新教材2023年高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定素养作业新人教A版必修第二册

第八章　8.6　8.6.3　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．下列命题中正确的是(　C　)

A．若平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β

B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β

C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β

D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β

[解析]　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错误；由直线与平面垂直的判定定理和平面与平面垂直的判定定理知，B，D错误，C正确．

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设A1A＝a，则AO＝a，

所以tan ∠A1OA＝＝．

3．点D是Rt△ABC斜边AB上一动点，AC＝3，BC＝4，将△BCD沿着CD翻折，翻折后的三角形为△B′CD，且平面B′DC⊥平面ADC，则翻折后AB′的最小值是(　B　)

A． B．

C．2 D．

[解析]　过B′作B′E⊥CD于点E，连接AE，如图所示，设∠BCD＝∠B′CD＝α，则B′E＝4sin α，CE＝4cos α，∠ACE＝－α，在△AEC中，由余弦定理得，

AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cos＝9＋16cos2α－24cosαsinα，

∵平面B′CD⊥平面ACD，平面B′CD∩平面ACD＝CD，B′E⊥CD，B′E⊂平面B′CD，

∵B′E⊥平面ACD，又AE⊂平面ACD，∴B′E⊥AE．

在Rt△AEB′中，由勾股定理得AB′2＝AE2＋B′E2＝9＋16cos2α－24cos αsin α＋16sin2α＝25－12sin 2α，

∴当α＝时，AB′取得最小值为．故选B．

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是(　B　)

A．AC B．BD

C．A1D1 D．A1A

[解析]　在正方体中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD．

又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，

∴BD⊥平面AA1C1C．

∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C，

∴CE⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CE．

5．(2022·大连海湾高级中学高一检测)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个结论中正确的是(　D　)

A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β

B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

C．若m⊥n，m⊥β，则n∥β

D．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β

[解析]　A中，m⊥n可得α与β相交，故A错；B中，m∥α，m⊥n，可得n⊥α或n⊂α或n∥α，故B错；C中，m⊥n，m⊥β，则n∥β或n⊂β，故C错；D中，m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β，故D正确．

二、填空题

6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是__平行__．

[解析]　由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．

7．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有__3__对．

[解析]　∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，

∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，

∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．同理可证：平面PAB⊥平面PAC．

8．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝__13__．

[解析]　连接BC．∵BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，

∴BD⊥α，∵BC⊂α，∴BD⊥BC，∴△CBD是直角三角形．

在Rt△BCD中，CD＝＝13．

三、解答题

9．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．

(1)求证：DE＝DA；

(2)求证：平面BDM⊥平面ECA．

[解析]　(1)取EC的中点F，连接DF．

∵CE⊥平面ABC，

∴CE⊥BC．易知DF∥BC，∴CE⊥DF．

∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE＝DA．

(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则

MN綊CF．

∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM．

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．

又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA．

又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA．

10．(2022·河北衡水中学高一联考)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1．

(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；

(2)求四棱锥P－ABCD的体积．

[解析]　(1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝．

因为PC＝2，BC＝1，

所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB．

因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB．

因为PB∩AB＝B，PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．

又BC⊂平面PBC，

所以平面PAB⊥平面PBC．

(2)在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示．

由(1)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PE．

因为AB∩BC＝B，所以PE⊥平面ABCD．

因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，

所以PE＝．

因为四边形ABCD是直角梯形，所以四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝××(1＋2)×1×＝．

B组·素养提升

一、选择题

1．已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是(　D　)

A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β

C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β

[解析]　由a∥α，知α内必有直线l与a平行，而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β．

2．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为(　D　)

A．30° B．60°

C．30°或150° D．60°或120°

[解析]　如图，∵AB⊥β，

∴AB⊥l，∵BC⊥α，

∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，

设平面ABC∩l＝D，

则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，

∵AB＝6，BC＝3，

∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，

∴二面角大小为60°或120°．

3．(多选题)在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　ABD　)

A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC

C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD

[解析]　对于A选项，AB⊥PA，AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；对于B选项，由BC⊥AB，BC⊥PA，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；对于D选项，CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．

4．(多选题)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中则有(　AD　)

A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面

C．平面EFH⊥平面AEF D．平面AFH⊥平面EFH

[解析]　由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF且平面AFH⊥平面EFH，故选AD．

二、填空题

5．在三棱锥S－ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝a，SB＝2a，则二面角S－AC－B的大小为__90°__．

[解析]　因为AC⊥平面SBC，SC，BC⊂平面SBC，

∴AC⊥SC，AC⊥BC，

∴二面角S－AC－B的平面角为∠SCB．

又SC＝a，BC＝a，SB＝2a，

所以SB2＝SC2＋BC2，

故△SCB为直角三角形，

∴∠SCB＝90°．

6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD．底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__BM⊥PC(其他合理即可)__时，平面MBD⊥平面PCD．(注：只要填写一个你认为正确的条件即可)

[解析]　∵四边形ABCD的边长相等，

∴四边形ABCD为菱形．∵AC⊥BD，

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，

∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．

若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．

∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM．

∴平面PCD⊥平面BDM．

三、解答题

7．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．证明：平面BED⊥平面ACD．

[解析]　因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；

在△ABD和△CBD中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，

所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；

又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，

因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD．

8．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

(1)证明：MN∥平面C1DE；

(2)求点C到平面C1DE的距离．

[解析]　(1)证明：连接B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C．

又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D．

由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．

又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．

(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H．

由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，

故DE⊥CH．从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．

由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝，故CH＝．从而点C到平面C1DE的距离为．