高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合同步训练题

培优课——排列与组合的综合应用

A级 必备知识基础练

1.若将9名会员分成三组讨论问题,每组3人,共有不同的分组方法种数有(　　)

A. B.

C. D.

2.已知直线a,直线b,且a∥b,a上有5个点,b上有4个点,则以这9个点中3个点为顶点的三角形个数为(　　)

A. 

B.()()

C.-9 

D.

3.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车,但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是(　　)

A.152 B.126 

C.90 D.54

4.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有　　　　　种不同的选修方案. 

5.把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为　　　　. 

6.甲、乙、丙三位教师指导五名学生a,b,c,d,e参加全国高中数学联赛,每位教师至少指导一名学生.

(1)若每位教师至多指导两名学生,求共有多少种分配方案;

(2)若教师甲只指导其中一名学生,求共有多少种分配方案.

7.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法数:

(1)有女生但人数必须少于男生;

(2)某女生一定担任语文科代表;

(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表;

(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.

B级 关键能力提升练

8.假如某大学给我市某三所高中学校共7个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　)

A.30 B.21 C.10 D.15

9.某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车,将它们全部派往3个工地进行作业,每个工地至少派一辆工程车,共有多少种方式?下列结论正确的是(　　)

A. B.

C. D.

10.“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点.小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度.若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点,则“住房”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的不同调查顺序的种数为(　　)

A.13 B.24 

C.18 D.72

11.如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为(　　)

A.208 B.204 

C.200 D.196

12.若自然数n使得n+(n+1)+(n+2)不产生十进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生十进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生十进位现象.那么,小于1 000 的“良数”的个数为(　　)

A.27 B.36 C.39 D.48

13.某企业有4个分厂,新培训了6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为　　　　　. 

14.双十一活动期间,某商场计划将5张广告宣传页粘贴在商场的3个不同的入口,其中有2张是电器广告的宣传页,要求这2张电器广告的宣传页必须粘贴在不同入口,且每个入口至少粘贴1张宣传页,则不同的粘贴方法有　　　　　种. 

15.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?

C级 学科素养创新练

16.某论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为(　　)

A. B.

C. D.

17.已知不定方程x1+x2+x3+x4=12,则不定方程正整数解的组数为　　　　　. 

培优课——排列与组合的综合应用

1.C　此题为平均分组问题,有种分法.

2.A　可以分为两类:a上取两点,b上取一点,则可构成三角形个数为;a上取一点,b上取两点,则可构成三角形个数为利用分类加法计数原理可得以这9个点中3个角为顶点的三角形个数为,故选A.

3.B　按从事司机工作的人数进行分类.

有1人从事司机工作,不同的安排方案有=108(种);

有2人从事司机工作,不同的安排方案有=18(种).

所以不同安排方案的种数是108+18=126.

4.75　分两类:

第1类,从A,B,C中选1门,从另6门中选3门,共有种选法;

第2类,从6门中选4门有种选法.

故共有=75(种)不同的选修方案.

5.96　先将票分为符合条件的4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张,至多两张,则三人每人一张,一人2张,且分得的票必须是连号,相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开,分为四部分.在中间4个空位插3个板子,共有=4(种)情况,再对应到4个人,有=24(种)情况,则共有4×24=96(种)不同的分法.

6.解(1)5名学生分成3组,人数分别为2,2,1,

∴分配方案有=90(种).

(2)从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导,剩下4名学生分成2组,人数分别为2,2或3,1,

∴分配方案有=70(种).

7.解(1)先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,先选有()种情况,后排有种情况,则符合条件的选法数为()=5 400.

(2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为=840.

(3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法数为=3 360.

(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种情况,再安排该男生有种情况,选出的3人全排有种情况,则符合条件的选法数为=360.

8.D　用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板,有=15(种)分配方法.

9.C

10.D　可分三步:第1步,先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个,有种不同的选法;第2步,在调查时,“住房”安排的顺序有种可能情况;第3步,其余3个热点调查的顺序有种排法.根据分步乘法计数原理可得,不同调查顺序的种数为=72.

11.C　任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线中在同一横线上的4个点,其组数为3;二是4条竖线中在同一竖线上的3个点,其组数为4;三是4条对角线上的3个点,其组数为4,所以可以构成三角形的组数为-3-8=200.

12.D　如果n是良数,则n的个位数字只能是0,1,2,非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0),而小于1 000的数至多三位,一位数的良数有0,1,2,共3个;二位数的良数个位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3×3=9(个);三位数的良数个位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有3×4×3=36(个).综上,小于1 000的“良数”的个数为3+9+36=48.

13.1 560　先把6名技术人员分成4组,每组至少一人.

若4个组的人数按3,1,1,1分配,

则不同的分配方案有=20(种).

若4个组的人数为2,2,1,1,

则不同的分配方案有=45(种).

故所有分组方法共有20+45=65(种).

再把4个组的人分给4个分厂,不同的方法有65=1 560(种).

14.114　根据题意,分2步进行分析:

①将5张宣传页分为3组,其中2张电器广告的宣传页不能在同一组,

若分为张数1,1,3的三组,有=7种分组方法,

若分为张数1,2,2的三组,有=12种分组方法,则广告宣传页共有7+12=19种分组方法.

②将分好的三组分别粘贴在不同入口,有=6种情况,

则有19×6=114种不同的粘贴方法.

15.解把所选取的运动员的情况分为三类:

第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有=24(种);

第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有)=144(种);

第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有-2)=84(种).

由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252(种).

16.A　首先从14人中选出12人,共种,然后将12人平均分为3组,共种,然后这两步相乘,得将三组排列后共种.故选A.

17.165　问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为=165.