
方案二，选①③.因为(2b－c)cos A＝acos C，
所以由正弦定理可得，
2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B，
因为sin B≠0，所以cos A＝，A＝.又a＝2，c＝b，
所以由余弦定理可得，＝＝，
解得b＝2，c＝2，
故S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.
附注，不能选②③.因为(2b－c)cos A＝acos C，
所以由正弦定理可得，2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，A＝.因为B＝，c＝b，所以C＝π－A－B＝，此时≠，不符合题意．

第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例



知识点　余弦定理、正弦定理的应用
(一)教材梳理填空
实际测量中的有关名称、术语：
(1)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是0°≤θ＜360°.
(2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，
它是方位角的另一种表示形式．如图，图①中表示北偏东30°，图②中表示南偏西60°.

(3)仰角和俯角：

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标 视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图所示．
(4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)东北方向就是北偏东45°的方向． (√)
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)
2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为 (　　)
A．10 km　　　　　　　　 B．10 km
C．10 km D．10 km
答案：D
3．如图中的两个方向，用方位角应表示为_______(图①)与_________(图②)．

答案：60°　210°
4．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的北偏西________．
答案：34°27′


题型一　测量距离问题

【学透用活】
[典例1]　如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)．若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
[解]　由正弦定理得
AC＝
＝＝10(1＋)(米)，
BC＝＝＝20(米)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB＝
＝10(米)．∴A，B两点间的距离为10米．
[方法技巧]
1．解决测量距离问题的策略
(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决．
(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般先把求距离问题转化为运用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点之间距离的测量问题，最后运用正弦定理解决．　　
2．解决距离问题的注意点
(1)选定或构造的三角形要确定，即确定在哪一个三角形中求解；
(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理．　　

【对点练清】
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
解析：过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D(图略)，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，则AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60(m)．
答案：60

题型二　测量高度问题
[探究发现]
(1)求解高度问题时理解哪些角是关键？
提示：在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)求解高度问题时应怎样分析？
提示：在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
　　　

【学透用活】

[典例2]　如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.
[解]　因为CD⊥AD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)．
即山的高度为800(＋1)m.

[方法技巧]
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．　　
【对点练清】

为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为______m.
解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600(m)．
在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝，
∴CD＝600×＝600(m)．
答案：600

题型三　测量角度问题

【学透用活】

[典例3]　“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________.
[解析]　如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H.由题中所给数据得
DF＝＝
＝10(m)，
DE＝＝＝100(m)，
EF＝＝＝130(m)．
在△DEF中，由余弦定理的推论，得
cos∠DEF＝
＝＝－.
[答案]　－
[方法技巧]
(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题．
(2)解决它们的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．　　

【对点练清】
甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?
解：如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC 为
x n mile，则AC＝x.
由正弦定理得
sin θ＝＝，而θ<60°，
∴θ＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.
∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.



【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，
到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速
直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°.
若忽略机器人原地旋转所需的时间，求该机器人最快可在距A点多少分米的C处截住足球．
解：设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上．设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC 2－2AB·AC·cos A，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)·cos 45°，
解得x1＝5，x2＝.∴AC＝17－2x＝7(dm)，
或AC＝－(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm 的点C处截住足球．
二、应用性——强调学以致用
2．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解：如图所示，
考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时
收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.
在△ABC中，AB＝(km)，AC＝1(km)，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得sin∠ACB＝·AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(km)．
在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(km)．∵×60＝5，
∴在BC上需5 min，CD上需5 min.∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格．

课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站
南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　)
A．北偏东10°　　　　　　　 B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D　由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是 (　　)
A．20 m， m B．10 m, 2 0 m
C．10(－)m, 20 m D. m， m
解析：选A　由题意，知h甲＝20tan 60°＝20(m)，
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．
3．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)
A．15 km　　　　　　　 B．30 km
C．45 km D．60 km
解析：选B　如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠ CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，
∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30 (km)．
4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为 (　　)
A. n mile/h B．34 n mile/h
C. n mile/h D．34 n mile/h
解析：选A　如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，
∴v＝＝(n mile/h)．故选A.
5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD
为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选B　依题意可得AD＝20(m)，
AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝.
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
6．某人朝正东方向走x m后，向右转150°，然后朝新方向走3 m，结果他离出发点恰好为 m，那么x的值为_______．
解析：如图，在△ABC中，AB＝x，B＝30°，BC＝3，AC＝，由余
弦定理得()2＝x2＋32－2×3×x×cos 30°，
∴x2－3x＋6＝0，∴x＝或2.
答案：2或
7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直
线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，
45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时
14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)
解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100 m，
由余弦定理可得BC＝
≈316.2(m)，
这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)．
答案：22.6
8.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从 A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.
解：根据图示，AC＝100 m．在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝，解得AM＝100 m．在△AMN中，＝sin 60°，所以MN＝100×＝150(m)．
层级(二)　能力提升练
1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：
①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为 (　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A.
2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
解析：如图，设竹竿的影子长为x.
依据正弦定理可得＝.
所以x＝·sin(120°－α)．
因为0°<120°－α<120°，
所以要使x最大，只需120°－α＝90°，
即α＝30°时，影子最长．
答案：30°
3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为______小时．
解析：如图，设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米， AP＝x.在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，化简得x2－40x＋700＝0，
|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，
故t＝＝＝1(小时)．
答案：1
4.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 s．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A，C两地的距离；
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.
(声音的传播速度为340 m/s)
解：(1)由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m.在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝BA2＋AC2－2BA·ACcos∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
所以A，C两地间的距离为420 m.
(2)在Rt△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°，
所以CH＝ACtan∠CAH＝140 m.
所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树
顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树
顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732)．
解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，
则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4.
由正弦定理得＝，
解得BC＝4(m)．即BC的长为4 m.
(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4，
所以DC＝4sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，则DC＝2＋2.
所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m.
层级(三)　素养培优练
1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A(如图2)距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ.测得PQ的高度约为25米，并从P点测得A点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点、P点的仰角分别为75°和30°(其中B，M，Q三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(　　)

A．59　　　B．60　　　C．65　　　D．68
解析：选A　如图所示，
由题意得∠AMB＝75°，∠PMQ＝30°，∠AMP＝75°，∠APM＝60°，∠PAM＝45°，
在△PMQ中，PM＝＝50，
在△PAM中，由正弦定理得＝，
＝，所以AM＝25，
在△ABM中，AB＝AM·sin∠AMB＝25×sin 75°
＝25×，
所以AB＝≈＝＝59.125，
所以赛道造型最高点A距离地面的高度约59.

2．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O的北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
(3)是否存在v，使得小艇以v海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，则由余弦定理，可得S＝

＝＝，
故当t＝时，Smin＝10，此时v＝30，即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇，
由题意可知(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
化简得，v2＝－＋900＝4002＋675.
由于0 所以当＝2时，v取得最小值10，
即小艇航行速度的最小值为10 海里/时．
(3)存在．由(2)知，v2＝－＋900，设＝u(u>0)，
于是400u2－600u＋900－v2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，
即解得15 所以v的取值范围是(15，30)．

平面向量与正、余弦定理

综合考法(一)　平面向量的线性运算

【题型技法】
[例1]　(1)若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为 (　　 )
A.　　　　　　　 B.
C. D.
(2)如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点．设＝a，＝b.
①试用a，b表示， ，；
②求证：B，E，F三点共线．
[解析]　(1)因为＝4＝r＋s，
所以＝＝＝r＋s，
所以r＝，s＝－，所以3r＋s＝－＝.
答案：C
(2)①在△ABC中，∵＝a，＝b，
∴＝－＝b－a，
＝＋＝＋ ＝a＋(b－a)＝a＋ b，＝＋＝－＋＝－a＋b.
②证明：∵＝－a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋
＝－a＋b＝，∴＝，
∴与共线，且有公共点B，∴B，E，F三点共线．
【集训冲关】
1．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝ (　　)
A. B．
C. D.
解析：选D　a－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(13＋3x，4＋3y)＝0，所以所以
2.如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE，CD交于点P，则△APC的面积为________cm2.
解析：设＝a，＝b，以a，b为一组基底，
则＝a＋b，＝a＋b.
∵点A，P，E与点D，P，C分别共线，
∴存在实数λ和μ，
使＝λ＝λa＋λb， ＝μ＝μa＋μb.
又∵＝＋＝a＋μb，
∴解得
∴S△PAB＝S△ABC＝14×＝8(cm2)，
S△PBC＝14×＝2(cm2)，
∴S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．
答案：4

综合考法(二)　向量数量积的运算

【题型技法】
[例2]　(1)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2， ＝2，则·的值为 (　　)
A．－15　　　　　　　 B．－9
C．－6 D．0
(2)在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC―→·EM―→的取值范围是 (　　)
A. B．
C. D．[0,1]
[解析]　(1)连接OA.在△ABC中，＝－＝3－3＝3(－)－3(－)＝3(－)，∴·＝3(－)· ＝3(·－)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.
(2)将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.因为M，C(1,1)，所以EM―→＝，EC―→＝(1－x,1)，
所以EM―→·EC―→＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，
即EM―→·EC―→的取值范围是.
[答案]　(1)C　(2)C
[方法技巧]
向量数量积的求解策略
(1)利用数量积的定义、运算律求解
在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．　　
(2)借助零向量
借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．
(3)借助平行向量与垂直向量
借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题．
(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积．　　
【集训冲关】
1. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝ (　　 )
A．5　　　　　　　　　 B．4
C．3 D．2
解析：选A　 由四边形ABCD为平行四边形，知＝＋＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝5.
2.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝　，||＝1，则·＝
(　　 )
A．2 B．
C. D.
解析：选D　 设||＝x，则||＝x，· ＝(＋)·＝·＝||·||cos∠ADB＝x·1·＝.

综合考法(三)　向量的模、垂直与夹角问题

【题型技法】
[例3]　(1)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝ (　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．2 D．10
(2)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A. B．
C. D.
[解析]　(1)由a⊥c，得2x－4＝0，则x＝2.
由b∥c，得－4＝2y，则y＝－2，
故|a＋b|＝＝.
(2)∵|a＋b|＝|a－b|，
∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
∴a·b＝0.又∵|a＋b|＝2|a|，
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝4|a|2，∴|b|2＝3|a|2.
设a＋b与a－b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]
1．向量的垂直和夹角问题
(1)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算．
(2)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.　　
(3)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式
求解.
2.求向量的模的方法,(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算.,(2)几何法：利用向量的几何意义.)
【集训冲关】
1．已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为 (　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．6 D.
解析：选A　因为＝λ＋，且⊥，所以·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝.
2. 已知a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________.
解析：因为a＝(－1,3)，b＝(1, t)，所以a－2b＝(－3，3－2t)．因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0，
即(－3)×(－1)＋3(3－2t)＝0，解得t＝2，
所以b＝(1,2)，所以|b|＝＝.
答案：

综合考法(四)　利用余弦定理、正弦定理解三角形

【题型技法】
[例4]　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为 (　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若 a＋b＝2c，求sin C.
[解析]　(1)由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理b2＋c2－a2＝2bccos A可得bc＝2bccos A，即cos A＝，所以sin A＝.因为bc＝1，所以S＝bcsin A＝×1×＝，故选C.
答案：C
(2)①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0° ②由①知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得 sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sin C，
整理可得cos(C＋60°)＝－.
因为0° 所以sin C＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝.
[方法技巧]
解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．　　
【集训冲关】
1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a＝4，b＝5，cos A＝，则B＝ (　　)
A. B． 或
C. D.或
解析：选A　根据题意，在△ABC中，cos A＝，
则sin A＝，且A为锐角．又由＝，
可得sin B＝＝，因为a＝4>b＝5，
所以B 2．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为 (　　)
A. B．
C. D．3
解析：选B　

如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，
AC＝4.
∵cos A＝＝，
A∈(0，π)，∴sin A＝.
∴BD＝AB·sin A＝3×＝.
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______，若b＝，________.
请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答．
条件：①asin＝bsin A；
②bsin A＝acos；
③a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cosB．
结论：①求△ABC的周长的取值范围；
②求△ABC的面积的最大值．
解：选择条件①，则由正弦定理得
sin Asin ＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin ＝sin B．
由A＋B＋C＝π，可得sin＝cos ，
故cos ＝2sin cos .
因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝.
选择条件②，则在△ABC中，由正弦定理＝，
可得bsin A＝asin B，又bsin A＝acos，
所以asin B＝acos，即sin B＝cos，
所以sin B＝cos B＋sin B，可得tan B＝.
又B∈(0，π)，所以B＝.
选择条件③，因为a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，
所以由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B，
又a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos B．
由正弦定理得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，又C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos B＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.选择结论①，因为b＝，
所以由余弦定理得13＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，所以(a＋c)2＝13＋3ac≤13＋32，
解得a＋c≤2(当且仅当a＝c＝时，等号成立)．
又a＋c>b＝，
所以2 故△ABC的周长的取值范围为(2，3 ]．
选择结论②，因为b＝，
所以由余弦定理得13＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝时，等号成立)，
所以△ABC的面积S＝acsin B≤×＝，
即△ABC的面积的最大值为.
综合素养评价
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b等于 (　　)
A．(4,0)　　　　　　　 B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
解析：选C　由a∥b知4＋2m＝0，所以m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(m,4)＝(2－m，－8)＝(4，－8)．
2．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于 (　　)
A. B．
C. D．(1,0)
解析：选B　设b＝(x，y)，其中y≠0，
则a·b＝x＋y＝.由解得即b＝.故选B.
3．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cos B等于 (　　)
A. B．
C. D.
解析：选B　由正弦定理，得＝，
∴a＝b可化为＝.
又A＝2B，∴＝，∴cos B＝.
4．已知向量a＝(m－1,1)，b＝(m，－2)，则“m＝2”是“a⊥b”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　当m＝2时，a＝(1,1)，b＝(2，－2)，
所以a·b＝(1,1)·(2，－2)＝2－2＝0，
所以a⊥b，充分性成立；当a⊥b时，a·b＝(m－1,1)·(m，－2)＝m(m－1)－2＝0，解得m＝2或m＝－1，必要性不成立．所以“m＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．
5．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B的值为 (　　)
A. B．
C. D.
解析：选C　由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cos B＝＝，所以sin B＝.
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋ (λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．1 B．
C. D.
解析：选D　
过C作CE⊥x轴于点E.
由||＝2，且∠AOC＝，得|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋ ＝λ＋，即＝λ，
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
7．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________.
解析：由已知，得·＝0，则(3－t，t＋1)·(－3－t,0)＝0，∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.
答案：3
8．已知e为一个单位向量，a与e的夹角是120°.若a在e上的投影为－2e，则|a|＝________.
解析：∵|a|·cos 120°＝－2，
∴|a|×＝－2，∴|a|＝4.
答案：4
9．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________．
解析：由＝⇒＝⇒a＝c.①
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5.②
联立①②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝且B为锐角知cos B＝，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
答案：
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为m b＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
所以M(0,20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
所以N(9,2)．所以＝(9，－18)．
11．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
解：方案一，选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二，选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，解得c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.由③c＝b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0.
(1)若B＝，求A，C；
(2)若C＝，c＝14，求S△ABC.
解：(1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sin A－1＝0，于是sin A＝1或sin A＝－(舍去)．因为0 所以C＝π－－＝.
(2)由题意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196.①
由a2－ab－2b2＝0，得(a＋b)(a－2b)＝0.
因为a＋b>0，所以a－2b＝0，即a＝2b.②
联立①②解得b＝2，a＝4.
所以S△ABC＝absin C＝14.