专题08 一元一次不等式与不等式组的两种应用全攻略-初中数学7年级下册同步压轴题（教师版含解析）

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专题08 一元一次不等式(组)两种应用全攻略
类型一、设计方案问题
例．深圳某校6名教师和234名学生外出参加集体活动，学校准备租用45座大车和30座小车若干辆．已知租用1辆大车、2辆小车的租车费用是1000元，租用2辆大车、1辆小车的租车费用是1100元．
(1)求大、小客车每辆的租车费各是多少元？
(2)学校要求每辆车上至少要有一名教师，且租车总费用不超过2300元，请问有几种符合条件的租车方案？
【答案】(1)大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元；
(2)有两种租车方案，方案一：4辆大车，2辆小车；方案二：5辆大车，1辆小车．
【解析】(1)解：设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．
可得方程组，解得．
答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元；
(2)解：由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆；
又要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于(取整为6)辆，
综合起来可知汽车总数为6辆．
设租用m辆大车，则租用(6-m)辆小车，
依题意有：，解得：4≤m≤5，所以有两种租车方案，
方案一：4辆大车，2辆小车；
方案二：5辆大车，1辆小车．
【变式训练1】2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．我市始终把产业扶贫摆在突出位置，建立了A，B两个扶贫种植基地．为了帮扶我市的扶贫产业，扶贫办联系了C，D两家肥料厂对我市共捐赠100吨肥料，将这100吨肥料平均分配到A，B两个种植基地．已知C厂捐赠的肥料比D厂捐赠的肥料的2倍少20吨，从C，D两厂将肥料运往A，B两地的费用如表：

C厂
D厂
运往A地(元/吨)
22
20
运往B地(元/吨)
20
22
(1)求C，D两厂捐赠的肥料的数量各是多少吨；
(2)设从C厂运往A地肥料x吨，从C，D两厂运输肥料到A，B两地的总运费为y元，求y与x的函数关系式，并求出最少总运费；
(3)由于从D厂到B地开通了一条新的公路，使D厂到B地的运费每吨减少了a(0＜a＜6)元，这时怎样调运才能使总运费最少？
【答案】(1)C厂捐赠的数量是60吨，则D厂捐赠的数量是40吨
(2)y＝4x+1980(10≤x≤50)，最少总运费为2020元
(3)①当0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；③当4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a．
【解析】(1)设D厂捐赠的数量是a吨，则C厂捐赠的数量是(2a﹣20)吨．
根据题意可得，a+2a﹣20＝100，解得，a＝40，则2a﹣20＝60．
答：C厂捐赠的数量是60吨，则D厂捐赠的数量是40吨．
(2)根据题意可得，从C厂运往A地肥料x吨，从C厂运往B地肥料(60﹣x)吨；从D厂运往A地肥料(50﹣x)吨，从D厂运往B地肥料(x﹣10)吨．
由题意可得，y＝22x+20(60﹣x)+20(50﹣x)+22(x﹣10)＝4x+1980，
根据实际意义可得，，解得，10≤x≤50，
∵4＞0，∴y随x的减小而减小，∴当x＝10时，y取最小值2020．
答：y与x的函数关系式为y＝4x+1980(10≤x≤50)，最少总运费为2020元．
(3)在(2)的基础上，可得，y＝22x+20(60﹣x)+20(50﹣x)+(22﹣a)(x﹣10)＝(4﹣a)x+(1980+10a)(10≤x≤50，0＜a＜6)，
①当4﹣a＞0，即0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；
②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；
③当4﹣a＜0，即4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a．
综上，①当0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；
②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；
③当4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a．
【变式训练2】开学初，某中学八(1)班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元，八(2)班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费230元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校准备再购买A、B两种品牌足球共100个，要求购买的B品牌足球不少于A品牌足球数量的4倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
【答案】(1)购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需50元，80元
(2)三种方案：①B种5个，a种22个．②b种10个，a种14个．③b种15个，a种6个
【解析】(1)解：设购买一个A种品牌的足球需要x元，一个B种品牌的足球需要y元，
依题意得：，解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，一个B种品牌的足球需要80元．
(2)解：设购买A种品牌的足球m个，则购买B种品牌的足球(100−m)个，
依题意得：100−m≥4m，解得：m≤20．
设该校购买100个足球所需总费用为w元，则w＝50m＋80(100−m)＝−30m＋8000，
∵−30＜0，∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最小值，此时100−m＝80，
∴购买20个A种品牌的足球，80个B种品牌的足球所需总费用最低．
【变式训练3】众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地车型
A地(元/辆)
B地(元/辆)
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
【答案】(1)大货车、小货车各有12与8辆
(2)y＝100x+15600(2≤x≤10，x为整数)；(3)y的最小值16400元
【解析】(1)设大货车、小货车各有m与n辆，
由题意可知：，解得：
答：大货车、小货车各有12与8辆
(2)设到A地的大货车有x辆，则到A地的小货车有(10﹣x)辆，
到B地的大货车有(12﹣x)辆，到B地的小货车有(x﹣2)辆，
∴y＝900x+500(10﹣x)+1000(12﹣x)+700(x﹣2)＝100x+15600，
依题意，，2≤x≤10，其中2≤x≤10，x为整数．
(3)运往A地的物资共有[15x+10(10﹣x)]吨，
15x+10(10﹣x)≥140，解得：x≥8，∴8≤x≤10，x为整数，
，当x＝8时，y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
答：总运费最小值为16400元．
【变式训练4】为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买、两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案：
方案
汽车数量(单位：辆)
总费用
(单位：万元)


第一种购买方案
6
4
170
第二种购买方案
8
2
160
(1)、两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？
(2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对、两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．
【答案】(1)型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元
(2)共有三种购车方案，方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆；方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆；方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆
【解析】(1)设型号新能源汽车每辆的价格是万元，型号新能源汽车每辆的价格是万元.
由题意得：解得：.
型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元.
(2)设购买型号新能源汽车辆，则购买型号新能源汽车辆.
由题意得：，解得：.
∵a是整数，∴a=4，5或6
∴共有三种购车方案
方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆
方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆
方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆
类型二、销售利润问题
例．西大附中为打造“书香校园”，计划在校内组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本，组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．目前学校用于组建图书角的科技类书籍不超过1900本，人文类书籍不超过1620本．
(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来．
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
【答案】(1)共有3种组建方案，方案1：组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案2：组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案3：组建中型图书角20个，小型图书角10个．
(2)方案1费用最低，最低费用是22320元
【解析】(1)解：设组建中型图书角x个，则组建小型图书角个，
依题意得：，解得：，
又∵x为整数，∴x可以取18，19，20，
共有3种组建方案，
方案1：组建中型图书角18个，小型图书角12个；
方案2：组建中型图书角19个，小型图书角11个；
方案3：组建中型图书角20个，小型图书角10个；
(2)选择方案1的费用为：(元；
选择方案2的费用为：(元；
选择方案3的费用为：(元．
，方案1费用最低，最低费用是22320元．
【变式训练1】某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作、两款挂件来进行销售．已知制作3个款挂件、5个款挂件所需成本为46元，制作5个款挂件、10个款挂件所需成本为85元．已知、两款挂件的售价如下表：
手工制品
款挂件
款挂件
售价(元/个)
12
8
(1)求制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本分别为多少元？
(2)若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个款挂件或3个款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作款挂件的数量不少于款挂件的2倍．设安排人制作款挂件，销售的总利润为元．请写出(元)与(人)之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)制作一个款挂件的成本为7元，制作一个款挂件的成本为5元
(2),且为正整数；安排17人制作款挂件，23人制作款挂件时，总利润最大，为377元
【解析】(1)解：设制作一个款挂件的成本为元，制作一个款挂件的成本为元．
由题可知：，解得
答：制作一个款挂件的成本为7元，制作一个款挂件的成本为5元．
(2) 解：由题可知：．
(3)
∴，∵为整数，∴且为正整数．
∵，∴随的增大而增大，∴时，最大，此时，．
答：安排17人制作款挂件，23人制作款挂件时，总利润最大，为377元．
【变式训练2】某商场根据市场需求，计划购进甲、乙两种型号的洗衣机，其部分信息如下：购进甲、乙两种型号的洗衣机共80台，准备购买洗衣机的资金不少于44万元，但不超过45万元，且准备的资金全部用于购买洗衣机，现已知甲、乙两种洗衣机的成本和售价如表：
型号
成本(元/台)
售价(元/台)
甲
5000
5500
乙
6000
6600
根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场有几种购机方案？哪种方案获得最大利润？
(2)据市场调查，每台甲型号洗衣机的售价将会提高m元(m＞0)，每台乙型洗衣机售价不会改变，该公司应如何购机才可以获得最大利润？
【答案】(1)11种方案，购买甲型号30台，乙型号50台时，利润最大；(2)m＜100时，购买甲型号30台，乙型号50台时，利润最大，m＞100时，购买甲型号40台，乙型号40台时，利润最大， m＝100时，第(1)题中的11种方案均可，利润为定值48000元
【详解】解：(1)设购买甲型号洗衣机台，则购买乙型号洗衣机台，
由题意：，解得：，
∵为正整数，∴可取的数为：30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，
∴共有11种购机方案，分别为：
甲型号：30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，
对应乙型号：50，49，48，47，46，45，44，43，42，41，40，
设总的利润为，则，整理得：，
∵，∴随的增大而减小，∴当时，最大，
此时，乙型号数量为：80-30=50(台)，∴购买甲型号30台，乙型号50台时，利润最大；
(2)设提升价格后的总利润为，则，
整理得：，
①当时，，∴随的增大而减小，
∵，∴当时，最大，此时，乙型号数量为：80-30=50(台)，
∴购买甲型号30台，乙型号50台时，利润最大；
②当时，，∴随的增大而增大，
∵，∴当时，最大，此时，乙型号数量为：80-40=40(台)，
∴购买甲型号40台，乙型号40台时，利润最大；
③当时，，即：选择(1)中的11种方案获得的利润均相等，均为48000元；
综上分析，时，购买甲型号30台，乙型号50台时，利润最大，时，购买甲型号40台，乙型号40台时，利润最大，时，第(1)题中的11种方案均可，利润为定值48000元．
【变式训练3】在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1 棵杉树共需380元．
(1)求柏树和杉树的单价；
(2)若本次美化乡村道路臀购买柏树和杉树共150棵(两种树都必须购买)，且柏树的棵数不少于树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．
①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？
②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
【答案】(1)柏树的单价为100元，杉树的单价为80元；(2)①，且x为整数；②要使此次费用最少，柏树购买113棵，杉树37棵，最少费用为14260元．
【详解】解：(1)设柏树的单价为m元，杉树的单价为n元，
根据题意可得：，解得：，答：柏树的单价为100元，杉树的单价为80元；
(2)①设本次活动中购买柏树x棵，则杉树棵，
由(1)及题意可得：，
∵本次购买柏树和杉树共150棵，且两种树都必须购买，即：，∴，
∵柏树的棵树不少于杉树的3倍，∴，
解得：，
综合可得：，且x为整数；
②由①可得：，∵，∴w随x的增大而增大，
∵，∴当时，w最小，此时，(元)，
(棵)，∴要使此次费用最少，柏树购买113棵，杉树37棵，最少费用为14260元．
【变式训练4】某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？
(3)在(2)的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元(8＜m＜12)，当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？
【答案】(1)甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；(2)购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；(3)当8＜m＜10时，购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；当10＜m＜12时，购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；当m＝10时，不管x取何值，W＝250
【详解】(1)设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为(40﹣a)元/件，根据题意得：，
解得a＝25，经检验，a＝25是原方程的解并满足题意，
当a=25时，40−a=40−25=15，所以甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；
(2)设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具(50﹣x)件，根据题意得：，解得25≤x≤45；
设总利润为W元，根据题意得：W＝(40﹣25)x+(20﹣15)×(50﹣x)＝10x+250，
∵10＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝45时，利润最大，此时50−x=5，
故购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
(3)由题意可得，W＝(40﹣25)x+(20﹣15)×(50﹣x)﹣mx＝(10﹣m)x+250；
∵8＜m＜12，①当8＜m＜10时，10﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，即购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
②当10＜m＜12时，10﹣m＜0，
∴W随x的增大而减小，即购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；
③当m＝10时，不管x取何值，W＝250．
课后练习
1．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意知7.2≤≤7.8，
∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，
故选：A．
2．若等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是______；若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长y的取值范围是______．
【答案】     x>3     0