初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式优秀课堂检测

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

第十六章  二次根式

16.1  二次根式

1．二次根式的概念

一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为__________．

理解二次根式的概念，要把握以下四点：

（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．

（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．

（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．

（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．

【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件．

（2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．

2．二次根式有无意义的条件

3．二次根式的性质

（1）；

（2）；

（3）．

【拓展】（1）若，则a=0，b=0；

（2）若，则a=0，b=0；

（3）若，则a=0，b=0；

（4）若，则a=0，b=0，c=0．

4．代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫__________．例如3，x，x+y，，-ab，，x3都是代数式．

【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）．

（2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+3>3x-5就是关系式．学科=网

K知识参考答案：

一、二次根式的概念

判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．如，3是

的计算结果，是二次根式．

【例1】下列式子中二次根式的个数有

；；；；；；

A．2个     B．3个    C．4个    D．5个

【答案】C

二、二次根式有意义的条件

求使代数式有意义的字母的取值范围的类型：

（1）二次根式型：被开方数大于或等于0；

（2）分式型：分母不等于0；

（3）复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分．

【例2】当有意义时，a的取值范围是

A．a≥2     B．a>2    C．a≠2    D．a≠-2

【答案】B

【解析】根据二次根式的意义，被开方数a-2≥0，解得：a≥2，根据分式有意义的条件：a-2≠0，解得：a≠2，∴a>2．故选B．

三、二次根式非负性的应用

若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0．

【例3】若，则的值为

A．0     B．1    C．–1    D．2

【答案】A

【解析】由+=0，得x–1=0，x+y=0，解得x=1，y=–1，所以=1+（–1）=1–1=0，故选A．

四、二次根式的性质

化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．

【例4】下列计算正确的是

A．=a         B．=a-2

C．（）2=±6        D．（）2=x+y

【答案】D

五、二次根式的求值

运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．

【例5】已知：是整数，则满足条件的最小正整数为

A．2     B．3    C．4    D．5

【答案】D

【解析】∵=，且是整数，∴2是整数，即5n是完全平方数，

∴n的最小正整数为5．故选D．

【例6】设a，b，c为△ABC的三边，化简 ．

【解析】根据三角形的三边关系可得：a+b+c>0，a-b-c<0，b-a-c<0，c-b-a<0，

原式=a+b+c+b-a+c+a-b+c+b-c+a=2（a+b+c）．

1．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

2．下列式子中属于代数式的有

①0；②x；③x+2；④2x；⑤x=2；⑥x>2；⑦；⑧x≠2．

A．5个    B．6个    C．7个    D．8个

3．若为二次根式，则m的取值范围为

A．m≤3    B．m<3    C．m≥3    D．m>3

4．对于二次根式，以下说法不正确的是

A．它是一个正数       B．它的最小值是3

C．是最简二次根式      D．是一个无理数

5．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为

A．x>0    B．x≥0    C．x≠0    D．x≥0且x≠1

6．当x__________时，是二次根式．

7．若等式=（）2成立，则字母x的取值范围是__________．

8．化简：

（1）；

（2）．

9．想一想：将等式=3和=7反过来的等式3=和7=还成立吗？

式子：9==和4==成立吗？

仿照上面的方法，化简下列各式：

（1）2；（2）11；（3）6．

10．下列各式中，无论取何实数，都没有意义的是

A．       B．

C．       D．

11．当a≥0时，、、，比较他们的结果，下面四个选项中正确的是

A．=≥    B．>>

C．<<    D．>=

12．若a<1，化简-1的结果是

A．a-2    B．2-a    C．a    D．-a

13．使式子有意义的x的最小整数解是__________．

14．若|a-2|++（c-4）2=0，则a-b+c=__________．

15．当x的取值范围是不等式组的解时，试化简：．

16．（2018·四川达州）二次根式中的x的取值范围是

A．x<-2    B．x≤-2    C．x>-2    D．x≥-2

17．（2018·江苏无锡）下列等式正确的是

A．（）2=3       B．=-3

C．=3        D．（-）2=-3

18．（2018·湖南郴州）计算：=__________．

19．（2018·辽宁盘锦）若式子有意义，则x的取值范围是__________．

3．【答案】C

【解析】因为为二次根式，所以，解得m≥3．故选C．

4．【答案】D

【解析】A选项中，因为，所以二次根式是正数；

B选项，根据的最小值是9，所以的最小值3；学-科网

C选项，由于最简二次根式是指，被开方数中不含能开方的因数或因式，根号里不含分数或小数，分母中不含二次根式，所以是最简二次根式；

D选项由于x不确定，所以结果不确定，故选D．

5．【答案】D

【解析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x-1≠0，x≥0，解得x≥0且x≠1．故选D．

6．【答案】≤

【解析】因为是二次根式，所以，所以，故答案为：．

7．【答案】x≥2

【解析】∵等式=（）2成立，∴x-2≥0，即x≥2．故答案为：x≥2．

9．【解析】等式3=和7=成立，9==和4==成立．

（1）．

（2）．

（3）．

10．【答案】B

【解析】当-2006x≥0时，即x≤0，可知有意义，故不正确；

无论x取何值，<0，这时无意义，故正确；

当x=0时，=0，有意义，故不正确；

任何数都有立方根，因此无论x取何值，都有意义，故不正确．故选B．

14．【答案】3

【解析】∵|a-2|++（c-4）2=0，∴a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得a=2，b=3，c=4，

∴a-b+c=2-3+4=3．故答案为：3．

15．【解析】，

解不等式①得，，

解不等式②得，，

原不等式组的解集为：．

∴，

．

16．【答案】D

【解析】由题意，得2x+4≥0，解得x≥-2，故选D．

17．【答案】A

【解析】（）2=3，A正确；=3，B错误；

=，C错误；（-）2=3，D错误．故选A．

18．【答案】3

【解析】=3，故答案为：3．

19．【答案】1≤x≤2

【解析】根据二次根式的意义，得，∴1≤x≤2，故答案为：1≤x≤2．