新教材2023年高中数学第五章一元函数的导数及其应用章末整合提升课件新人教A版选择性必修第二册

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第五章　一元函数的导数及其应用章末整合提升知识体系构建要点专项突破利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f ′(x1)·(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f ′(x1)(x0－x1)．①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程. 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是___________．典例1(e，1)　典例25x－y＋2＝0　1．导数与函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论导数的符号，进而判断函数的单调区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．(2)函数的单调性与导函数值的关系函数f(x)在(a，b)内可导，若f ′(x)>0，则函数f(x)在(a，b)内单调递增；若f ′(x)<0，则函数f(x)在(a，b)内单调递减．反之，若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f ′(x)≥0；若函数f(x)在(a，b)内单调递减，则f ′(x)≤0.即f ′(x)>0(f ′(x)<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．典例32．导数与函数的极值、最值(1)导数与函数极值的关系对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．(2)利用导数求函数极值、最值应注意三点①求单调区间时，应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；②f ′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；③求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论． (2022·山东威海高三检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的单调区间和最大值．[分析]　(1)要求f(x)的解析式，需确定a，b，c的值，为此利用导数的几何意义写出过P点的切线方程，结合f ′(－2)＝0求解．(2)通过解不等式f ′(x)>0，f ′(x)<0求出单调区间，从而确定最大值．典例4[解析]　(1)f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，f ′(1)＝3＋2a＋b，过曲线上P点的切线方程为y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，整理得，y＝(3＋2a＋b)x－a＋c－2.已知该切线方程为y＝3x＋1，[规律方法]　求函数的最值的方法步骤(1)求函数f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．1．已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中要处理好等号的问题，因为f ′(x)>0(或 f ′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)，且使f ′(x)＝0的点是有限的．2．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x)≥0或f ′(x)≤0恒成立，用分离参数法或利用函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．典例5若要证明不等式f(x)>g(x)，通常可构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，只需证φ(x)>0，由此转化为求φ(x)的最小值问题，可借助于导数解决；若要证明不等式f(x)>a(a为常数)，通常需证明f(x)为增函数，且 f(x)min>a.典例6C　C　3．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝ax2－x.若经过点A(1，0)存在一条直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，则a＝ (　　)A．－1　　 B．1C．2　　 D．3B　二、填空题4．函数y＝cos3x＋sin2x－cos x的最大值为_____．5．(2022·全国新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________________．(－∞，－4)∪(0，＋∞)　三、解答题6．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．(1)求a；∵x<0，ln(1－x)>0, ∴xln(1－x)<0，即证x＋ln(1－x)>xln(1－x)，化简得x＋(1－x)ln(1－x)>0；令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)，再令t＝1－x，则t∈(0，1)∪(1，＋∞)，x＝1－t，令g(t)＝1－t＋tlnt，g′(t)＝－1＋lnt＋1＝lnt，当t∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单减，假设g(1)能取到，则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0；