新教材2023年高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质素养作业新人教A版必修第二册

第八章　8.6　8.6.3　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　D　)

A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1

C．相交但不垂直 D．相交且垂直

[解析]　由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF⊥平面A1B1C1D1相交且垂直．

2．如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是(　D　)

A．α⊥β，α∩β＝l，b⊥l⇒b⊥β

B．α⊥β，α∩β＝l，b⊂α⇒b⊥β

C．α⊥β，b⊂α，b⊥l⇒b⊥β

D．α⊥β，α∩β＝l，b⊂α，b⊥l⇒b⊥β

[解析]　根据面面垂直的性质定理知，D正确．

3．(2022·昆明高一检测)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　A　)

A．l∥β或l⊂β B．l∥m

C．m⊥α D．l⊥m

[解析]　直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，A正确；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴B错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则m⊥α或m与α相交或m⊂α或m∥α，∴C错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴D错误．故选A．

4．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　B　)

A．PD⊂平面ABC B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC

[解析]　∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．

又∵平面ABC⊥平面PAB，PD⊂平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC．

5．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　B　)

A．m∥n B．n⊥m

C．n∥α D．n⊥α

[解析]　由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m．

二、填空题

6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是__平行__．

[解析]　因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，

所以n⊥α．又m⊥α，所以m∥n．

7．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝____．

[解析]　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，

∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，

∴PB＝＝＝．

8．如图，在三棱锥C－ABD内，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为__6__．

 [解析]　∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB．

又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD．∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．

三、解答题

9．(2022·雅安高一检测)如图，四边形ABCD是菱形，FD⊥平面ABCD．求证：平面ACF⊥平面BDF．

 [解析]　在菱形ABCD中，AC⊥BD，

因为FD⊥平面ABCD，

所以FD⊥AC．

又因为BD∩FD＝D，

所以AC⊥平面BDF．

而AC⊂平面ACF，

所以平面ACF⊥平面BDF．

10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD．

[解析]　(1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，

∴PE⊥AD．

∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．

(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD．

∴AB⊥PD．又PA⊥PD，AB∩PA＝A，

∵PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．

(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD．

∵F，G分别为PB和PC的中点，

∴FG∥BC，且FG＝BC．

∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

∴ED∥BC，DE＝BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，

∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD．

又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD．

B组·素养提升

一、选择题

1．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　A　)

A．直线AB上 B．直线BC上

C．直线AC上 D．△ABC内部

[解析]　连接AC1．∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1．又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A．

2．把边长为4的正方形ABCD，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为(　A　)

A．4 B．4

C．2 D．2

[解析]　如图所示，取BD的中点O，

连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，

由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，

所以∠AOC＝90°；

又AO＝CO＝BD＝×4＝2，

所以AC2＝AO2＋CO2＝8＋8＝16，

所以AC＝4，

即空间四边形ABCD的对角线AC＝4．

3．(多选题)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论错误的是(　ABC　)

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

[解析]　由平面图形易知∠BDC＝90°．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB．又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC．又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC．

4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′等于(　A　)

A．2∶1 B．3∶1 

C．3∶2 D．4∶3

[解析]　由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，设AB＝2a，

则BB′＝2asin ＝a，A′B＝2acos ＝a，

∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1．

二、填空题

5．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于____．

[解析]　如图，取CD的中点G，连接MG，NG ．

因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝．

因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG⊂平面ABCD，

所以MG⊥平面DCEF，又NG⊂平面DCEF，所以MG⊥NG，所以MN＝＝．

6．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝__∶2__．

[解析]　由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2，所以cos α＝＝，cos β＝，所以cos α∶cos β＝∶2．

三、解答题

7．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．

[解析]　∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，

∴BC＝5 cm．

∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD⊂β，

∴BD⊥α．

又BC⊂α，∴BD⊥BC．

在Rt△BDC中，DC＝＝13 cm．

8．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC．

(1)求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．

[解析]　(1)因为AB＝AC，D是BC的中点，

所以AD⊥BC．

因为底面ABC⊥平面BB1C1C，

底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，

所以AD⊥平面BB1C1C．

又CC1⊂平面BB1C1C，

所以AD⊥CC1．

(2)如图，延长B1A1与BM交于点N，连接C1N．

因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1．

因为A1C1＝A1N＝A1B1，

所以C1N⊥B1C1，

所以C1N⊥侧面BB1C1C．

又C1N⊂平面BNC1，

所以截面C1NB⊥侧面BB1C1C．

所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，

连接DE，因为截面MBC1⊥侧面BB1C1C，

所以ME⊥侧面BB1C1C．

又AD⊥侧面BB1C1C，所以ME∥AD，

所以M，E，D，A四点共面．

因为MA∥侧面BB1C1C，

所以AM∥DE．

所以四边形AMED是平行四边形，

又AM∥CC1，所以DE∥CC1．因为BD＝CD，

所以DE＝CC1，

所以AM＝CC1＝AA1．

所以AM＝MA1．