数学七年级下册5 平方差公式一课一练

平方差公式专练

一、单选题(共10题；共20分)

1．下列式子可用平方差公式计算的是（　　）

A．(a+b)(a−b) B．(a−b)(b−a)

C．(a+2b)(2b+a) D．(y 2x)( 2x +y)

2．（m+2）（m﹣2）＝（　　） 

A．m2+4 B．m2﹣4 C．m2+2 D．m2﹣2

3．若 ，则括号内应填的代数式是（　　）．  

A． B． C． D．

4．如果x+y＝6，x2-y2=24，那么y-x的值为（　　）  

A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6

5．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是(　　) 

A．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 B．a2﹣ab＝a(a﹣b)

C．a2﹣b2＝(a﹣b)2 D．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)

6．的计算结果是（　　）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

7．化简的结果是（　　）

A． B． C． D．

8．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m的值是（　　） 

A．2020 B．2021 C．2022 D．2024

9．已知a﹣b=2，则a2﹣b2﹣4b的值为(　　)  

A．2 B．4 C．6 D．8

10．选择计算(-4xy2+3x2y)(4xy2+3x2y)的最佳方法是（　　）  

A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式

C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式

二、填空题(共8题；共16分)

11．计算：（2a+b）（2a﹣b）＝　        　．

12．计算：(-m-n)(m-n)=（　     　）  

13．计算：的结果是　     　．

14．已知，则　     　．

15．计算 的结果等于　     　．

16．计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）＝　     　.

17．如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为　     　．  

18．观察下列各式的规律：

……

可得到 　            　．

三、解答题(共6题；共64分)

19．（15分）计算

（1） ． 

（2）．

（3）（a+1）（a2-1）（a-1）  

20．（12分）利用乘法公式计算：（1）        （2）

21．（7分）已知 ，求代数式 的值．  

22．（8分）已知圆环的面积为 ，其中大圆与小圆周长的和为 ，求圆环的宽度（大圆半径与小圆半径的差）. 

23．（10分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.

（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：　                 　.

（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：

①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝       ；

②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12.

24．（12分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；

（2）试说明神秘数能被4整除；

（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．

答案解析部分

1．【答案】D

【解析】【解答】解：A.括号中的两项符号都相反，不符合公式特点，故此选项错误；

B.括号中的两项符号都相反，不符合公式特点，故此选项错误；

C.括号中的两项符号都相同，不符合公式特点，故此选项错误；

D.y的符号相同，2x的符号相反，符合公式特点，故此选项正确.

故答案为：D.

【分析】 由平方差公式(a+b)(a−b) =a2-b2，进行逐一判断即可.

2．【答案】B

【解析】【解答】解：（m+2）（m﹣2）＝m2﹣4.

故答案为：B.

【分析】根据平方差公式：（a-b）（a+b）= a2-ab+ab-b2 = a2-b2  ，即可得出结果.

3．【答案】D

【解析】【解答】解： .

故答案为：D.

【分析】将等式右边的多项式根据平方差公式进行分解因式，即可得到答案.

4．【答案】A

【解析】【解答】∵x2-y2=（x+y）（x-y）=24，

∴6（x-y）=24，

∴x-y=4，

∴y-x=-4，

故答案为：A．

【分析】先利用平方差公式分解因式，再代入x+y=6, 系数化为1即可求解。

5．【答案】D

【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；

拼成的长方形的面积为：(a+b)×(a﹣b)，

所以得出：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，

故答案为：D．

【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a﹣b)，根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：(a+b)×(a﹣b)，因为面积相等，进而得出结论．

6．【答案】B

【解析】【解答】解：

=20202-（2020+1）（2020-1）

=20202-20202+1

=1.

故答案为：B.

【分析】原式可变形为20202-(2020+1)(2020-1)，然后结合平方差公式进行计算即可.

7．【答案】A

【解析】【解答】

故答案为：A．

【分析】先将原式变形为，再利用平方差公式化简即可得到。

8．【答案】C

【解析】【解答】解：

=

= ，

∵ ，

∴ ；

故答案为：C．

【分析】利用平方差公式展开,再代入计算即可。

9．【答案】B

【解析】【解答】∵a﹣b=2，

∴原式=(a+b)(a﹣b)﹣4b=2(a+b)﹣4b=2a+2b﹣4b=2(a﹣b)=4.

故答案为：B.

【分析】原式变形后，把已知等式整体代入计算即可求出值.

10．【答案】B

【解析】【解答】解：运用平方差公式进行运算为最佳方法。

故答案为：B.

【分析】根据题意可知，其符合平方差公式，可借助运算法则减少计算难度。

11．【答案】4a2﹣b2

【解析】【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，

故答案为：4a2﹣b2．

【分析】利用平方差公式展开计算即可。

12．【答案】

【解析】【解答】(-m-n)(m-n)

  

.

故答案为： .

【分析】根据平方差公式进行计算即可.

13．【答案】7

【解析】【解答】解：原式

，

故答案为：7．

【分析】利用平方差公式计算求解即可。

14．【答案】4

【解析】【解答】解：∵，

∴

，

故答案为：4．

【分析】根据计算求解即可。

15．【答案】-3

【解析】【解答】解： ．

故答案为：-3．

【分析】利用平方差公式计算即可.

16．【答案】

【解析】【解答】解：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）

＝

＝

＝ .

故答案为： .

【分析】利用平方差公式可将原式中的每一个因式分别分解因式，然后按有理数的加减法法则分别计算，最后根据有理数的乘法法则即可算出答案.

17．【答案】±4

【解析】【解答】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，

∴（2a+2b）2-1=63,

∴（2a+2b）2=64,

∴2a+2b=±8,

∴a+b=±4.

故答案为：±4.

【分析】由（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，利用平方差公式可得（2a+2b）2-1=63,即得（2a+2b）2=64,然后利用平方根可得2a+2b=±8,从而求出结论.

18．【答案】a2017-b2017

【解析】【解答】(a−b)(a+b)=a²−b²；

(a−b)(a²+ab+b²)= − ；

(a−b)( +a²b+ab²+ )= ；

…

可得到(a−b)( b+…+a )= ，

故答案为： .

【分析】根据已知等式，归纳总结得出一般性的规律（两个多项式相乘，第一个多项式相同，，第二个多项式的a的最高指数和式子的顺序数相同，且按降幂依次排列，b的指数与a刚好相反，结果为an-bn,n等于式子的顺序数加1），写出所求式子的结果即可。

19．【答案】（1）解：原式=

=5-3

=2．

（2）解：原式

．

（3）解：原式

．

20．（1）解：

．

（2）解：原式

．

21．【答案】解：原式=

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴原式= ．

【解析】【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把 变形后，整体代入求值即可．

22．【答案】解：设大圆半径为r1，小圆半径为r2，则由题意可得：2πr1+2πr2=4π，即r1+r2=2；再由题意可得：πr12-πr22=π，即r12-r22=1，则r12-r22=(r1+r2)(r1-r2)=2×(r1-r2)=1，则r1-r2=0.5.

故圆环的宽度为0.5 .

【解析】【分析】 设大圆半径为r1，小圆半径为r2，由题意可得:r1+r2=2，r12-r22=1，再利用平方差公式，即可得到答案.

23．【答案】（1）

（2）解：①4
②

【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积 ，

所以，得到公式

故答案为： ；

（2）①∵

∴

又∵2a+b＝6，

故答案为：4；

【分析】（1）由图形可得：图1中阴影部分面积为a2-b2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a-b)，然后根据两个图形阴影部分面积相等可得等式；
（2）①根据4a2-b2=(2a+b)(2a-b)进行计算；
②将待求式子从左至右两项一组进行分组，组内利用平方差公式分解因式后再利用1+2+3+……+n=进行计算即可.

24．【答案】解：（1）是，理由如下：

∵28=82﹣62，2012=5042﹣5022，

∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；

（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：

（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），

∴“神秘数”是4的倍数；

（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则

（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k，

而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，

所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．

【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；

（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；

（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．