数学必修 第一册1.2 集合间的基本关系课后练习题

1.2　集合间的基本关系

A级 必备知识基础练

1.下列集合中表示空集的是(　　)

A.{x∈R|x+5=5} 

B.{x∈R|x+5>5}

C.{x∈R|x2=0} 

D.{x∈R|x2+x+1=0}

2.(多选题)下列说法中,错误的是(　　)

A.空集没有子集

B.任何集合至少有两个子集

C.空集是任何集合的真子集

D.若⌀⫋A,则A≠⌀

3.(2021四川仁寿高中高一期中)集合A={2 018,2 019,2 020}的非空真子集有(　　)

A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

4.(多选题)(2021湖南五市十校高一联考)已知单元素集合M={1},则集合M的所有子集构成的集合N={⌀,{1}},下列表示正确的是(　　)

A.⌀∈N B.⌀⊆N

C.⌀=N D.⌀∉N

5.(2021山东潍坊四县高一联考)已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若B⊆A,则m的取值范围是(　　)

A.{m|m≤2} B.{m|-1≤m≤3}

C.{m|-3≤m≤1} D.{m|0≤m≤2}

6.已知集合A={-2,3,4m-4},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=　　　　　. 

7.下列各组中的两个集合相等的所有序号是　. 

①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};

②P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*};

③P={x|x2-x=0},Q=xx=,n∈Z.

8.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.

B级 关键能力提升练

9.(多选题)已知集合M={x|-<x<,x∈Z},则下列集合不是集合M的子集的为(　　)

A.P={-3,0,1}

B.Q={-1,0,1,2}

C.T={y|-π<y<-1,y∈Z}

D.S={x||x|≤,x∈Z}

10.已知非空集合M⊆{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6-a∈M,那么集合M的个数为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

11.(多选题)(2021江苏盐城中学高一期中)已知集合A={x|ax≤1},B={2,},若B⊆A,则实数a的值可能是(　　)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

12.已知集合P={x|x2=9},集合Q={x|ax=3},若Q⊆P,那么-3　　　P(用适当的符号填空),a的值组成的集合为　　　　　. 

13.设a,b∈R,集合{0,ab,a}={1,a-b,b},则a+b=　　　　　. 

14.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},

(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;

(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;

(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.

C级 学科素养创新练

15.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.

(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B?若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由.

(2)若A⊆B成立,求出相应的实数对(a,b).

1.2　集合间的基本关系

1.D　A,B,C分别表示的集合为{0},{x|x>0},{0},

∵x2+x+1=0无实数解,

∴{x∈R|x2+x+1=0}表示空集.

2.ABC　A错,空集含有本身一个子集;B错,如⌀只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.

3.B　集合A={2 018,2 019,2 020}的非空真子集有23-2=6(个).故选B.

4.AB　根据题意,集合N={⌀,{1}}中的元素有2个,即⌀和{1},⌀是集合N的元素,则⌀∈N,A正确,D错误,对于B,⌀是任何集合的子集,则⌀⊆N,B正确,C错误,故选AB.

5.A　当B≠⌀时,要满足B⊆A,只需

解得0≤m≤2;

当B=⌀时,只需1-m>1+m,解得m<0.综上,m的取值范围为{m|m≤2}.

故选A.

6.2　由B⊆A,且m2≥0,得m2=4m-4,解得m=2.

经检验,符合题意.

7.①③　①中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,Q表示偶数集,所以P=Q;

②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1∉Q,所以集合P与集合Q不相等;

③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x==0;当n为偶数时,x==1,Q={0,1},所以P=Q.

8.解存在.理由如下,

因为B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,符合题意.若x+2=-x3,则x3+x+2=0,所以(x+1)(x2-x+2)=0.

因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,

此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.

综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,

此时A={1,3,-1},B={1,3}.

9.ABC　集合M={-2,-1,0,1},集合T={-3,-2},集合S={-1,0,1},不难发现集合P中的元素-3∉M,集合Q中的元素2∉M,集合T中的元素-3∉M,而集合S={-1,0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S⊆M.故选ABC.

10.C　由题知a∈M,6-a∈M,且M⊆{1,2,3,4,5},

∵当a=1时,6-a=5∈M;当a=2时,6-a=4∈M;

当a=3时,6-a=3∈M;当a=4时,6-a=2∈M;

当a=5时,6-a=1∈M,

∴非空集合M可能是{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.

11.AC　当a=0时,A=R,符合题意;若a>0,由题意可得A=xx≤,

若集合B为集合A的子集,则≥2,解得0<a≤,没有选项满足该范围,

若a<0,由题意可得A=xx≥,因为<0,则集合B必为集合A的子集.故选AC.

12.∈　{1,-1,0}　P={x|x2=9}={x|x=3或x=-3},所以-3∈P.Q={x|ax=3},若Q⊆P,则当a=0时,Q=⌀,满足题意;当a≠0时,Q={x|ax=3}=,则=3或-3,解得a=1或-1.

13.-2　由题意,若a-b=0,则ab=1或a=1.

若ab=1,可得a2=1,解得a=±1,当a=1时,由a=b,得到b=1,不符合题意;当a=-1时,由a=b,得到b=-1,符合题意;若a=1,则a=b,得b=1,不符合题意;

若b=0,则ab=0,不符合题意.

综上,a=b=-1,则a+b=-2.

14.解(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=⌀,满足B⊆A.

当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B⊆A成立,

需可得2≤m≤3.综上,{m|m≤3}.

(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},

∴A的非空真子集个数为28-2=254.

(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.

则①若B=⌀,即m+1>2m-1,得m<2时满足条件.

②若B≠⌀,则要满足条件:解得m>4.

综上,实数m的取值范围是{m|m<2,或m>4}.

15.解(1)不存在.理由如下:

若对任意的实数b都有A⊆B,

则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能.

因为A={a-4,a+4},

所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.

(2)由(1)易知,当且仅当时,A⊆B.

解得

所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).