2.1 等式性质与不等式性质-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

等式性质与不等式性质

1等式的性质

(1)如果，那么；

(2)如果，，那么；

(3)如果，那么；

(4)如果，那么；

(5)如果，，那么.

2不等式关系与不等式

① 不等式的性质

(1) 传递性：；

(2) 加法法则：；

(3) 乘法法则：；    

(4) 倒数法则：；

(5) 乘方法则：.

【例1】证明：若，，则.

证明 若，，则,,

，即.

【例2】已知且，则      (   )

A、              B、 

C、              D、

解析 且，，

，，又，，

，，又, ，

成立，故选.

【练】若，则下列不等式中不成立的是(　　)

，，．因此不正确．故选：．

② 比较大小

(1) 作差法(与的比较)

(2) 作商法(与比较)

【例】比较与的大小.

解析 ，

.

【练】已知，，则(　　)

            的大小与的取值有关

，

故，故选：．

【题型1】不等式性质的运用

【典题1】已知，，求证：.

证明 ，

，，

，，即，.

，即.

点拨 证明过程中，多尝试利用分析法求解，

即要证明只需要证明.

【典题2】若，则下列结论不正确的是(   )

A．      B．    C．   D．

解析

方法1 因为，所以 ，

则，且，故选项正确，

而，故错误.

方法2 取特殊值排除法

因为，所以可令，显然均对，错，故选.

点拨 选择题可采取排除法！

【典题3】已知，，求取值范围．

解析 方法1

，

即，检验可得两个等号均可取，

.

方法2 设，，则，，

，，

，，

又，，

即.

点拨 方法中特别注意严谨性，要注意等号是否取到，比如当时，，即而不是；方法2利用换元法，取到等号的问题变得简洁些了！

【巩固练习】

1.对于实数，下列结论中正确的是    (   )

A．若，则        B．若，则

C．若，则         D．若，，则

答案

解析 对于，，若，则，故错；

对于，，取，即，故错；

对于，，取，即，故错；

对于，若，则，又，所以

所以，又，所以，故正确.

2.已知，那么下列不等式中正确的是(    )

A．     B．        C．       D．

答案

解析 由题根据不等式的性质，选项，数的正负不明，错误；

而选项，无论取任何数都成立.

3.若，则下列结论不正确的是(　　)

     C． D．

答案

解析 ，，，．

设，时，与矛盾．因此只有错误．故选：．

4.若，且则下列不等式中，一定成立的是(　　)

答案

解析 ，．又，．故选：．

5.实数满足，则下列不等式正确的是(　　)

答案

解析 ，

错误，比如，得出；

，，该选项正确；

错误，比如|时，；

时，

，，该选项错误．

故选：．

6.若，则的取值范围是________．

答案

解析  ，，，

又，，的取值范围是．

7.已知，，求证：.

解析 由，得，所以，所以.

【题型2】 比较大小

【典题1】 设，则的大小关系为          ．

解析 ，，

，．

【典题2】已知，，，则正确的结论是(　　)

                   与的大小不确定

解析 方法一 特殊值法

取特殊值，令，则，，

易知, 排除，还不能排除，猜测选.

方法二 做差法，分析法

要比较大小，只需要比较的大小

(遇到二次根式可考虑平方去掉根号)

而显然，故，故，故选.

方法三 共轭根式法

，，

，

，

，即，故选.

点拨

1.比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；

2.方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；

3.方法三中注意到.

若，互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点.

.

【典题3】已知，试比较与的大小．

解析 方法1 作差法

 ，

(作差法，确定差，由于，只需要判断)

当时，，，则，即；

当时，，则，即．

综上可得时，；时，．

方法2 作商法

，

(确定与的大小只需要确定与的大小)

当时，，则；

当时，，则．

综上可得时，；时，．

点拨 比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较与；多项式形式常用做差法，比如比较与.

【巩固练习】

1已知，，则(　　)

                  的大小与的取值有关

答案

解析 ，

故，故选：．

2.已知，则与的大小关系是(    )

A．       B．      

C．       D．无法确定

答案

解析 方法一 取特殊值排除法，令，很容易得到.

方法二

.

3.若A，，则的大小关系为　   　．

答案

解析 ，，

由，可得，

4.比较下列各组中两个代数式的大小：

与；

(2)已知为正数，且，比较与的大小．

解析 ，

.

，

，，且，

，.

，

即.